《密码技术与物联网安全：mbedtls开发实战》 —3.4.3　子群

3.4.3　子群

子群是循环群的一个子集。为了防止针对离散对数问题的攻击，通常会选择循环群中阶为素数的子群构建离散对数问题，而不是直接使用循环群本身。

定义3-7

设H是群G的一个子集合，如果对于群G的结合法，H成为一个群，那么H就叫作群G的子群。

子群作为群的子集，它本身也是群，为了验证群H是群G的一个子群，需要验证H是否满足群定义中的所有属性。

定理3-2

假设G是一个循环群，则G内每个满足ord(a)=s的元素a，都是拥有s个元素的循环子群的生成元。

定理3-2说明循环群内的每个元素都是其子群的生成元，而且生成的子群也是循环群。

例3-7

假设循环群G=Z*?7={3,2,6,4,5,1}，选择循环群G中的元素4作为生成元，通过生成元4构成一个子群H，子群H各元素计算过程如下：

41≡4 mod 7，42≡2 mod 7，43≡1 mod 7

所以，子群H={1,2,4}，子群H中的所有元素都属于循环群G，且子群H也是一个循环群。循环群G和子群H的关系如图3-1所示。