Hinge Loss

Hinge Loss

作者：陈雕
链接：https://www.zhihu.com/question/47746939/answer/286432586
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我说一个前面没提到的，李航老师在他的《统计学习基础》中有提到， hinge 的中文意思是 “合页”，就是图中这个东西，hinge 损失的函数图像长得像它。

铰链损失函数（Hinge Loss）

  在机器学习中，hinge loss作为一个损失函数(loss function)，通常被用于最大间隔算法(maximum-margin)，而最大间隔算法又是SVM(支持向量机support vector machines)用到的重要算法(注意：SVM的学习算法有两种解释：1. 间隔最大化与拉格朗日对偶；2. Hinge Loss)。

  Hinge loss专用于二分类问题，标签值y=±1y=±1，预测值y^∈Ry^∈R。该二分类问题的目标函数的要求如下：
  当y^y^大于等于+1或者小于等于-1时，都是分类器确定的分类结果，此时的损失函数loss为0；而当预测值y^∈(−1,1)y^∈(−1,1)时，分类器对分类结果不确定，loss不为0。显然，当y^=0y^=0时，loss达到最大值。

  如果你想到了一个可以定义这种loss的函数，那说明有成为数学家的潜质。想不到的话就乖乖的往下看：hinge loss出场。
  对于输出y=±1y=±1，当前y^y^的损失为：

上式是Hinge loss在二分类问题的的变体，可以看做双向Hinge loss。难以理解的话，可以先看单方向的hinge loss。以y=+1，为例。当y⩾1y⩾1时，loss为0，否则loss线性增大。函数图像如下所示：

图片来源：机器学习基础（四十二）—— 常用损失函数的设计（multiclass SVM loss & hinge loss）

Hinge loss在SVM中的应用

  SVM在简单情况下（线性可分情况下）使用的就是一个最大间隔算法。几何意义如下图所示（实心的数据点就是该类别的支持向量），最大化分离超平面到两个类别的支持向量之间的距离 。

图片来源：知乎-支持向量机(SVM)是什么意思？

  线性可分SVM的预测值y^=w⋅x+by^=w⋅x+b，其中ww和bb都是分类器通过样本学习到的参数。正如前面所说，y^∈Ry^∈R。如果分离超平面在如上图所示的位置（这是最大分割情况）并且支持向量与分割平面之间的距离=1，每个y=1y=1的样本其y^⩾1y^⩾1，每个y=−1y=−1的样本其y^⩽−1y^⩽−1，每个点的Hinge loss为0，整体loss作为平均值，也等于0。 如果分割超平面误分类，则Hinge loss大于0。Hinge loss驱动分割超平面作出调整。 如果分割超平面距离支持向量的距离小于1，则Hinge loss大于0，且就算分离超平面满足最大间隔，Hinge loss仍大于0

拓展

  再强调一下，使用Hinge loss的分类器的y^∈Ry^∈R。|y^||y^|越大，说明样本点离分割超平面越远，即该样本点很容易被分类。但是，我们在选择合适的损失函数进行优化时，没必要关注那些离超平面很远的样本。为此，我们可以通过对距分离超平面的距离选择一个阈值，来过滤这些离超平面很远的样本。这就是Hinge loss的精髓，ℓ(y)=max(0,1−y⋅y^)ℓ(y)=max(0,1−y⋅y^)，式中的1就是我们选择的阈值，这个可以作为一个超参数。通过一个max(0, )函数，忽略y^y^值过高的情况。

SVM

  这个思想可以拓展到SVM的多分类问题。SVM的多分类有两种损失函数：

其中，maxy^≠y(wy^x+b)maxy^≠y(wy^x+b)表示对于某一标签值yy，分类器错误预测的最大值，wyx+bwyx+b表示正确的分类器预测值，11表示分类阈值。注意：即使是分类器，也是先产生预测值，再根据预测值和分类阈值进行分类的。

其中，wy^x+bwy^x+b表示错误的分类器预测值，wyx+bwyx+b表示正确的分类器预测值，11表示分类阈值。
如下图SVM的预测结果所示：

图片来源：CS231n 2016 通关 第三章-SVM与Softmax

运用公式1：
x1x1的Hinge loss

 

ℓ(y)=max(0,1+5.1−3.2)=2.9ℓ(y)=max(0,1+5.1−3.2)=2.9

 

x2x2的Hinge loss

 

ℓ(y)=max(0,1+2.0−4.9)=0ℓ(y)=max(0,1+2.0−4.9)=0

 

x3x3的Hinge loss

 

ℓ(y)=max(0,1+2.5−(−3.1))=6.6ℓ(y)=max(0,1+2.5−(−3.1))=6.6

 

则L=13∑3i(2.9+0+6.6)L=13∑i3(2.9+0+6.6)

运用公式2：
也差不多，最后的结果是2.9,0,10.92.9,0,10.9，然后再求平均。PS: 公式2在实际中应用更多。

SSVM

  Hinge loss的变体也被应用于Structured SVMs中。这里不太懂…

优化

  Hinge loss是一个凸函数(convex function)，所以适用所有的机器学习凸优化方法。
虽然Hinge loss函数不可微，但我们可以求它的分段梯度：

当然，Hinge loss的梯度在ty=1ty=1点处未定义。

平滑

  为了解决Hinge loss的优化问题，现在有两种平滑(smoothed)策略：

其中通常取γ=2

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