牛顿插值法

有了拉格朗日插值法，牛顿插值怎么会缺席呢，这里介绍牛顿插值，牛顿插值自然是为了解决拉格朗日的在编程上的缺陷而出现的（至少逻辑是这样的），拉格朗日插值法在编程上的缺陷是什么呢？

从拉格朗日插值的形式就可以得知，每增加一个插值节点就要重新计算插值基函数，这是一个致命的缺点。牛顿插值克服了这个问题，我们一起看看牛顿插值是怎么回事，再看看为什么牛顿插值没有这个缺点。

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牛顿插值法中出现了差商的概念，这个概念可能不是很好理解，也不太好计算（至少手工是这样的）。

我们首先看看差商是什么东西？

我们看看k阶差商的规律，可见分母是分子的后一项缺少的插值节点减去前一项缺少的插值节点构成，观测分子也可以得知，分子的前一项缺少了第一个节点，而后一项缺少了最后一个节点，这样比较好记，k阶差商不只有这样一种形式，但是这一种比较好记。

实际差商的计算过程如下：

可见，每次增加一个节点，不需要重新计算所有差商了，牛顿插值的好处慢慢凸显出来了。

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推导牛顿插值公式：

列出（1）到（n）式，然后反着代入上式，就可以得到f(x)的插值公式。

带有插值余项的公式如下：

从上式可知，如果多加一个节点，只需要多计算一个差商，在牛顿插值多项式中多添加一项就可以了。

不必重新开始，这是牛顿插值的优势。

最后补充一个无关紧要的东西：

文章来源: reborn.blog.csdn.net，作者：李锐博恩，版权归原作者所有，如需转载，请联系作者。

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