时间序列数据伴随着我们的生活和工作。从牙牙学语时的“1, 2, 3, 4, 5, ……”到房价的走势变化，从金融领域的刷卡记录到运维领域的核心网性能指标。时间序列中的规律能加深我们对事物和场景的认识，时间序列中的异常能提醒我们某些部分可能出现问题。那么如何去发现时间序列中的规律、找出其中的异常点呢？接下来，我们将揭开这些问题的面纱。

直观上讲，异常就是现实与心理预期产生较大差距的特殊情形。如2020年春节的新型肺炎（COVID-19，coronavirus disease 2019），可以看到2月12日有一个明显的确诊病例的升高，这就是一个异常点，如下图：

从统计上讲，严重偏离预期的点，常见的可以通过3-sigma准则来判定。

从数学上讲，它就是一个分段函数：

那么我们有哪些方法来发现异常呢？异常分析的方法有很多，在本文中，我们主要讲解时间序列分解的算法。接下来，我们先从时间序列的定义开始讲起。

时间序列是不同时间点的一系列变量所组成的有序序列。例如北京市2013年4月每日的平均气温就构成了一个时间序列，为了方便，我们一般认为序列中相邻元素具有相同的时间间隔。

时间序列可以分为确定的和随机的。例如，一个1990年出生的人，从1990年到1999年年龄可以表述为{0,1,2,…,9}，这个序列并没有任何随机因素。这是一个确定性的时间序列。现实生活中我们所面对的序列更多的是掺杂了随机因素的时间序列，例如气温、销售量等等，这些是带有随机性的例子。我们说的时间序列一般是指带有随机性的。

那么对于随机性的时间序列，又如何进行分类呢？

从研究对象上分，时间序列分为一元时间序列和多元时间序列，如新冠肺炎例子中，只看确诊病例的变化，它是一元时间序列。如果把确诊病例和疑似病例联合起来看，它是一个多元时间序列。

从时间参数上分，时间序列分为离散时间的时间序列和连续时间的时间序列。例如气温变化曲线，通常是按照天、小时进行预测、计算的，这个采集的时间是离散的，因此，它是一个离散时间的时间序列。再如花粉在水中呈现不规则的运动，它无时无刻不在运动，它是一个连续时间的时间序列，这就是大家众所周知的布朗运动。在我们的工作中，我们一般遇到的都是离散时间的时间序列。

从统计特征上分，时间序列分为平稳时间序列和非平稳时间序列。平稳序列从直观上讲，均值和标准差不随着时间发生变化，而非平稳序列均值或者标准差一般会随着时间发生变化。下面两个图分别给出平稳序列和非平稳序列的例子。

在本节，我们将给大家列举一些常见的时间序列，让大家对常见的时间序列有一个直观的概念。

前面给大家讲了异常和时间序列的概念，本章将给大家讲解时间序列分解技术。

时间序列分解是探索时序变化规律的一种方法，主要探索周期性和趋势性。基于时序分解的结果，我们可以进行后续的时间预测和异常检测。

在时间序列分析中，我们经常要关注趋势和周期。因此，一般地，我们将时序分成三个部分：趋势部分、周期部分和残差部分。结合下图CO₂含量的例子(见下图)对这三个主要部分进行解释：

1）趋势部分：展示了CO₂含量逐年增加；

2）周期部分：反应了一年中CO2含量是周期波动的；

3）残差部分：趋势和周期部分不能解释的部分。

时间序列分解基于分解模型的假设。通常，我们会考虑以下两种模型：

在一个时间序列中，加法模型假设周期、趋势和残差三个部分是可加的，而乘法模型假设周期、趋势和残差三个部分是乘积关系。虽然加法模型在形式上差异很大，但是他们之间是可以相互转化的, 乘法模型经过log变换后即可变成加法模型，数学表达如下：

那么在使用中，加法模型和乘法模型该如何进行选择呢？

加法模型适用于以下场景：

1）当周期性不随着趋势发生变化时，首选加法模型，如下图(a)；

2）当目标存在负值时，应选择加法模型；

乘法模型适用于以下场景：

1）周期随着随时发生变化时，首选乘法模型，如下图(b)；

2）经济数据，首选乘法模型(增长率、可解释)。

另外，当我们不清楚选择哪个模型时，可以两个模型都使用，选择误差最小的那一个。

由于乘法模型与加法模型可以相互转化，我们后面仅以加法模型来进行介绍。

基于周期、趋势分解的时序分解算法主要有经典时序分解算法、Holt-Winters算法和STL算法。经典时序分解算法起源于20世纪20年代，方法较简单。Holt-Winters算法于1960年由Holt的学生 Peter Winters 提出，能够适应随着时间变化的季节项。STL（Seasonal and Trend decomposition using Loess）分解法，由Cleveland 等于1990年提出，比较通用，且较为稳健。三者之间的关系，如下图所示：

4.1.  经典时序分解算法

经典时序分解算法是最简单的一种分解算法，它是很多其他分解算法的基础。该算法基于“季节部分不随着时间发生变化”这一假设，且需要知道序列的周期。另外，该算法基于滑动平均技术。

其中，m=2k+1. 也就是说，时刻t的趋势项的估计值可以通过前后k个时刻内的平均值得到。阶数 m 越大，趋势越光滑。由上面的公式可以看出，m一般取奇数，这保证了对称性。但是在很多场景下，周期是偶数，例如一年有4个季度，则周期为4，是偶数。此时，需要做先做一个4阶滑动平均（4-MA），再对所得结果做一个2阶滑动平均（2-MA），整个过程记为2×4-MA 。这样处理后的结果是对称的，即加权的滑动平均，数学表达如下：

下面我们将讲解经典时序分解算法的计算步骤。

假设一个序列的周期为m，经典时序分解算法的步骤如下：

经典时序分解算法虽然简单、应用广泛，但是也存在一些问题：

1）无法估计序列最前面几个和最后面几个的趋势和周期部分，例如若m=4，则无法估计前2个和后2个观测的趋势和周期的部分；

2）严重依赖“季节性部分每个周期都是相同的”这一假设；

3）过度光滑趋势部分。

4.2.  Holt-Winters算法

在上一节中，我们介绍了经典时序分解算法，但是它严重依赖“季节性部分每个周期都是相同的”这一假设。为了能够适应季节部分随时间发生变化，Holt-Winters算法被提出。Holt-Winters算法是基于简单指数光滑技术。首先，我们先介绍简单指数光滑技术。

简单指数光滑的思想主要是以下两点：

1）对未来的预测：用当前的水平对下一时刻的点进行预测；

2）当前水平的估计：使用当前时刻的观测值和预测值（基于历史观测数据的预测值，即上一时刻的水平）的加权平均作为当前水平的估计。

简单指数光滑的模型比较简单，如下：

Holt-Winters算法是简单指数光滑在趋势（可理解为水平的变化率）和季节性上的推广，主要包括水平（前文中的趋势项）、趋势项和季节项三个部分。

4.3.  STL算法

STL（Seasonal and Trend decomposition using Loess）是一个非常通用的、稳健性强的时序分解方法，其中Loess是一种估算非线性关系的方法。STL分解法由 Cleveland et al. (1990) 提出。

STL算法中最主要的是局部光滑技术 (locally weighted scatterplot smoothing, LOWESS or LOESS），有时也称为局部多项式回归拟合。它是对两维散点图进行平滑的常用方法，它结合了传统线性回归的简洁性和非线性回归的灵活性。当要估计某个响应变量值时，先从其预测点附近取一个数据子集(如下图点  是要预测的点，选取周围的点   来进行拟合)，然后对该子集进行线性回归或二次回归，回归时采用加权最小二乘法(如下图，采用的是高斯核进行加权)，即越靠近估计点的值其权重越大，最后利用得到的局部回归模型来估计响应变量的值。用这种方法进行逐点运算得到整条拟合曲线。

STL算法的主要环节包含内循环、外循环和季节项后平滑三个部分：

1）内循环：

2）外循环：

外循环主要作用则是引入了一个稳健性权重项，以控制数据中异常值产生的影响，这一项将会考虑到下一阶段内循环的临近权重中去。

3）季节项后平滑：

趋势分量和季节分量都是在内循环中得到的。循环完后，季节项将出现一定程度的毛刺现象，因为在内循环中平滑时是在每一个截口中进行的，因此，在按照时间序列重排后，就无法保证相邻时段的平滑了，为此，还需要进行季节项的后平滑，后平滑基于局部二次拟合，并且不再需要在loess中进行稳健性迭代。

对于异常的判断，我们常用的有 n-sigma 准则和boxplot准则（箱线图准则）。那这些准备是如何计算的，有哪些区别和联系呢？

n-sigma准则有计算简单、效率高且有很强的理论支撑，但是需要近似正态的假设，且均值和标准差的计算用到了全部的数据，因此，受异常点的影响较大。

为了降低异常点的影响，boxplot准则被提出。boxplot(箱线图)是一种用作显示一组数据分散情况的统计图，经常用于异常检测。BoxPlot的核心在于计算一组数据的中位数、两个四分位数、上限和下限，基于这些统计值画出箱线图。

根据上面的统计值就可以画出下面的图，超过上限的点或这个低于下限的点都可以认为是异常点。

从上面的计算上可以看出，boxplot对异常点是稳健的。

在前面的章节，我们了解了时序分解的算法，也学习了异常判断的准则，那么如何基于时序分解进行异常检测呢？在本章，我们将首先给出异常检测算法的原理，再给出基于时序分解的异常检测算法步骤。

回顾一下异常的定义，它是一个分段函数：

我们可以看到预测值（拟合值）和阈值是不知道的。对于预测值，我们可以通过找规律来猜这个预测值是多少，本章我们可以通过时序分解找周期和趋势的规律，进而得到预测值。对于阈值，我们可以看到阈值是针对真实值和预测值的差值设置的，目的是把异常值找到，因此我们只要找到正常值的残差和异常值的残差的边界即可。而我们n-sigma准则和boxplot准则就可以根据残差把边界找出来，即阈值。这个思考和实现的过程示意图如下：

本节我们给出基于“STL算法+boxplot准则”的异常检测算法，详细步骤如下：

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