【 MATLAB 】DFS 和 DTFT 之间的关系

上篇博文讲了DFS和z变换之间的关系：【 MATLAB 】DFS 与 z 变换之间的关系

这篇博文接着看DFS 和 DTFT 之间的关系，文章同样是从我的其他博文中抽取处理的，目的就是怕这种显然而重要的知识点被淹没。

为了后面讨论方便，这里给出DFS的系数公式（分析公式）：

                                                                                                        （1）

其中：

综合公式：

                                                                                              （2）

为了方便后面讨论，给出z变换公式供使用。

设 x(n) 为一有限长序列，长度为N，即，

                                                                                                          （3）

那么，能求它的 z 变换为：

                                                                                                                                     （4）

现在，以周期N，周期重复x(n)构造一个周期序列 ，即

                                                                                                                  （5）

接着讨论DFS和DTFT的关系。

我们大概都知道DTFT和z变换之间的关系，DTFT是单位圆上的z变换。我们通过一个公式就能说清楚，如下：

先给出DTFT的公式：

                                                                                                 （6）

对比z变换的公式（4），不难看出：

                                                                                                                                     （7）

为了避免某些人的抗议，我们不得不做出声明，这里都是针对有限长序列推导的公式，无论针对其他任何可行信号，推导的关系最后都是一样的。

从（7）式可以看出，DTFT是单位圆上的z变换。

上面又说了DFS和z变换的关系，关系是，DFS 代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。

结合z变换和DTFT之间的关系，我们是不是可以说DFS 是对DTFT 上的等间隔采样。采样间隔为，下面我们正式推导二者间的关系。

式（6）为:

DFS为：

可以看出，

                                                                                                                                                 （8）

令

                                                                                                                                    （9）                                           

这样，

                                                                                                                               （10）

这意味着 DFS 可以通过以 为间隔对DTFT均匀采样而得到。

由z变换和DFTF之间关系：

以及式子（14）：

可见，DFS 表示给出了一种在频域的采样机理；而这个在原理上类似于时域采样。

间隔  是在频域上的采样间隔，也称为频率分辨率。因为它告诉我们频率样本有多密集。

文章来源: reborn.blog.csdn.net，作者：李锐博恩，版权归原作者所有，如需转载，请联系作者。

原文链接：reborn.blog.csdn.net/article/details/83476639