宽带接收机中的非均匀采样技术研究之均匀采样基础理论（2018/8/18）（第四篇）

背景

本博文承接上篇博文：宽带接收机中的非均匀采样技术研究之观测矩设计与信号重构理论（2018/8/18）（第三篇）

同样给出论文地址：宽带接收机中的非均匀采样技术

在这个系列的第二篇以及第三篇博文中，我们重点介绍了压缩感知的相关理论，包括信号的稀疏表示、观测矩阵的设计以及信号的重构理论等。

从这篇博文开始我们就开始介绍非均匀采样的种种，直到最后我们搭建一个非均匀采样平台用于解决实际问题。

有压感引起的非均匀采样的讨论

压缩感知或者说压缩采样（CS）是针对能够进行稀疏表示的离散的有限长（N）信号，通过设计观测矩阵得到一个低维的观测向量，该观测向量中含有能够进行重构稀疏信号所需的全部有用信息，而稀疏信号中的有用信息在那个位置，我们是不知道的，但至少是不均匀分布的，所以压感可以看成一种非均匀采样，正如论文所说：

对于频域稀疏信号而言，压缩感知理论表明可以利用低速的非均匀采样代替高速的均匀采样。本文正是基于此，利用非均匀采样模型为核心设计非均匀采样硬件平台，最后利用压 OMP 算法来实现信号的重构。本节将对非均匀采样理论进行介绍，包括采样时刻的选择和抗混叠特性。

那么我不禁想知道一个终极的问题，如何搭建这样一个非均匀采样的硬件平台呢？完成这样一个用低速的非均匀采样代替高斯的均匀采样？

读完这个系列的博文或者把论文整明白，就可以明白这个问题，我们一步一步来看。

朝花夕拾之均匀采样回顾

说起均匀采样，之前我们接触的基本上都是均匀采样，采样的原则是满足奈奎斯特速率（频率）；

对于一个频带有限的信号，均匀采样的奈奎斯特采样率至少是信号带宽的两倍，这样才能根据采样信号恢复出原信号。采样率高意味着采样密度比较大，这么就会产生很多的冗余数据，对于信号的存储有诸多不便。对于一些特殊的场合，例如本论文提到的电磁信号，那频带向着GHz发展，如果采用均匀采样的方法，采样速率得多大啊，ADC也受不了啊，数据量太大也不好处理啊，这就要求创新采样方式，可以不均匀采样的时候，就不用均匀采样的方法。

下面一段话摘自论文摘要：

随着电子技术的不断发展，在实际的雷达和电子战系统中，需要处理的信号频率急剧增大。在电磁信号频率向着GHz发展的过程中，基于奈奎斯特采样的接收机在处理信号时所受到的限制越来越大。由于奈奎斯特采样定理对采样率的限制，在处理宽频信号时需要ADC具有较高的采样率并且采样所得的数据量也是极大的。

说着说着貌似说歪了，没关系，既然均匀采样有诸多不便，但其地位不言而喻，这是一种经典的采样方法，是跨入非均匀采样的门槛，是必须要掌握的。

均匀采样的正式介绍

从采样间隔的角度来区分，可以将采样方式分为均匀采样和非均匀采样两大类。二者的主要区别在于，均匀采样的时间间隔是固定不变的，而非均匀采样的采样时间间隔则是变化的。奈奎斯特定理的提出，使得以均匀采样为基础的数字信号处理方法得到了飞速的发展与应用。

在 1928 年，美国电信工程师哈利 H.奈奎斯特(Nyquist)首次提出了采样定理，Nyquist 采样定理是模拟信号和数字信号之间的桥梁。

对于频率限制在 内的时间连续信号，在对信号x(t) 做等间隔采样时，其中采样间隔为  ；如果采样频率
不小于 ，则可以利用采样得到的样本信号  完全确定原始信号x(t)的信息。
Nyquist 采样的过程可以表述如下：假设选用冲激函数 的合集来构建采样函数。原始信号为 x(t) ，则有：

推导的过程总会用到很多的公式，我就手写吧：

可见，均匀采样在频域的表现就是原始信号频谱的周期延拓而已，只要延拓的频率满足奈奎斯特频率的要求，就不会产生频谱混叠，这样通过一个低通滤波器就可以把原始信号的频谱过滤出来，也就恢复出原始信号了。

下面用论文中的原话做总结吧：

采样所得信号的频谱可以看作是原始信号的频谱通过频移叠加后得到的。只要保证采样率不低于原始信号最高频率的 2 倍，则原始信
号的各个频率分量就不会发生混叠，从而利用合适的滤波器就可以恢复出原始信号 x(t) 的频谱。

从上面对采样过程的论述可以看出，奈奎斯特采样定理存在几点不足之处。首先，它只能针对带限信号进行采样，因为只控制采样速率不能解决非带限信号复杂的频谱混叠问题，故均匀采样不适用于处理非带限信号。其次，Nyquist 采样要求采样率必须大于等于原始信号最大频率的两倍，这至少会导致频谱空间50%的浪费。

很晚了，本打算把非均匀采样基础理论一并在这篇博文中介绍的，看来是不行了，这篇博文就到此结束吧，下篇博文再介绍非均匀采样。

文章来源: reborn.blog.csdn.net，作者：李锐博恩，版权归原作者所有，如需转载，请联系作者。

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