《计算机组成与体系结构（原书第4版）》 —2.4.7　使用移位进行二进制乘法和除法

2.4.7　使用移位进行二进制乘法和除法

移位一个二进制数意味着左移或右移一定的位数。例如，二进制数值00001111向左移一位得到的结果是00011110（如果我们在右边填上一个零）。第一个数是十进制值15，第二个是十进制30，这恰好是第一个数的两倍。这不是巧合！

当使用有符号数的2的补码时，可以使用一个名为算术移位的特殊类型的移位，以快速且容易地执行乘以2和除以2的操作。回想在2的补码中，最左边的位决定它的符号，所以必须小心移动这些值，我们不能改变符号位，当乘以2或除以2时不应该改变该数的符号。

我们可以执行算术左移（将数字乘以2）或算术右移（将数字除以2）。假设位的编号是从右到左并从0开始编号，有以下对算术左右移位的定义。

算术左移插入一个0到b0位，并将所有其他位向左移一个位置，使得bn-1位被bn-2位替代。bn-1位是符号位，如果该位的值发生改变，则会引起操作溢出。在二进制数中，乘以2总是使得最右一位等于0，这是一个偶数，因此解释了为什么用一个零填充最右边。思考以下示例：

例2.28计算11（使用8位有符号数的2的补码表示）乘以2的结果。

我们从计算11的二进制值开始：

0 0 0 0 1 0 1 1

左移一位，结果是：

0 0 0 1 0  1 1 0

这是十进制22=11×2。没有溢出发生，所以这个值正确。

例2.29计算12（使用8位有符号数的2的补码表示）乘以4的结果。

我们从计算12的二进制值开始：

0 0 0 0 1 1 0 0

左移两位（每次移位相当于乘以2，所以两次移位等于乘以4），结果是：

0 0 1 1  0 0 0 0

这是十进制的48=12×4。没有溢出发生，所以这个值正确。

例2.30计算66（使用8位有符号数的2的补码表示）乘以2的结果。

我们从计算66的二进制值开始：

0 1 0 0 0 0  1 0

左移一位，结果是：

1 0 0 0 0  1 0 0

但是符号位已经改变了，所以发生了溢出（66×2=132，这个数太大，不能使用8位有符号数的2的补码表示）。

算术右移是将所有位向右移动，但复制符号位从bn-1位到bn-2位。因为我们从右到左复制符号位，所以溢出不是一个问题。然而，除以2可能有一个余数1；使用这种方法的除法运算是严格的整数除法，所以在任何情况下余数都不能被存储。思考以下示例：

例2.31计算12（使用8位有符号数的2的补码表示）除以2的结果。

我们从计算12的二进制值开始：

0 0 0 0  1 1 0 0

右移一位，复制符号位0，结果是：

0 0 0 0 0  1 1 0

这是十进制的6=12÷2。

例2.32计算12（使用8位有符号数的2的补码表示）除以4的结果。

我们从计算12的二进制值开始：

0 0 0 0 1 1 0 0

右移两位，结果是：

0 0 0 0  0 0 1 1

这是十进制的3=12÷4。

例2.33计算-14（使用8位有符号数的2的补码表示）除以2的结果。

我们从计算-14的2的补码表示开始：

1 1 1 1 0 0 1 0

右移一位（带符号位），结果是：

1 1 1 1 1 0 0 1

这是十进制的-7=-14÷2。

注意，如果我们将-15除以2（见例2.33），结果是将是11110001向左移动一位得到11111000，这是-8。因为我们做的是整数除法，所以-15除以2确实等于-8。