现代控制理论基础丨状态空间分析法和状态结构图

Author：AXYZdong 自动化专业 工科男
有一点思考，有一点想法，有一点理性！
定个小小目标，努力成为习惯！在最美的年华遇见更好的自己！

1.1 状态空间分析法

• 状态变量

$$一组变量 \to \begin{cases} 1、足以完全确定系统运动状态 \\ 2、个数又是最小 \end{cases}$$

$$性质： \begin{cases} 1、x_{t=t_0} \\ 2、t \geq t_0 时刻的输入I_t \end{cases} \to完全确定在任何t \geq t_0 时刻的状态 x_t$$

类似于函数： $x_t=f(x_{t_0},I_t)$

• 状态矢量
  如果 $n$ 个状态变量用 $x_1(t),x_2(t),...,x_n(t)$ 表示，并把这些状态变量看作是矢量 $x(t)$ 的分量，则称 $x(t)$为状态矢量，记作：

$$x(t)=\begin{pmatrix} x_1(t) \\ x_2(t)\\ \vdots \\ x_n(t) \\ \end{pmatrix}$$

• 状态空间
  以状态变量用 $x_1(t),x_2(t),...,x_n(t)$ 为坐标轴所构成的 $n$ 维空间，称为状态空间。
• 状态方程
  由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为系统的状态空间。

例：以 $R-L-C$ 电路说明如何用状态变量描述系统

$$有一阶微分方程组： \begin{cases} C\cdot\frac{du_c}{dt}=i \\[2ex] L\cdot\frac{di}{dt}+Ri+u_c=u \end{cases} \implies \begin{cases} \acute{u}_c=\frac{1}{C}\cdot i \\[2ex] \acute{i}=-\frac{1}{L}u_c-\frac{R}{L}i+\frac{1}{L}u \end{cases} \tag1$$

$$令 \begin{cases} x_1=u_c \\[2ex] x_2=i \end{cases} \implies \begin{pmatrix} \acute{x_1}\\[2ex] \acute{x_2}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \large\frac{1}{C}\\[2ex] \large-\frac{1}{L} & \large-\frac{R}{L}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\[2ex] x_2\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0\\[2ex] \large\frac{1}{L}\\ \end{pmatrix}u \tag2$$

$$或 ： \acute{x}=Ax+bu$$

$$其中：\acute{x}= \begin{pmatrix} \acute{x_1}\\[2ex] \acute{x_2}\\ \end{pmatrix}， A= \begin{pmatrix} 0 & \large\frac{1}{C}\\[2ex] \large-\frac{1}{L} & \large-\frac{R}{L}\\ \end{pmatrix}， b= \begin{pmatrix} 0\\[2ex] \large\frac{1}{L}\\ \end{pmatrix}$$

上述（1）和（2）式分别为图1中系统的 状态方程 和 状态方程的矩阵表达形式。

• 输出方程
  在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量间的函数关系式，称为系统的输出方程。
  在例中系统中，若指定 $x_1=u_c$ ，则输出方程 $y=u_c$

$$或： y=x_1\tag3$$

矩阵表示形式：

$$y= \begin{pmatrix} 1,0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix}\tag4$$

• 状态空间表达式
  状态方程和输出方程总合起来，构成对一个系统完整的动态描述称为系统的状态空间表达式。
  如式（1）和式（3）所示，而式（2）和式（4）就是图1系统的状态空间表达式。
• 单输入——单输出定常系统，矢量矩阵表示时的状态空间表达式为：

$$\acute{x}=Ax+bu\\ y=cx \tag5$$

式中，

$$x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\\ \vdots \\ x_n \\ \end{pmatrix} 为 n 维状态矢量；\\[3ex] A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix}为系统内部状态的联系，称为系统矩阵,为n\times n方阵； \\[3ex] b=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2\\ \vdots \\ b_n \\ \end{pmatrix} 为输入对状态的作用，称为输入矩阵或控制矩阵，这里为n\times 1的列阵； \\[3ex] c=\begin{pmatrix} c_1 , c_2 ,...,c_n \\ \end{pmatrix} 为输出矩阵，这里为1\times n的行阵。$$

• 多输入——多输出定常系统，矢量矩阵表示时的状态空间表达式为：

$$\acute{x}=Ax+Bu\\ y=Cx+Du\tag6$$

$式中，x和 A同单输入系统，分别n维状态矢量和n\times n系统矩阵$

$$u=\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2\\ \vdots \\ u_r \\ \end{pmatrix} 为 r 维输入矢量； y=\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2\\ \vdots \\ y_m \\ \end{pmatrix} 为 m 维输出矢量；\\[3ex] B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1r} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2r} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nr} \\ \end{pmatrix}为n\times r输入矩阵；\\[3ex] C=\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{m1} & c_{m2} & \cdots & c_{mn} \\ \end{pmatrix}为m\times n输出矩阵； \\[3ex] D=\begin{pmatrix} d_{11} & d_{12} & \cdots & d_{1r} \\ d_{21} & d_{22} & \cdots & d_{2r} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ d_{m1} & d_{m2} & \cdots & d_{mr} \\ \end{pmatrix}为m\times r直接传递矩阵。\\[2ex] 为了简便，一般不考虑输入矢量的直接传递，即令D=0$$

• 状态空间表达式的系统框图

1.2 状态结构图

状态空间描述的结构图绘图步骤：

1. 画出所有积分器；（积分器的个数等于状态变量的个数，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量）
2. 根据状态方程和输出方程，画出相应的加法器和比例器；
3. 用箭头将这些器件按照一定的顺序连接起来。

常用符号：

例：一阶标量微分方程： $\acute{x}=ax+bu$

已知状态空间表达式

$$\acute{x_1}=x_2\\ \acute{x_2}=x_3\\ \acute{x_3}=-6x_1-3x_2-2x_3+u\\ y=x_1+x_2$$

则系统的模拟结构图为：

  本次的分享就到这里

好书不厌百回读，熟读自知其中意。将学习成为习惯，用知识改变命运，用博客见证成长，用行动证明努力。
如果我的博客对你有帮助、如果你喜欢我的博客内容，请 “点赞” “评论” “收藏” 一键三连哦！
听说 👉 点赞 👈 的人运气不会太差，每一天都会元气满满呦！^ _ ^
**码字不易，大家的支持就是我坚持下去的动力。点赞后不要忘了👉关注👈我哦！

如果以上内容有任何错误或者不准确的地方，欢迎在下面👇留个言。或者你有更好的想法，欢迎一起交流学习~~~