机器学习第三章：线性模型

这一章也是本书基础理论的一章。我对本章末尾的一些公式含糊不清，但终于在不懈努力下得以理解。本章涵盖了线性代数和概率论的基础知识，并讨论了一些经典的线性模型、回归、分类问题（二分类和多重分类）。

3.1 基本形式

​ 给定由d个属性描述的示例 x =（x1；x2；… ；xd）,其中xi是x在第i个属性上的取值，线性模型（linear model）试图学得一个通过属性的线性组合来进行预测的函数，即：

$f(x)=w_1{x}_1+w_2{x}_2+\dots +w_d{x}_d+b$

一般用向量形式写成：

$f(x)=w_{T}x+b$

其中$x=（x1；x2；\dots ；xd）$，$w$和$d$学得之后，模型就得以确定。

​ 线性模型，形式简单、易于建模，蕴含着机器学习中一些重要的基本思想，许多功能更为强大的非线性模型（nonlinear model）可在线性模型的基础上通过引入层级结构或高维映射而得，此外，由于w直观表达了各属性在预测中的重要性，因此线性模型有很好的可解释性（comprehensibility）。例如在西瓜问题中学得“f好瓜(x) = 0.2x色泽 + 0.5x根蒂 + 0.3*x敲声 + 1”。

3.2 线性回归

给定一个数据集 D = {(x1, y1), (x2, y2), … , (xm, ym)}，其中 xi = (xi1;xi2;…;xid), yi ∈ R。“线性回归” （linear regression）尝试学习一个线性模型，该模型尽可能准确地预测实值输出标签。

线性回归试图学得

我们要去确定w和b，在2.3节介绍过，均方误差（2.2）是回归任务中最常用的性能度量，因此我们可试图让均方误差最小化，即：

w*, b* 表示w和b的解。

​ 均方误差，有非常好的几何意义，对应了常用的欧几里得距离或简称“欧氏距离（Euclidean method）”，在线性回归中，最小二乘法就是试图找到一条直线，使所有样本到直线上的欧式距离之和最小。

​ 求解w和b使最小化的过程，叫做线性回归模型的最小二乘“参数估计（parameter estimate）”，然后E（w, b）分别对w和b求导，得到：

然后令上面两个式子为零，求得w和b最优解的闭式（closed-form）解：

其中 为x的均值。

​ 更一般的，数据集D，样本由d个属性描述，此时我们试图学得：

这称为“多元线性回归（multivariate linear regression）”（这部分涉及公式教繁，线性代数知识具体推导书上）

​ 我们希望线性模型的预测值逼近真实标记y时，就得到了线性回归模型，为便于观察，写作：

我们要让输出标记y在指数尺度上变化，可做变化：

这就是“对数线性回归（log-linear regression）”，它实际上是在试图让逼近y，下图很明了：

更一般的，考虑单调可微函数g(*)，令：

这样得到的模型称为“广义线性模型（generalized linear model）”，其中函数g()，称为“联系函数（link function）”。显然，对数线性回归是广义线性模型在g() = ln(*)时的特例。

3.3 对数线性回归

​ 考虑二分类任务，其输出标记y∈{0, 1}，而线性回归模型产生的预测值 是实值，于是，我们需将实值转换为0/1值，最理想是“单位阶跃函数（unit-step function）”

即如果预测值z大于零，则判断为正例，如果小于零，则判断为反例，临界值可以任意判断预测值z，如图下图：

对数几率函数（logistic function）是这样一个常用的替代函数：

将对数几率函数作为g-(*)带入，得：

整理一下：

若将y视为样本x作为正例的可能性，则1-y是其反例可能性，两者比值：

称为“几率（odds）”，反映了样本x作为正例的相对可能性，然后对几率取对数得“对数几率（log odds，也称logit）”：

由此看出，实际上面在用线性回归模型的预测结果去逼近真实标记的对数几率，因此，其对应的模型称为“对数几率回归（logistic regression，也称logit regression）”。要注意的是，虽然它的名字是“回归”，但实际上确实一种分类学习方法。

3.4 线性判别分析

​ 线性判别分析（Linear Discriminant Analysis，简称LDA）是一种经典的线性学习方法，在二分类问题上最早由[Fisher, 1936]提出，所以也叫做“Fisher判别分析”。

LDA的思想很简单：给定一组训练模式，尝试将这些模式投影到一条直线上，使得相似模式的投影点尽可能接近，异种模式的投影点尽可能远，尽可能看清楚：

3.5 多分类学习

​ 现实中常见遇到多分类任务。有些二分类学习方法可直接推广到多分类。但多数情况下，要基于一些基本策略，利用二分类学习器来解决多分类问题。

​ 不失一般性，考虑N个类别C1, C2, … , CN，多分类学习的基本思路是“拆解法”，即将多分类任务拆分为若干个二分类任务求解。最经典的拆分策略有三种：“一对一（One vs. One，简称OvO）”、“一对余（One vs. Rest，简称OvR）”和“多对多（Many vs. Many，简称MvM）”。

多分类学习有两个思路。一种是将二分类学习方法推广到多分类，比如上一节讲到的LDA。另一种则是利用二分类的学习器来解决多分类问题。下面主要讨论第二种。

1、拆解法与拆分策略

拆解法：将多分类任务拆解成为若干个二分类任务求解。

拆解法步骤：

1.通过拆分策略对问题进行【拆分】；

2.为拆分出的每个二分类任务【**训练】**一个分类器；

3.对各个分类器的结果进行【集成】，以获得多分类结果。

（牢记这三个关键词。）

最经典的拆分策略有三种，即“一对一（OvO）”、“一对其余（OvR）”、“多对多（MvM）”。

多分类学习有$N$个类别$C_1,C_2,...,C_N$，给定数据集 $D=\{({\mathbf{x}}_1,y_1),({\mathbf{x}}_2,y_2),...,({\mathbf{x}}_m,y_m)\},y_i\in \{C_1,C_2,...,C_n\}$

1、OvO：

将$N$个分类分别两两配对，从而【**拆分】**成$N(N-1)/2$个二分类任务；【训练】时为了区分$C_i$和$C_j$这两个分类，这 $N(N-1)/2$个分类器中的一个将 $C_i$作为正例，$C_j$ 作为反例；测试时候将新样本同时提交给所有分类器，将得到 $N(N-1)/2$个分类结果，【**集成】**的方法是通过投票在这些结果中选出最终结果。

2、OvR：

将 $N$ 个分类中的1个类拿出来作为一个分类器的正例，其余均设置为反例，从而【拆分】成 $N$ 个分类任务；【训练】得到 $N$ 个分类结果；【集成】的方法是考虑各被判为正例的分类器的置信度，选择置信度大的类别标记作为分类的结果。（如只有一个，直接选择）

OvO与OvR示意图

3、MvM：

MvM是OvO和OvR的一般形式，反过来说，OvO和OvR是MvM的特例。

MvM每次将若干个类作为正类，若干个其他类作为反类。但其构造必须有特殊的设计，不能随意选取。常用的一种MvM技术是“纠错输出码”（ECOC）技术。

2、“纠错输出码”（ECOC）技术

ECOC过程主要分两步：

编码：对 $N$ 个类进行 $M$ 次划分，产生 $M$ 个分类器；

解码： $M$ 个分类器对测试样本进行预测，得到 $M$ 个预测标记，将其组成编码；这个编码与 $N$ 个类别各自的编码进行比较，返回其中距离最小的类别作为最终预测的结果。

编码形式又分为二元码和三元码，前者指定“正类”、“反类”，后者又多一个“停用类”。

以二元ECOC码为例：如下图，首先，将 $N$ （ $N=4$ ）个类通过设计构造成 $M$ （ $M=5$ ）个分类器（ $f_1,f_2,f_3,f_4,f_5$ ），每个分类器为每个类分配了一个标记结果（ $-1$ 或 $+1$ ），这样一来，每一个类 $C_i,i\in \{1,N\}$ 都获得了一个 $M$ 位的编码，这个编码就是【各类所对应的编码】。

当有一个测试例 $A$ 的时，先将 $A$ 依照次序放入 $M$ 个分类器中，得到了 $M$ 个分类标记结果（-1，-1，+1，-1，+1）；再将这 $M$ 个标记结果编成一个纠错输出码（-1，-1，+1，-1，+1）；最后去和【各类所对应的编码】进行比较海明距离或欧式距离，距离最短的对应编码对应的分类就是结果。（图中结果为 $C_3$ ）

ECOC编码示意图

纠错输出码还有一个功能是为分类器的错误进行修正。比如正确的分类结果是（-1，-1，+1，-1，+1），但如果分类器 $f_2$ 出了错误，得到的结果就是（-1，+1，+1，-1，+1）。但通过这一套编码，可以让最终的结果仍为 $C_3$ 。

分类器越多，ECOC编码越长，纠错能力越强，但开销越大；而且，如果分类有限，那么可组合的数目也有限，码长超过一定程度，也没有意义了。

同等长度的编码，【各类所对应的编码】之间计算出的距离越远，编码的纠错能力越强，但当码长到达一定程度时，无法得出最优解。

3.6、类别不平衡问题

以二分类问题为例，该问题一般指的是训练集中正负样本数比例相差过大（比如正例9998个，负例2个），其一般会造成以下的一些情况：

1. 类别少的误判惩罚过低，导致有所偏袒，当样本不确定时倾向于把样本分类为多数类。

2. 样本数量分布很不平衡时，特征的分布同样会不平衡。

3. 传统的评价指标变得不可靠，例如准确率。

而在多分类问题中，尽管原始训练集中可能不同类别训练样本数目相当，通过OvR、MvM进行拆分时也有可能会造成上述情况，所以类别不平衡问题亟待解决。

解决类别不平衡问题一个基本思路是“再缩放”。

线性模型解决二分类问题中，我们通常将得到一个预测值 $y$ 或 $y$ 的衍生物，将其与某个固定值比较，来判断其为正例还是反例。

如果说将 $y$ 看做样本 $\mathbf{x}$ 作为正例的可能性，那么 $1-y$ 就是其成为反例的可能性。

两者的比值称为“几率”，反映了样本作为正例的相对可能性。

$几率=\frac{正例可能性}{反例可能性}=\frac{y}{1-y}$

正反例数目相同时，当其大于1时，可预测为正例，反之预测为反例；

但当正反例数目不同时， $m^{+}$ 代表正例数目， $m^{-}$ 代表反例数目，观测几率应是 $\frac{m^{+}}{m^{-}}$ ，而只要分类器的预测几率 $\frac{y}{y-1}$ 大于观测几率，就应判定为正例。

故，实际情况需对决策进行调整，变为： $\frac{y^{\prime }}{y^{\prime }-1}=\frac{y}{y-1}\times \frac{m^{-}}{m^{+}}$

综上，第三章内容还是很丰富的，要记得复习，实操，转化成自己的知识。

加油！

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