《密码技术与物联网安全：mbedtls开发实战》 —3.5　域

3.5　域

介绍完群的概念之后，我们再来讨论密码学中的另一个常用概念—域。

3.5.1　域的基本概念

域在群的基础上增加了新的规则。域是有两个二元运算的集合，这两个二元运算分别为加法和乘法。

定义3-8

域F是包含加法与乘法运算的集合，且对于域F内的任意元素满足以下性质：

F中的所有元素形成了一个加法交换群，群操作为“+”，单位元为0；

F中除0以外的所有元素构成了一个乘法交换群，群操作为“·”，单位元为1；

当两种运算混合使用时，分配律仍然成立，即对域F内的任意元素a，b，c都满足a(b+c)=(ab)+(ac)。

简单说，域就是一个集合，我们可以在域上进行加法、减法、乘法和除法而不脱离该集合。

例3-8

实数集合R是一个域，加法群的单位元为0，集合内每个元素a的加法逆元为-a，乘法群的单位元为1，集合内每个非零元素a的乘法逆元为。

实数集合R符合域的定义，但是整数集合并不符合域的定义，例如整数2的倒数为0.5，0.5不属于整数集合，整数的倒数不在整数集合中，所以整数集合肯定不符合域的定义。