我能怎么学习压缩感知？

压缩感知介绍：

压缩感知（CompressiveSensing，CS），有时也叫成Compressive Sampling。相对于传统的奈奎斯特采样定理——要求采样频率必须是信号最高频率的两倍或两倍以上（这就要求信号是带限信号，通常在采样前使用低通滤波器使信号带限），压缩感知则利用数据的冗余特性，只采集少量的样本还原原始数据。

因为自然界的数据都存在局部低维结构、周期性、对称性等，因此，传统的固定采样率的采样方法必然存在信息冗余。由于信息冗余的存在，我们就知道有数据压缩那么一门学科。既然这样，为什么要把冗余的数据也采进来，再进行压缩呢，能不能不把冗余的数据采集进来？

压缩感知的思路就是：在采集的过程中就对数据进行了压缩，而且这种压缩能保证不失真（低失真）的恢复原始数据，这与传统的先2倍频率采集信号→存储→再压缩的方式不同，可以降低采集信号的存储空间和计算量。

参考原文

信号的稀疏表示：

使用压缩感知理论首先要求信号能表示为稀疏信号，如x=[1 0 0 0 1 0]，其中只有2个1，可认为是稀疏的。

我们将信号通过一个矩阵映射到稀疏空间，

设信号x为N维，即 

，则 为NxN维稀疏表达矩阵，s即是将x进行稀疏表示后的Nx1维向量，其中大部分元素值为0。稀疏表示的原理就是通过线性空间映射，将信号在稀疏空间进行表示。

感知测量

压缩感知的目的是在采集信号时就对数据进行压缩，大牛们的思路集中到了数据采集上——既然要压缩，还不如就从大量的传感器中只使用其中很少的一部分传感器，采集少量的冗余度低的数据。这就是感知测量的通俗的说法，用表达式表示

其中的x就是稀疏表示中的信号， 为MxN维的感知矩阵（M表示测量信号的维度），y则表示M（M远小于N才有意义）个传感器的直接测量，因此维度为Mx1。

将稀疏表示过程和感知测量过程综合起来：

数学描述：

对于压缩感知模型，其中每个量的维度一定要了解（通过维度的变化来理解压缩感知很有效）：

从感知测量中知道：M就是测量的维度（M远小于N）。

压缩感知的原信号恢复问题描述为：

由已知条件：

测量值y，且  ，其中 e 为噪声引入， s为k-Sparse信号（k未知），

求解目标：k尽可能小的稀疏表示信号s及对应的。

用数学形式描述为：

e可以看成随机噪声，e ~ N(0,δ2)。

即是要求s使s的0范数（非0值的个数）最小，但0范数优化问题是很难求解的，于是一帮大牛就证明求解1范数也能逼近和上面相同的效果，而求解2范数及其更高的范数则结果相差越来越大（有些人在研究介于0范数与1范数之间的范数求解方法）。因此可转化为1范数求解：

由拉格朗日乘子法，上面的最优问题可转化成：

上面的最小值求解问题就可以直接通过凸优化解得结果了。

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以上看着不是很理解，压缩感知（压缩采样）到底是个什么过程。下面是另外一些资料描述：

压缩感知与传统压缩的比较：

其中：  表示感知到的信号。Φ是 的测量矩阵,y 是观测向量。

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压缩感知常见的稀疏基名称及离散傅里叶变换基:

(参考文章)

离散傅里叶变换（DFT）正变换公式：

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看了以上内容，可能还不是很过瘾，下面再给出相关资料：

一、压缩感知的主要流程：

二、压缩采样的过程：

即：

x为原始信号，即n×1的阵列，y为压缩采样后得到的观测值，也就是采样值，为m×1的阵列（一般m<<n），  就是测量矩阵（measurement matrix），是m×n的矩阵，这样就可以直接得到压缩采样值，而不需要先采样再压缩。  的选取需要遵循有限等距性质(Restricted Isometry Property,RIP)，也叫做RIP性质，这样才能保证y中包含原始信号x中的所有关键信息，这样由y能成功恢复出x。然而RIP性质太过复杂，有文献提出了一种相干性的判定方法，一般来说相干性的判定条件是RIP判定条件的等价条件。

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https://blog.csdn.net/ebowtang/article/details/52087604

经典节选：

感知压缩难点在于，压缩后的数据并不是压缩前的数据的一个子集，并不是说，本来有照相机的感光器上有一千万个像素，扔掉其中八百万个，剩下的两百万个采集到的就是压缩后的图像，──这样只能采集到不完整的一小块图像，有些信息被永远的丢失了而且不可能被恢复。

如果要想采集很少一部分数据并且指望从这些少量数据中「解压缩」出大量信息，就需要保证：第一：这些少量的采集到的数据包含了原信号的全局信息，第二：存在一种算法能够从这些少量的数据中还原出原先的信息来。

有趣的是，在某些特定的场合，上述第一件事情是自动得到满足的。最典型的例子就是医学图像成像，例如断层扫描（CT）技术和核磁共振（MRI）技术。对这两种技术稍有了解的人都知道，这两种成像技术中，仪器所采集到的都不是直接的图像像素，而是图像经历过全局傅立叶变换后的数据。也就是说，每一个单独的数据都在某种程度上包含了全图像的信息。在这种情况下，去掉一部分采集到的数据并不会导致一部分图像信息永久的丢失（它们仍旧被包含在其它数据里）。这正是我们想要的情况。
上述第二件事就要归功于陶哲轩和坎戴的工作了。他们的工作指出，如果假定信号（无论是图像还是声音还是其他别的种类的信号）满足某种特定的「稀疏性」，那么从这些少量的测量数据中，确实有可能还原出原始的较大的信号来，其中所需要的计算部分是一个复杂的迭代优化过程，即所谓的「L1-最小化」算法。

文章来源: reborn.blog.csdn.net，作者：李锐博恩，版权归原作者所有，如需转载，请联系作者。

原文链接：reborn.blog.csdn.net/article/details/80585851