终于到来的DFT
前面写了那么多的铺垫,都是为了DFT而写,这是我的初衷,今天这篇文章终于到来了。
最重要的铺垫性博文:DFT的准备(一)(对离散序列的傅里叶分析大总结)
好了,废话不多说,上今天的内容吧。
离散傅里叶变换(DFT)讨论的对象是有限长序列,而与有限长序列相关联的是其周期重复(延拓)(周期为N)而形成的周期序列,二者之间的关系是:
(1)
(2)
周期序列的离散傅里叶级数(DFS)的系数本身是一个周期为N的周期序列。
为了保持时域与频域之间的对偶性,将把与有限长序列x[n]相联系的傅里叶级数系数选取为与的一个周期相对应的有限长序列。
这个有限长序列称为离散傅里叶变换(DFT)。
因此DFT,与DFS系数有如下的关系:
(3)
(4)
我们都知道离散时间序列的傅里叶级数表示以及DFS系数为:
(5)
(6)
在上式中, (7)
由于对于离散傅里叶变换(DFT)只涉及有限长序列,也就是0到N-1这一区间,所以离散傅里叶变换(DFT)可以表示为:
分析式:
(8)
合成式:
(9)
也就是说,这意味着一个事实,对于在区间之外的k,等于0。
综上内容,这里有一个简短的总结:
DFT针对地是有限长序列,是对有限长序列的离散傅里叶变换,它的表示式为一个周期的傅里叶级数系数。
这源于有限长序列与周期序列之间的紧密关系,也就造就了周期序列DFS与DFT之间的紧密关系。
我们一起来理解下这段话:
对于有限长序列用(8)、(9)来改写(5)、(6),并没有消除固有的周期性。
如同DFS一样,DFT的等于周期序列的傅里叶变换的采样,并且若对于在区间之外的n值来计算(9)式,其结果并不为0,而是x[n]的周期延拓。固有的周期性总是存在的。
在定义DFT表达式时,仅仅认为,感兴趣的x[n]的值只是在区间内,因为(9)式只需要这些值。
关于最后一段话,推荐一篇博文,大概能明白些什么。
DFS和DFT事实上是一样的,DFT的定义式(8)和(9)后面所加的取值区间的限制的含义是我只对这段区间感兴趣,这样计算机就能够处理,因为是有限长区间的。
但这并没有改变其固有的周期性,这看似很棘手,但是为了避免麻烦,还是将这段区间之外的部分忽略掉。
文章来源: reborn.blog.csdn.net,作者:李锐博恩,版权归原作者所有,如需转载,请联系作者。
原文链接:reborn.blog.csdn.net/article/details/81270744
- 点赞
- 收藏
- 关注作者
评论(0)