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凸优化理论基础2——凸集和锥
之前我已经介绍过仿射集的概念了,自认为讲的还算清楚,阅读此篇文章前建议先了解仿射集的相关概念🥗🥗🥗
凸集
==定义:== 集合C为凸集等价为
⇔C中任意两点间的线段仍然在C中,即对任意的
x1,x2∈C 和满足
0≤θ≤1 都有
θx1+(1−θ)x2∈C。
我们在学习相关概念的时候一定要学会对比着学习,凸集从概念上和仿射集是非常相近的,仿射集要求C中任意两点的直线仍然在C中,而凸集只需要求任意两点间的线段仍然在C中,也即凸集对
θ有一定的限制。从这个定义的差别来看,其实我们就能够得到一个结论:==仿射集一定是凸集。==
凸集我认为是非常容易理解的,下面的三个例子根据凸集的定义也很好判断是否为凸集🍉🍉🍉
![image-20220501100203979](https://res.hc-cdn.com/ecology/9.3.130/v2_resources/ydcomm/libs/images/loading.gif)
凸组合
和仿射组合的概念类似,我们称
θ1x1+⋯+θkxk 为点
x1,⋯,xk 的一个凸组合。其中
θ1+⋯+θk=1 且
θi≥0,i=1,⋯,k。同样的,类似于仿射组合,一个集合是凸集合等价于集合包含其中所有点的凸组合。【注意:这里的
θi≥0是凸组合所有的条件,在仿射组合中没有,这一条件就保证了
0≤θ≤1】
凸包
我们称集合C中所有点的凸组合的集合为凸包,记为
convC。凸包总是凸的,它包含了C的最小的凸集。如果B是包含C的凸集,那么
convC⊆B 。这里给出一些凸包的例子供大家理解🥂🥂🥂【注意凸集的凸包就是其本身】
![image-20220501103712328](https://res.hc-cdn.com/ecology/9.3.130/v2_resources/ydcomm/libs/images/loading.gif)
锥和凸锥
如果对于任意的
x∈C 和
θ≥0 都有
θx∈C ,我们称集合C是锥。【可以看出齐次方程组
AX=0 的解为锥】
如果集合C是锥,并且C的凸的,则称C为凸锥,即对任意的
x1,x2∈C 和
θ1,θ2≥0 ,都有
θ1x1+θ2x2∈C 。从几何上来看,凸锥构成了一个扇形,扇形以0为顶点,两边分别通过
x1和
x2 ,如下图所示:
![image-20220501111234275](https://res.hc-cdn.com/ecology/9.3.130/v2_resources/ydcomm/libs/images/loading.gif)
锥组合
具有
θ1x1+⋯+θkxk,θi≥0,i=1,⋯,k 形式的点称为
x1,⋯,xk 的一个锥组合。如果
xi均属于凸锥C,那么
xi 的每一个锥组合也在C中,也即集合C是凸锥的充要条件是它包含其元素的所有锥组合。
锥包
集合C的锥包是C中元素的所有锥组合的集合,锥包是包含C的最小的最小的凸锥。这里给出一些锥包的例子供大家理解🥂🥂🥂
![image-20220501112320651](https://res.hc-cdn.com/ecology/9.3.130/v2_resources/ydcomm/libs/images/loading.gif)
重要例子
![image-20220501112533920](https://res.hc-cdn.com/ecology/9.3.130/v2_resources/ydcomm/libs/images/loading.gif)
图片来源于书籍凸优化中文版
凸集、凸锥、仿射集三者关系图
![image-20220501113718294](https://res.hc-cdn.com/ecology/9.3.130/v2_resources/ydcomm/libs/images/loading.gif)
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