【 MATLAB 】使用 residuez 函数求 z 反变换的几个案例分析

这篇博文属于我的专栏：数字信号处理的MATLAB实现里面的内容，专栏中给出了这一系列博文的集合，有兴趣的可以关注下。

上篇博文讲解了 residuez 函数的基础知识：

【 MATLAB 】residuez 函数介绍（Z变换部分分数扩展）

这篇博文就给出几个案例来练练手。

案例1：

为了校核留数计算，考虑下面的有理函数：

使用residuez对其进行讨论。

题解：

先将这个有理函数重新整理为以z^-1升幂的函数：

现在利用residuez函数来求它的留数部分、极点以及直接项：

  

   

    

     

    
    

     

      clc;clear;close all;
     
    
   

    

     

    
    

     

      b = [0,1];
     
    
   

    

     

    
    

     

      a = [3,-4,1];
     
    
   

    

     

    
    

     

      [r,p,c] = residuez(b,a)
     
    
  
 

得到：

r =

    0.5000
   -0.5000

p =

    1.0000
    0.3333

c =

     []

这说明了：

同样，我们利用residuez函数返回它的有理多项式形式：

  

   

    

     

    
    

     

      clc;clear;close all;
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     

      b = [0,1];
     
    
   

    

     

    
    

     

      a = [3,-4,1];
     
    
   

    

     

    
    

     

      [r,p,c] = residuez(b,a);
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     

      [b,a] = residuez(r,p,c)
     
    
  
 

b =

   -0.0000    0.3333

a =

    1.0000   -1.3333    0.3333

这样：

可见，和之前有理函数一致。

案例2：

求：

的z反变换。

题解：

从分母多项式中可以看出分母多项式的根分别为：0.9,0.9，-0.9，因此可以使用poly函数求出分母多项式的系数，关于poly函数见博文：

【 MATLAB 】poly 函数介绍

延伸：

【 MATLAB 】roots 函数介绍（多项式根）

  

   

    

     

    
    

     

      clc;clear;close all;
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     

      b = 1;
     
    
   

    

     

    
    

     

      a = poly([0.9, 0.9, -0.9])
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     

      [r,p,c]=residuez(b,a)
     
    
  
 

a =

    1.0000   -0.9000   -0.8100    0.7290

r =

   0.2500 + 0.0000i
   0.2500 + 0.0000i
   0.5000 - 0.0000i

p =

  -0.9000 + 0.0000i
   0.9000 + 0.0000i
   0.9000 - 0.0000i

c =

     []

这样：

由常用函数的z变换以及z变换的性质，可得z反变换：

进一步化简：

MATLAB验证环节：

我们的思路是将X（z）方程有理传递函数，那么x(n)就相当于单位脉冲响应，如果系统输入一个单位脉冲信号，那么输出还是x(n).

这样，我们就可以使用filter函数进行验证x（n）是否正确了。

脚本使用到了单位样值函数：

  

   

    

     

    
    

     

      function [x,n]=impseq(n0,n1,n2);
     
    
   

    

     

    
    

     

      % generate x(n) = delta(n - n0); n1 <= n <= n2
     
    
   

    

     

    
    

     

      %_____________________________________________
     
    
   

    

     

    
    

     

      %[x,n] = impseq(n0, n1, n2);
     
    
   

    

     

    
    

     

      %
     
    
   

    

     

    
    

     

      n = [n1:n2];
     
    
   

    

     

    
    

     

      x = [(n-n0) == 0];
     
    
  
 

直接给出MATLAB脚本：

  

   

    

     

    
    

     

      clc;clear;close all;
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     

      b = 1;
     
    
   

    

     

    
    

     

      a = poly([0.9, 0.9, -0.9])
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     

      [delta,n] = impseq(0,0,7);
     
    
   

    

     

    
    

     

      x = filter(b,a,delta);
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     

      subplot(2,1,1);
     
    
   

    

     

    
    

     

      stem(n,x,'filled');
     
    
   

    

     

    
    

     

      title('x(n) by impulse response');
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     

      x = 0.75 * (0.9).^n + 0.5 * n .* (0.9).^n + 0.25 * (-0.9).^n;
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     

      subplot(2,1,2);
     
    
   

    

     

    
    

     

      stem(n,x);
     
    
   

    

     

    
    

     

      title('x(n) in z inverse transform');
     
    
  
 

可见，这里的z反变换是正确的。

文章来源: reborn.blog.csdn.net，作者：李锐博恩，版权归原作者所有，如需转载，请联系作者。

原文链接：reborn.blog.csdn.net/article/details/83446872