最短路径-Dijkstra算法与Floyd算法
原文：https://www.cnblogs.com/smile233/p/8303673.html
一、最短路径
①在非网图中，最短路径是指两顶点之间经历的边数最少的路径。
AE：1 ADE：2 ADCE：3 ABCE：3
②在网图中，最短路径是指两顶点之间经历的边上权值之和最短的路径。
AE：100 ADE：90 ADCE：60 ABCE：70
③单源点最短路径问题
问题描述：给定带权有向图G＝(V, E)和源点v∈V，求从v到G中其余各顶点的最短路径。
应用实例——计算机网络传输的问题：怎样找到一种最经济的方式，从一台计算机向网上所有其它计算机发送一条消息。
④每一对顶点之间的最短路径
问题描述：给定带权有向图G＝(V, E)，对任意顶点vi,vj∈V（i≠j），求顶点vi到顶点vj的最短路径。
解决办法1：每次以一个顶点为源点，调用Dijkstra算法n次。显然，时间复杂度为O(n3)。 解决办法2：弗洛伊德提出的求每一对顶点之间的最短路径算法——Floyd算法，其时间复杂度也是O(n3)，但形式上要简单些。
二、Dijkstra算法
①基本思想：设置一个集合S存放已经找到最短路径的顶点，S的初始状态只包含源点v，对vi∈V-S，假设从源点v到vi的有向边为最短路径。以后每求得一条最短路径v, …, vk，就将vk加入集合S中，并将路径v, …, vk , vi与原来的假设相比较，取路径长度较小者为最短路径。重复上述过程，直到集合V中全部顶点加入到集合S中。
②设计数据结构 :
1、图的存储结构：带权的邻接矩阵存储结构 。
2、数组dist[n]：每个分量dist[i]表示当前所找到的从始点v到终点vi的最短路径的长度。初态为：若从v到vi有弧，则dist[i]为弧上权值；否则置dist[i]为∞。
3、数组path[n]：path[i]是一个字符串，表示当前所找到的从始点v到终点vi的最短路径。初态为：若从v到vi有弧，则path[i]为vvi；否则置path[i]空串。
4、数组s[n]：存放源点和已经生成的终点，其初态为只有一个源点v。
③Dijkstra算法——伪代码
-
1 1. 初始化数组dist、path和s；
-
2 2. while (s中的元素个数<n)
-
3 2.1 在dist[n]中求最小值，其下标为k；
-
4 2.2 输出dist[j]和path[j]；
-
5 2.3 修改数组dist和path；
-
6 2.4 将顶点vk添加到数组s中；
④C++代码实现
-
1 #include<iostream>
-
2 #include<fstream>
-
3 #include<string>
-
4 using namespace std;
-
5 #define MaxSize 10
-
6 #define MAXCOST 10000
-
7 // 图的结构
-
8 template<class T>
-
9 struct Graph
-
10 {
-
11 T vertex[MaxSize];// 存放图中顶点的数组
-
12 int arc[MaxSize][MaxSize];// 存放图中边的数组
-
13 int vertexNum, arcNum;// 图中顶点数和边数
-
14 };
-
15 // 最短路径Dijkstra算法
-
16 void Dijkstra(Graph<string> G,int v)
-
17 {
-
18 int dist[MaxSize];// i到j的路径长度
-
19 string path[MaxSize];// 路径的串
-
20 int s[MaxSize];// 已找到最短路径的点的集合
-
21 bool Final[MaxSize];//Final[w]=1表示求得顶点V0至Vw的最短路径
-
22 // 初始化dist\path
-
23 for (int i = 0; i < G.vertexNum; i++)
-
24 {
-
25 Final[i] = false;
-
26 dist[i] = G.arc[v][i];
-
27 if (dist[i] != MAXCOST)
-
28 path[i] = G.vertex[v] + G.vertex[i];
-
29 else
-
30 path[i] = " ";
-
31 }
-
32 s[0] = v; // 初始化s
-
33 Final[v] = true;
-
34 int num = 1;
-
35 while (num < G.vertexNum)
-
36 {
-
37 // 在dist中查找最小值元素
-
38 int k = 0,min= MAXCOST;
-
39 for (int i = 0; i < G.vertexNum; i++)
-
40 {
-
41 if (i == v)continue;
-
42 if (!Final[i] && dist[i] < min)
-
43 {
-
44 k = i;
-
45 min = dist[i];
-
46 }
-
47 }
-
48 cout << dist[k]<<path[k]<<endl;
-
49 s[num++] = k;// 将新生成的结点加入集合s
-
50 Final[k] = true;
-
51 // 修改dist和path数组
-
52 for (int i = 0; i < G.vertexNum; i++)
-
53 {
-
54 if (!Final[i]&&dist[i] > dist[k] + G.arc[k][i])
-
55 {
-
56 dist[i] = dist[k] + G.arc[k][i];
-
57 path[i] = path[k] + G.vertex[i];
-
58 }
-
59 }
-
60 }
-
61 }
-
62 int main()
-
63 {
-
64 // 新建图
-
65 Graph<string> G;
-
66 string temp[]= { "v0","v1","v2","v3","v4" };
-
67 /*int length = sizeof(temp) / sizeof(temp[0]);
-
68 G.vertexNum = length;
-
69 G.arcNum = 7;*/
-
70 ifstream in("input.txt");
-
71 in >> G.vertexNum >> G.arcNum;
-
72 // 初始化图的顶点信息
-
73 for (int i = 0; i < G.vertexNum; i++)
-
74 {
-
75 G.vertex[i] = temp[i];
-
76 }
-
77 //初始化图G的边权值
-
78 for (int i =0; i <G.vertexNum; i++)
-
79 {
-
80 for (int j = 0; j <G.vertexNum; j++)
-
81 {
-
82 G.arc[i][j] = MAXCOST;
-
83 }
-
84 }
-
85 for (int i = 0; i < G.arcNum; i++)
-
86 {
-
87 int m, n,cost;
-
88 in >> m >> n >> cost;
-
89 G.arc[m][n] = cost;
-
90 }
-
91 Dijkstra(G, 0);
-
92 system("pause");
-
93 return 0;
-
94 }
-
// input.txt
-
1 5 7
-
2 0 1 10
-
3 0 3 30
-
4 0 4 100
-
5 1 2 50
-
6 2 4 10
-
7 3 2 20
-
8 3 4 60
三、Floyd算法
①基本思想：对于从vi到vj的弧，进行n次试探：首先考虑路径vi,v0,vj是否存在，如果存在，则比较vi,vj和vi,v0,vj的路径长度，取较短者为从vi到vj的中间顶点的序号不大于0的最短路径。在路径上再增加一个顶点v1，依此类推，在经过n次比较后，最后求得的必是从顶点vi到顶点vj的最短路径。
②设计数据结构
1、图的存储结构：带权的邻接矩阵存储结构 。
2、数组dist[n][n]：存放在迭代过程中求得的最短路径长度。迭代公式：
3、数组path[n][n]：存放从vi到vj的最短路径，初始为path[i][j]="vivj"。
③C++代码实现
-
1 #include<iostream>
-
2 #include<fstream>
-
3 #include<string>
-
4 using namespace std;
-
5 #define MaxSize 10
-
6 #define MAXCOST 10000
-
7 int dist[MaxSize][MaxSize];// 存放在迭代过程中求得的最短路径
-
8 string path[MaxSize][MaxSize];// vi到vj的最短路径
-
9 // 图的结构
-
10 template<class T>
-
11 struct Graph
-
12 {
-
13 T vertex[MaxSize];// 存放图中顶点的数组
-
14 int arc[MaxSize][MaxSize];// 存放图中边的数组
-
15 int vertexNum, arcNum;// 图中顶点数和边数
-
16 };
-
17 void Floyd(Graph<string> G)
-
18 {
-
19 // 初始化
-
20 for(int i=0;i<G.vertexNum;i++)
-
21 for (int j = 0; j < G.vertexNum; j++)
-
22 {
-
23 if (i == j) { dist[i][j] = 0; path[i][j] = ""; }
-
24 dist[i][j] = G.arc[i][j];
-
25 if (dist[i][j] != MAXCOST)
-
26 path[i][j] = G.vertex[i] + G.vertex[j];
-
27 else
-
28 path[i][j] = " ";
-
29 }
-
30 // 进行n次迭代
-
31 for(int k=0;k<G.vertexNum;k++)
-
32 for(int i=0;i<G.vertexNum;i++)
-
33 for (int j = 0; j < G.vertexNum; j++)
-
34 if (dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j])
-
35 {
-
36 dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
-
37 path[i][j] = path[i][k] + path[k][j];
-
38 }
-
39 }
-
40 int main()
-
41 {
-
42 int i, j, cost;
-
43 Graph<string> G;// 存放图的信息
-
44 ifstream in("input.txt");
-
45 in >> G.vertexNum >> G.arcNum;
-
46 string temp[] = { "a","b","c" };
-
47 // 初始化图的顶点信息
-
48 for (int i = 0; i < G.vertexNum; i++)
-
49 {
-
50 G.vertex[i] = temp[i];
-
51 }
-
52 //初始化图G
-
53 for (i = 0; i < G.vertexNum; i++)
-
54 {
-
55 for (j = 0; j < G.vertexNum; j++)
-
56 {
-
57 G.arc[i][j] = MAXCOST;
-
58 }
-
59 }
-
60 //构建图G
-
61 for (int k = 0; k <G.arcNum; k++)
-
62 {
-
63 in >> i >> j >> cost;
-
64 G.arc[i][j] = cost;
-
65 }
-
66 Floyd(G);
-
67 for (i = 0; i < G.vertexNum; i++)
-
68 {
-
69 for (j = 0; j < G.vertexNum; j++)
-
70 {
-
71 if (i != j)
-
72 {
-
73 cout << "顶点" << i << "到顶点" << j << "的最短路径长度为" << dist[i][j] << endl;
-
74 cout << "具体路径为:" << path[i][j] << endl;
-
75 }
-
76 }
-
77 }
-
78 system("pause");
-
79 return 0;
-
80 }
-
// input.txt
-
3 5
-
0 1 4
-
1 0 6
-
0 2 11
-
2 0 3
-
1 2 2
文章来源: blog.csdn.net，作者：网奇，版权归原作者所有，如需转载，请联系作者。
原文链接：blog.csdn.net/jacke121/article/details/88779302
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