【IoT】加密与安全：ECC 算法基础原理浅析

1、初始 ECC 算法

1.1、用户 A 密钥生成

1）用随机数发生器产生随机数 k∈[1,n-1]；

2）计算椭圆曲线点 PA=[k]G，为公钥，k 为用户 A 私钥；

1.2、 用户 B 加密算法及流程

设需要发送的消息为比特串 M，klen 为 M 的比特长度。

为了对明文 M 进行加密，作为加密者的用户 B 应实现以下运算步骤：

1）用随机数发生器产生随机数 r∈[1,n-1] (随机数 r 为用户 B 的私钥)；

2）计算椭圆曲线点 C1=[r]G=(x1,y1)，，将 C1（用户 B 的公钥）的数据类型转换为比特串；

3）计算椭圆曲线点 C2=[r]=(x2,y2)，将 C2 的数据类型转换为比特串；

4）计算 C3= M*x2（modp）

5）输出密文 C=（x1,y1,C3）

一个 M 对应一个 C;

1.3、 用户 A 解密算法及流程

1）从密文 C 中取出 C1（x1,y1）。

2）使用私钥 k 计算点 C4（x2,y2）=k C1=k ( x1,y1)。

3）在中计算。

4）最后计算明文 P = C3，解密完成。

2、明文嵌入 ECC 算法

2.1、密钥生成用户 A

1）用随机数发生器产生随机数 k∈[1,n-1]；

2）计算椭圆曲线点=[k]G，为公钥，k 为用户 A 私钥；

2.2、 用户 B 加密算法及流程

设需要发送的消息为比特串 M，klen 为 M 的比特长度。

为了对明文 M 进行加密，作为加密者的用户 B 应实现以下运算步骤：

1）用随机数发生器产生随机数 r∈[1,n-1](随机数 r 为用户 B 的私钥)；

2）计算椭圆曲线点 C1=[r]G=(x1,y1)，，将 C1（用户 B 的公钥）的数据类型转换为比特串；

3）计算椭圆曲线点 C2=[r]=(x2,y2)，将 C2 的数据类型转换为比特串；

4）将明文 M 表示成一个域元素，即将明文转换成椭圆曲线上的点

5）计算 C3=  C2

6）输出密文 C=(x1,y1,C3)

一个 M 对应一个 C

2.3、用户A解密算法及流程

1）从密文 C 中取出 C1(x1,y1)；

2）使用私钥 k 计算点 C4（x2,y2）=k C1=k (x1,y1)；

3）从密文 C 中取出 C3；

4）最后计算明文 P = C3- C4，解密完成。

3、SM2 算法

RSA 算法的危机在于其存在亚指数算法，对 ECC 算法而言一般没有亚指数攻击算法。

SM2 椭圆曲线公钥密码算法：

我国自主知识产权的商用密码算法，是 ECC（Elliptic Curve Cryptosystem）算法的一种，基于椭圆曲线离散对数问题，计算复杂度是指数级，求解难度较大，同等安全程度要求下，椭圆曲线密码较其他公钥算法所需密钥长度小很多。

ECC 算法描述：

1）用户 A 选定一条适合加密的椭圆曲线 Ep(a,b)(如:y2=x3+ax+b)，并取椭圆曲线上一点，作为基点 G；

2）用户 A 选择一个私有密钥 k，并生成公开密钥（公钥 PB）K=kG；

3）用户 A 将 Ep(a,b)和点（公钥）K，G 传给用户 B；

4）用户 B 接到信息后 ，将待传输的明文（M）编码到 Ep(a,b)上一点 M，并产生一个随机整数 r（r<n），加密开始；

5）用户 B 计算点 C1=M+rK，C2=rG；

6）用户 B 将 C1、C2 传给用户 A；

7）用户 A 接到信息后，计算 C1-kC2，结果就是点 M，因为 C1-kC2=M+rK-k(rG)=M+rK-r(kG)=M 再对点M进行解码就可以得到明文。

密码学中，描述一条 Fp 上的椭圆曲线，常用到六个参量：

T=(p,a,b,G,n,h)

p、a、b 用来确定一条椭圆曲线，G 为基点，n 为点 G 的阶，h 是椭圆曲线上所有点的个数 m 与 n 相除的整数部分。

这几个参量取值的选择，直接影响了加密的安全性。

参量值一般要求满足以下几个条件：

1）p 当然越大越安全，但越大，计算速度会变慢，200位左右可以满足一般安全要求；
2）p≠n×h；
3）pt≠1 (mod n)，1≤t<20；
4）4a3+27b2≠0 (mod p)；
5）n 为素数；
6）h≤4。

refer：

https://www.cnblogs.com/smy87/p/7919208.html

https://www.cnblogs.com/smy87/p/8039038.html

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