高斯混合模型--GMM

    统计学习的模型有两种，一种是概率模型，一种是非概率模型。

    所谓概率模型，是指训练模型的形式是P(Y|X)。输入是X，输出是Y，训练后模型得到的输出不是一个具体的值，而是一系列的概率值（对应于分类问题来说，就是输入X对应于各个不同Y（类）的概率），然后我们选取概率最大的那个类作为判决对象（软分类--soft assignment）。所谓非概率模型，是指训练模型是一个决策函数Y=f(X)，输入数据X是多少就可以投影得到唯一的Y，即判决结果（硬分类--hard assignment）。

    所谓混合高斯模型（GMM）就是指对样本的概率密度分布进行估计，而估计采用的模型（训练模型）是几个高斯模型的加权和（具体是几个要在模型训练前建立好）。每个高斯模型就代表了一个类（一个Cluster）。对样本中的数据分别在几个高斯模型上投影，就会分别得到在各个类上的概率。然后我们可以选取概率最大的类所为判决结果。

     从中心极限定理的角度上看，把混合模型假设为高斯的是比较合理的，当然，也可以根据实际数据定义成任何分布的Mixture Model,不过定义为高斯的在计算上有一些方便之处，另外，理论上可以通过增加Model的个数，用GMM近似任何概率分布。

    混合高斯模型的定义为：

    其中K 为模型的个数；πk为第k个高斯的权重；p（x / k） 则为第k个高斯概率密度，其均值为μk，方差为σk。对此概率密度的估计就是要求出πk、μk 和σk 各个变量。当求出p（x ）的表达式后，求和式的各项的结果就分别代表样本x 属于各个类的概率。

    在做参数估计的时候，常采用的是最大似然方法。最大似然法就是使样本点在估计的概率密度函数上的概率值最大。由于概率值一般都很小，N 很大的时候, 连乘的结果非常小，容易造成浮点数下溢。所以我们通常取log，将目标改写成：

    也就是最大化对数似然函数，完整形式为：

    一般用来做参数估计的时候，我们都是通过对待求变量进行求导来求极值，在上式中，log函数中又有求和，你想用求导的方法算的话方程组将会非常复杂，没有闭合解。可以采用的求解方法是EM算法——将求解分为两步：第一步,假设知道各个高斯模型的参数（可以初始化一个，或者基于上一步迭代结果），去估计每个高斯模型的权值；第二步,基于估计的权值，回过头再去确定高斯模型的参数。重复这两个步骤，直到波动很小，近似达到极值（注意这里是极值不是最值，EM算法会陷入局部最优）。具体表达如下：

     1、（E step）

    对于第i个样本xi 来说，它由第k 个model 生成的概率为：

    在这一步，假设高斯模型的参数和是已知的（由上一步迭代而来或由初始值决定）。

    2、（M step）

    3、重复上述两步骤直到算法收敛。