15分钟入门蒙特卡洛 Monte Carlo
【摘要】 那么，问题来了，怎么对任意分布 采样？这里介绍Metropolis MC算法，也叫Metropolis-Hastings算法，它类似于随机瞎走（Random walk）的方式产生一列数，这些数的总体分布服从 。这里，我们以平衡态统计力学中的最常见的Boltzmann分布为例说明。玻尔兹曼分布说对于构型 ,它的概率应该是 ,这里 是这个构型的能量。我们想要产生服从玻尔兹曼分布的一系列 ，可以设...
采样？这里介绍Metropolis MC算法，也叫Metropolis-Hastings算法，它类似于随机瞎走（Random walk）的方式产生一列数，这些数的总体分布服从 
。这里，我们以平衡态统计力学中的最常见的Boltzmann分布为例说明。
,它的概率应该是 
,这里 
是这个构型的能量。我们想要产生服从玻尔兹曼分布的一系列 
，
可以设想如果我基于原来的一个构型
怎么产生下一个构型 
呢？
的概率 
不应该随时间改变，于是有
表示基于 
随机产生 
的转移概率（Transition probability），求和是对于所有可能的其他构型
。从上面关系可以得到只要满足下面细致平衡（detailed balance)条件，就可以产生出服从玻尔兹曼分布的序列：
-
从起始构型 
，计算能量
；
-
随机移动一些构型坐标得到一个trial构型
，并计算该构型的能量 ；
-
决定是否接受这个移动：
（1）如果
,那么100%接受这个移动，正式的下一步构型就是
了；
（2）如果
,那么产生一个0到1之间的随机数R, 并跟转移概率
比较，如果 ，
那就接受这个移动
，否则就拒绝这个移动 ；
-
回到第二步，直到累积N个构型。
；
，
被称为马尔科夫链(Markov Chain)，因为产生的新构型只跟当前构型有关，对前面的构型没有任何的记忆效应，所以这个方法又叫马尔科夫链蒙特卡洛（MCMC）。而且，从任何初始构型出发，最终都会达到平衡而且服从就是玻尔兹曼分布，即通过配比转移概率 
，达到对某构型的采样概率为
且不随“时间”改变。【注意：MC里序列是没有物理上时间先后关系的，所有说MC“时间序列”都是指随机产生的顺序。】
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