【 MATLAB 】离散傅里叶级数（DFS）与DFT、DTFT及 z变换之间的关系

上篇博文我们简单的讨论了离散傅里叶级数DFS和离散傅里叶变换DFT之间的关系，简单地说，DFT就是DFS在一个周期内的表现。

【 MATLAB 】离散傅里叶变换（DFT）以及逆变换（IDFT）的MATLAB实现

为了后面讨论方便，这里给出DFS的系数公式（分析公式）：

                                                                                                        （1）

其中：

综合公式：

                                                                                              （2）

为了对比，给出DFT的分析公式：

                                                         （3）

                                                                                                      （4）

综合公式：

                                                                                                          （5）

                                                                                              （6）

下面讨论DFS和 z 变换之间的关系：

这部分内容提取到博文： 【 MATLAB 】DFS 与 z 变换之间的关系

设 x(n) 为一有限长序列，长度为N，即，

                                                                                                          （7）

那么，能求它的 z 变换为：

                                                                                                                                     （8）

现在，以周期N，周期重复x(n)构造一个周期序列 ，即

                                                                                                                  （9）

 的DFS给出为：

                                                                                           （10）

将（10）式与 z 正变换公式（8）比较后，得到：

                                                                                                                                    （11）

这就是说，DFS 代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。

接着讨论DFS和DTFT的关系。

这部分内容提取出来到：【 MATLAB 】DFS 和 DTFT 之间的关系

我们大概都知道DTFT和z变换之间的关系，DTFT是单位圆上的z变换。我们通过一个公式就能说清楚，如下：

先给出DTFT的公式：

                                                                                                 （12）

对比z变换的公式（8），不难看出：

                                                                                                                                     （13）

为了避免某些人的抗议，我们不得不做出声明，这里都是针对有限长序列推导的公式，无论针对其他任何可行信号，推导的关系最后都是一样的。

从（13）式可以看出，DTFT是单位圆上的z变换。

上面又说了DFS和z变换的关系，关系是，DFS 代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。

结合z变换和DTFT之间的关系，我们是不是可以说DFS 是对DTFT 上的等间隔采样。采样间隔为，下面我们正式推导二者间的关系。

式（12）为:

DFS为：

可以看出，

                                                                                                                                                 （14）

令

                                                                                                                                    （15）                                           

这样，

                                                                                                                               （16）

这意味着 DFS 可以通过以 为间隔对DTFT均匀采样而得到。

由式子（13）：

以及式子（14）：

可见，DFS 表示给出了一种在频域的采样机理；而这个在原理上类似于时域采样。

间隔  是在频域上的采样间隔，也称为频率分辨率。因为它告诉我们频率样本有多密集。

文章来源: reborn.blog.csdn.net，作者：李锐博恩，版权归原作者所有，如需转载，请联系作者。

原文链接：reborn.blog.csdn.net/article/details/83476137