《密码技术与物联网安全：mbedtls开发实战》 —3.4.2　循环群

3.4.2　循环群

定义3-5

在群中定义求幂运算为重复的群运算，如a3=a·a·a，单位元为a0=e，并且a-n=(a)n，

其中a是a在群中的逆元，如果群G中的每一个元素都是群中一个固定元素a的幂ak（k是整数），则称G是循环群，a是生成元或本原元。

定义3-6

设群的单位元为e，群内元素a的阶记作ord(a)，用来表示满足以下条件的最小正整数k：。

例3-6

下面通过一个具体示例说明循环群的概念。示例中需要计算群Z*?7中a=3的阶，此处计算3k mod 7，其中k={1,2,3,4,5,6,7,8}，各计算结果记录如表3-7所示。

表3-7　计算群Z*?7中a=3的阶

从表3-7的计算结果可以看出，当指数为6时计算结果为1。3k mod 7的计算结果在集合{3,2,6,4,5,1}中不断循环，3k mod 7的计算结果的个数为6。由循环群的定义可知，当生成元为3时，群Z*?7的阶为6，记作ord(3)=6。该循环群可表示为：Z*?7={3,2,6,4,5,1}。

通过例3-6可得到，通过生成元3可获得循环群Z*?7内的所有元素，Z*?7的阶和循环群内的元素个数相同。

定理3-1

对每个素数p，（Z*?p,·）都是一个阿贝尔有限循环群。

例3-6中Z*?7={3,2,6,4,5,1}便是一个阿贝尔有限循环群。