《计算机组成与体系结构（原书第4版）》 —3.2.2　布尔代数的基本定律

3.2.2　布尔代数的基本定律

通常，布尔表达式不会用最简的形式来表示。这就好比代数表达式2x+6x并不是最简形式一样，它可以化简（以较简或更简的形式来表示）为8x。布尔表达式也可以化简，但需要新的定律来应用于布尔代数中，从而代替普通代数的化简规则。这些定律适用于单布尔变量以及布尔表达式，如表3-5所示。请注意，每个关系（最后一个除外）同时具有一个AND（乘积）的形式和一个OR（求和）的形式。这被称为对偶规则。

表3-5　布尔代数的基本定律

同一律规定任何布尔变量与1相与或者与0相或都只会得到原变量（1为AND的同一元素；0为或的同一元素）。零律规定任何布尔变量与0相与为0，任何一个变量与1相或始终为1。幂等律指出一个变量与自己进行与运算或者或运算都得到原变量。逆等律规定与反变量进行与运算或者或运算会产生给定操作的符号。布尔变量可以重新排序（交换）和重组（结合），而不会影响最后的结果。你应该知道普通代数中的交换律和结合律。分配律表示或运算如何变成与运算，反之亦然。

吸收律和德摩根定律就不那么明显了，但是可以通过创建各种表达式的真值表来证明这些定律：如果右侧等于左侧，那么表达式表示相同的功能和结果相同的真值表。表3-6表示德摩根定律对于真值表的左侧和右侧进行与运算。剩下定律有效性的证明留作练习，特别是，德摩根定律中的或和吸收律中的两种形式。

表3-6　德摩根定律AND形式的真值表

双重否定律对双重否定进行了形式化定义，这类似高中英语教师教的方法。双重否定律在数字电路和生活中都非常有用。例如，令x=1表示有现金，如果没有现金用x′表示。当一个不值得信任的熟人想借些现金，即使刚发了薪水，你也可以说没有没钱，即x=（x）″。

其中初学者常犯的错误是在学习布尔逻辑时，假设（xy）′=x′y′。请注意，这不是一个有效的等式！德摩根定律清楚地表明，这种说法是不正确的。而它应该是，（xy）′=x′+y′。这是一个很容易犯的错误，也是一个应该避免的错误。必须注意其他涉及否定的表达式。