DFT的推导（记录与疑惑）
【摘要】 作者：psyduck
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DFT可以这样推导：1.标准正交基向量空间（或）的标准正交基满足以下两个条件：我们可以得到一个的标准正交基矩阵：再把每一个标准正交基对应的...
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DFT可以这样推导：
1.标准正交基
向量空间
（或）的标准正交基满足以下两个条件：
我们可以得到一个的标准正交基矩阵：
再把每一个标准正交基对应的系数写成一个列向量：
则信号的标准正交基表示：
那么（这里，是指的共轭转置矩阵，不难证明）
关键结论：
对于一组标准正交基和标准正交基矩阵，对于任意的信号，我们有以下的表达：
综合式：
分析式： 或
综合式表明信号可以表示成标准正交基的线性组合。
分析式给出了计算标准正交基对应系数的方法，的大小表征了信号与标准正交基向量
之间的相似度。
2.特征向量与特征值
结论：LTI系统的特征向量是复正弦谐波（证明略）：
可以看出复正弦谐波是一组标准正交基。
3.标准化的DFT（Normalized DFT）
对于标准正交基和标准正交基矩阵，我们定义长度为的有限长信号的标准化DFT为：
综合式(IDFT)：
分析式(DFT)：
通过标准正交基得到的DFT一种表达，也是比较容易被人理解的一种形式。但这并不是我们通常能够见到的DFT表达。
4.未标准化的DFT（Unnormalized DFT）
未标准化的DFT是通过正交基而非标准正交基得到的一种DFT表达，这也是我们常见的一种形式。这种形式可以避免计算上的复杂性，对于计算机来说，这是一种比较优雅的形式。由于传统，在书本、文献中一般统一采用这种DFT表达。
综合式(IDFT)：
分析式(DFT)：
简单来说，DFT就是有限长信号的一种基变换，以复正弦谐波作为变换域的基是因为复正弦谐波是LTI系统的特征函数。这样，对于有限长信号，DFT就很自然成为分析LTI系统的工具了。
这样推导DFT的方式是不错的，我很喜欢。但其中的一个问题是，复正弦谐波是一组标准正交基，虽然我也这样认为，可是却不能给出严谨的证明，很苦闷，记录下来，有时间再研究研究。
文章来源: reborn.blog.csdn.net，作者：李锐博恩，版权归原作者所有，如需转载，请联系作者。
原文链接：reborn.blog.csdn.net/article/details/80806697
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