离散余弦变换
【摘要】 离散余弦变换(DCT for Discrete Cosine Transform)是与傅里叶变换相关的一种变换，它类似于离散傅里叶变换(DFT for Discrete Fourier Transform),但是只使用实数。离散余弦变换相当于一个长度大概是它两倍的离散傅里叶变换，这个离散傅里叶变换是对一个实偶函数进行的（因为一个实偶函数的傅里叶变换仍然是一个实偶函数），在有些...
离散余弦变换(DCT for Discrete Cosine Transform)是与傅里叶变换相关的一种变换，它类似于离散傅里叶变换(DFT for Discrete Fourier Transform),但是只使用实数。离散余弦变换相当于一个长度大概是它两倍的离散傅里叶变换，这个离散傅里叶变换是对一个实偶函数进行的（因为一个实偶函数的傅里叶变换仍然是一个实偶函数），在有些变形里面需要将输入或者输出的位置移动半个单位(DCT有8种标准类型，其中4种是常见的)。
离散傅里叶变换需要进行复数运算，尽管有FFT可以提高运算速度，但在图像编码、特别是在实时处理中非常不便。离散傅里叶变换在实际的图像通信系统中很少使用，但它具有理论的指导意义。根据离散傅里叶变换的性质，实偶函数的傅里叶变换只含实的余弦项，因此构造了一种实数域的变换——离散余弦变换(DCT)。通过研究发现，DCT除了具有一般的正交变换性质外，其变换阵的基向量很近似于Toeplitz矩阵的特征向量，后者体现了人类的语言、图像信号的相关特性。因此，在对语音、图像信号变换的确定的变换矩阵正交变换中，DCT变换被认为是一种准最佳变换。在近年颁布的一系列视频压缩编码的国际标准建议中，都把 DCT 作为其中的一个基本处理模块。
DCT除了上述介绍的几条特点，即：实数变换、确定的变换矩阵、准最佳变换性能外，二维DCT还是一种可分离的变换，可以用两次一维变换得到二维变换结果。
最常用的一种离散余弦变换的类型是下面给出的第二种类型，通常我们所说的离散余弦变换指的就是这种。它的逆，也就是下面给出的第三种类型，通常相应的被称为" 反离散余弦变换"，" 逆离散余弦变换"或者" IDCT"。
有两个相关的变换，一个是离散 正弦变换(DST for Discrete Sine Transform),它相当于一个长度大概是它两倍的实 奇函数的 离散傅里叶变换；另一个是改进的离散余弦变换(MDCT for Modified Discrete Cosine Transform),它相当于对交叠的数据进行离散余弦变换。
主要应用
离散余弦变换，尤其是它的第二种类型，经常被信号处理和 图像处理使用，用于对信号和图像(包括静止图像和运动图像)进行 有损数据压缩。这是由于离散余弦变换具有很强的"能量集中"特性:大多数的自然信号(包括声音和图像)的能量都集中在离散余弦变换后的低频部分，而且当信号具有接近 马尔科夫过程(Markov processes)的统计特性时，离散余弦变换的去相关性接近于K-L变换(Karhunen-Loève 变换--它具有最优的去相关性)的性能。
例如，在静止 图像编码标准JPEG中，在 运动图像编码标准MJPEG和MPEG的各个标准中都使用了离散余弦变换。在这些标准制中都使用了二维的第二种类型离散余弦变换，并将结果进行量化之后进行熵编码。这时对应第二种类型离散余弦变换中的n通常是8，并用该 公式对每个8x8块的每行进行变换，然后每列进行变换。得到的是一个8x8的变换系数 矩阵。其中(0,0)位置的元素就是直流分量，矩阵中的其他元素根据其位置表示不同频率的交流分量。
一个类似的变换, 改进的离散余弦变换被用在高级音频编码(AAC for Advanced Audio Coding)，Vorbis 和 MP3 音频压缩当中。
尽管直接使用公式进行变换需要进行O(n2)次操作，但是和 快速傅里叶变换类似，我们有复杂度为O(nlog(n))的快速算法，这就是常常被称做蝶形变换的一种 分解算法。另外一种方法是通过快速傅里叶变换来计算DCT，这时候需要O(n)的预操作和后操作。
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原文链接：blog.csdn.net/jacke121/article/details/54881061
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