外接圆画成了椭圆：非均匀缩放下的空圆性错觉

圆没有穿过三个顶点

绘制区是 1144×764，模型坐标按 1000×1000 设计，映射关系就是 x 乘 1.144、y 乘 0.764。这里的 1144×764 指 canvas.width/height，不是 CSS 尺寸；两者不一致时浏览器还会再缩放一次，sx、sy 必须以 backing store 为准。取三点 A(180,140)、B(820,260)、C(500,720)，实算外接圆心为 (470.361, 358.077)，半径 363.135。映射到屏幕，圆心落在 (538.093, 273.571)。如果只把半径乘上 x 方向的 1.144，得到 415.426；三个顶点到屏幕圆心的距离分别是 371.615、406.945、278.580。

这三个距离没有一个等于 415.426。A 差 43.811，B 差 8.481，C 差 136.846（均为半径减顶点距离）。C 靠近画布下方，y 方向被压到 0.764，径向差最大。屏幕上看到的是一个偏高的正圆：它比应有的椭圆在上下方向高出一截，三个顶点全落在弧内，空圆性像是被破坏了。

空圆性的画面含义很直接：外接圆应当同时穿过三个顶点，三角形内部不被圆弧切到。现在三个顶点都在弧内，圆弧没有经过任何一个顶点，外接圆的定义在画面上就不成立，和 Delaunay 的判定看起来冲突。实际数据没有冲突，冲突只发生在屏幕空间。

这类 bug 容易被误判为浮点误差。公式本身的浮点误差远小于一个像素，屏幕上的偏差却是 136.846 像素；看到顶点不贴合时，先量偏差，不要先调 epsilon。只要偏差随画布尺寸变化，基本就是坐标变换问题，而不是几何算错了。

外接圆本身没有算错。公式和代入结果如下：

function circumcircle(a, b, c) {
  const d = 2 * (a.x*(b.y-c.y) + b.x*(c.y-a.y) + c.x*(a.y-b.y));
  const A = a.x*a.x + a.y*a.y, B = b.x*b.x + b.y*b.y, C = c.x*c.x + c.y*c.y;
  const cx = (A*(b.y-c.y) + B*(c.y-a.y) + C*(a.y-b.y)) / d;
  const cy = (A*(c.x-b.x) + B*(a.x-c.x) + C*(b.x-a.x)) / d;
  return { cx, cy, r: Math.hypot(a.x-cx, a.y-cy) };
}

代入三点，d=665600，圆心与半径就是上面的数。d 是叉积的两倍，三点共线时 d=0，实际代码要在除法前把这种情况挡掉。圆心和半径都在模型坐标里，下一步才是问题所在。

一个标量半径画不出压扁的圆

模型圆上的点可以写成 (r cosθ, r sinθ)。经过屏幕映射后变成 (1.144r cosθ, 0.764r sinθ)，这是一条半轴为 415.426 和 277.435 的椭圆，不是圆。ctx.arc 的参数只有一个半径，无论取 1.144r、0.764r 还是两者的平均 0.954r，都只能得到正圆。取平均时，三个顶点的偏差是 +25.185、+60.515、-67.850（此处偏差口径为顶点距离减半径，与上一段的半径减顶点距离符号相反），仍然没有零。只要 sx 与 sy 不相等，圆心固定后，单半径就无解。当 sx=sy 时，rx=ry，ellipse 退化成 arc，两条路径重合；这也是为什么在正方形画布上测不出这个问题，测试用例里至少要有一个非等比视口。

正确做法是把两个方向的缩放分别放进半轴：

const A = {x:180, y:140}, B = {x:820, y:260}, C = {x:500, y:720};
const { cx, cy, r } = circumcircle(A, B, C);
const SX = 1144 / 1000, SY = 764 / 1000;
const X = cx * SX, Y = cy * SY;

ctx.beginPath();
ctx.arc(X, Y, r * SX, 0, Math.PI * 2);       // 只有一个半径
ctx.stroke();

ctx.beginPath();
ctx.ellipse(X, Y, r * SX, r * SY, 0, 0, Math.PI * 2); // 两个半轴
ctx.stroke();

把三个顶点代进椭圆方程 (dx/415.426)²+(dy/277.435)²，结果都是 1.000000000，打印精度内没有偏差。画布上的“圆”本来就该是椭圆；ellipse 的旋转参数为 0，是因为两条轴仍然与画布轴平行。

还有一个更便宜的旁证：路径包围盒。arc 版本是 830.852×830.852 的正方形，ellipse 版本是 830.852×554.870。包围盒不能证明圆过三点，但能立刻发现两个方向被画成了同一个尺度。若不想改绘制调用，也可以先把缩放压进上下文：ctx.setTransform(SX, 0, 0, SY, 0, 0) 之后用模型坐标 ctx.arc(cx, cy, r, ...)，效果等价于椭圆；代价是描边宽度也会被各向异性缩放，线条在水平和垂直方向不一样粗，所以画圆时仍以显式 ellipse 更可控。

这里还牵出一个渲染层的数据问题：如果渲染对象只保存一个 r，命中测试、描边宽度换算、后续的圆内点位采样都会跟着用错。把屏幕空间的 rx、ry 一起算出来并保存，比在下游反复乘缩放因子可靠。

命中测试也常犯同一个错：拿鼠标点到圆心的距离和一个半径比。两轴比例不同时，应该用椭圆方程 (dx/rx)²+(dy/ry)² <= 1，或者把点乘逆矩阵送回模型空间再比 r；单半径判断会在一个方向偏松、另一个方向偏紧。

断言停在模型空间，bug 在绘制层

用面积和边集合做的断言不会碰到这个问题。它们读的是模型坐标里的点、三角形面积、三条边的长度和半径，全部在 ctx 之前完成。空圆性检查也是把点代回距离公式；三个顶点到圆心的距离都等于 363.135，当然通过。绘制层把圆压成椭圆，对这些断言不可见：测试全绿，画面仍然错。断言和渲染共用同一份几何，却没有共用同一套坐标变换，盲区就出在这里。

模型空间的空圆断言通常写成 (px-cx)²+(py-cy)² 与 r² 比较，三个顶点代进去相等，边界用 <= 也过。它验证的是几何关系，不是绘制结果；即便再加第四点检查，仍然不会经过 ctx。要覆盖绘制，必须让检查读到路径或像素。

要抓住它，得从屏幕坐标反变换回模型坐标再量距离。对路径按角度采样，把每个采样点 (px,py) 用 ((px-X)/SX, (py-Y)/SY) 送回模型空间，计算它到圆心的距离，与 r 比较：

function maxRadialError(sample, X, Y, SX, SY, r) {
  let max = 0;
  for (let i = 0; i < 720; i++) {
    const t = i * Math.PI / 360;
    const p = sample(t);
    const dx = (p[0] - X) / SX, dy = (p[1] - Y) / SY;
    max = Math.max(max, Math.abs(Math.hypot(dx, dy) - r));
  }
  return max;
}

对 arc 路径采样 720 点，最大偏差 180.617，出现在 90° 方向；对 ellipse 路径，最大偏差 1.705e-13。阈值取 1e-6 就能分开两者。这个检查不看截图，也不依赖这一组三角形，换点仍然成立。

如果只检查截图，抗锯齿会让边缘发虚，上百像素的偏差当然明显，但几像素的偏差容易放过；反变换检查量的是路径本身，不受抗锯齿影响。

检查器本身也要防止空转：如果 sample 总是返回同一个点，最大偏差会是一个常数，看起来也可能“通过”。采样至少要覆盖 0°、90°、180°、270° 四个方向，并确认样本数大于 1；这组参数下 90° 的单点误差就是 180.617，已经足够暴露问题。

这类偏差还有一个特征：它不是随机抖动，而是随角度平滑变化。把 720 个采样点的误差画出来，arc 的曲线在 90° 和 270° 两个方向达到峰值，正好是 y 轴被压得最狠的方向；ellipse 则贴着零线。真出现回归时，从误差曲线就能判断是缩放矩阵没传对，还是半径取错了轴。

缩放比也不是常量。窗口尺寸一变，1.144 和 0.764 都会变；把这两个数写死在绘制代码里，换一个画布尺寸就会重新出现偏差。稳妥的做法是从当前视口和模型范围算出 sx、sy，绘制时用 rx=r*sx、ry=r*sy，检查时用同一组比值做反变换。最大偏差与半径同阶，这组参数下是 180.617；半径翻倍，偏差也会翻倍，所以不能用固定像素阈值去兜。

修复分三步：把 sx、sy 作为绘制状态的一部分，和模型到屏幕的平移一起保存；画外接圆时用 rx=r*sx、ry=r*sy；检查器接收同一组 sx、sy，而不是自己再推一遍。任何一步换了缩放来源，误差都会回来。

如果视口还带平移或旋转，做法一样：把模型到屏幕的 2×3 矩阵存下来，采样点乘逆矩阵回到模型空间；椭圆的两个半轴和 rotation 也从矩阵分解，不要手工填。ellipse 的 rotation 在轴对齐时是 0，画布旋转后应取模型 x 轴在屏幕上的角度，只改 rx、ry 不改 rotation 仍然不贴合。

（完）