几何代码里，直线不要用斜率表示

写几何代码时，直线最自然的表示是斜率：

y = kx + b
k = (y2 − y1) / (x2 − x1)

中学课本里它很好用，因为大部分题目不会给你一条垂直线。代码不一样：用户拖两个点，随时可能拖成一条垂直线；点集是随机生成的，近垂直的情况迟早会出现。斜率在这两种情况下都不好用。

斜率的三个硬伤

1. 垂直线没有斜率

两个点 (0, 0) 和 (0, 10) 确定一条垂直线。代入公式，分母是 0，斜率不存在。

你当然可以加一个特判：if (x1 === x2) 就按垂直线处理。但特判会扩散：求交点要特判，判断点在直线哪一侧要特判，裁剪多边形要特判，每条用到这条直线的地方都要记得它可能是垂直的。特判越多，漏掉一个就是一个 bug。

2. 近垂直线会把误差放大

比垂直线更麻烦的是「几乎垂直」。两个点 (0, 0) 和 (1e-9, 10)，斜率是 1e10。这个数本身没有错，但它参与后续运算时会把微小的坐标误差放大同样的倍数。

比如求两条近垂直直线的交点，本质上是解一个接近奇异的方程组。用斜率写，分母可能是两个巨大数相减，有效数字大量损失；用叉积写，分母是叉积，虽然也可能很小，但至少你能直接看到它小，并且可以用一个和尺度相关的容差去判断「是否平行」。

3. 斜率丢掉了方向

直线是有方向的：从 p 到 q 和从 q 到 p，斜率一样，但「左侧」和「右侧」反了。

裁剪、半平面判断、多边形方向，全都依赖方向。半平面可以理解成「直线的一侧」：直线把平面分成两半，保留哪一半由方向决定。用斜率表示，你得另外存一个方向标志；用两个点表示，方向天然保留在点的顺序里。

用两个点表示直线

最基本的表示：直线由两个不同的点 p、q 确定，点 x 在直线上的条件是叉积为零：

function cross(o, a, b) {
  return (a.x - o.x) * (b.y - o.y) - (a.y - o.y) * (b.x - o.x);
}

const side = cross(p, q, x);
// side > 0：x 在有向直线 p→q 的左侧
// side = 0：x 在直线上
// side < 0：x 在右侧

没有除法，没有斜率，垂直线和水平线一视同仁。side 的绝对值是三角形 p,q,x 面积的两倍，量纲是长度平方；判断「在直线上」时，容差要按坐标尺度的平方来取，不能直接和 0 比。

这个表示还有一个好处：它天然带方向。交换 p 和 q，side 的符号整体翻转，左侧变右侧。裁剪时想保留哪一侧，只要控制点的顺序，不需要额外的布尔变量。

例子一：两条线段是否相交

用斜率判断线段相交，要先求两条直线的交点，再判断交点是否落在线段内，还要处理平行、垂直、重合。用叉积，只需要四次符号判断：

function segmentsProperlyIntersect(p1, p2, p3, p4) {
  const d1 = cross(p3, p4, p1), d2 = cross(p3, p4, p2);
  const d3 = cross(p1, p2, p3), d4 = cross(p1, p2, p4);
  return ((d1 > 0 && d2 < 0) || (d1 < 0 && d2 > 0)) &&
         ((d3 > 0 && d4 < 0) || (d3 < 0 && d4 > 0));
}

d1 和 d2 是线段 p1p2 的两个端点相对于直线 p3p4 的侧别；符号相反，说明两个端点在直线两侧。d3、d4 同理。两组都相反，两条线段才「真正穿过」彼此。

这段代码没有除法，没有斜率，也没有垂直线的特判。它用的是严格不等式，所以端点接触、共线重叠不算「proper intersection」；如果业务需要把端点接触也算相交，要另外加边界判断。严格不等式在两条线段几乎相切时也可能把「擦边」判成相交，需要容差时得单独处理。这不是遗漏，是定义的选择：先明确「相交」指什么，再写判据。

例子二：点是否在凸多边形内

同样的思路可以判断点是否在凸多边形内。凸多边形的每条边定义一个半平面，点在内部，当且仅当它位于所有边的同一侧。

function pointInConvexPolygon(p, poly, eps) {
  const e = eps === undefined ? 1e-9 : eps;  // 兜底值；调用方应按点集尺度传入
  if (poly.length < 3) return false;
  const sign = polygonIsCCW(poly) ? 1 : -1;
  for (let i = 0, n = poly.length; i < n; i++) {
    const a = poly[i], b = poly[(i + 1) % n];
    if (sign * cross(a, b, p) < -e) return false;
  }
  return true;
}

polygonIsCCW 用有符号面积判断多边形方向，sign 把两种情况统一成「内部为非负」。每条边只做一次叉积，没有除法；e 是边界容差，允许点落在边上。

如果多边形是顺时针，sign 取 -1，所有叉积符号翻过来；如果多边形方向不确定，这一步不能省。用斜率写，每条边都要先算斜率和截距，还要处理垂直边，需要覆盖的分支更多。

例子三：垂直平分线作为半平面

Voronoi 图里最常用的直线是两站点的垂直平分线。用斜率写，要先算中点、再算斜率的负倒数，遇到水平/垂直还要特判；用向量写，只需要两个量：

function clipByBisector(poly, si, sj) {
  const nx = sj.x - si.x, ny = sj.y - si.y;
  const mx = (si.x + sj.x) / 2, my = (si.y + sj.y) / 2;
  const f = p => (p.x - mx) * nx + (p.y - my) * ny;

  const outPoly = [];
  for (let i = 0, n = poly.length; i < n; i++) {
    const a = poly[i], b = poly[(i + 1) % n];
    const fa = f(a), fb = f(b);
    if (fa <= 0) outPoly.push(a);
    if ((fa < 0 && fb > 0) || (fa > 0 && fb < 0)) {
      const t = fa / (fa - fb);
      outPoly.push({ x: a.x + t * (b.x - a.x), y: a.y + t * (b.y - a.y) });
    }
  }
  return outPoly;
}

n = sj − si 是从 si 指向 sj 的向量，它恰好是垂直平分线的法向量；m 是中点。点 p 代入 f，得到的是 (p − m) 与法向量的点积（等于投影长度乘以 |n|）。这里不需要把 n 归一化：符号和零点位置与向量长度无关，归一化反而多一次除法。

这个 f 还有一个更直观的解释。展开一下：

f(p) = (p − m) · (sj − si)
     = (|p − si|² − |p − sj|²) / 2

所以 f(p) < 0 等价于 |p − si|² < |p − sj|²，也就是「离 si 更近」。不需要开方，不需要比较两个距离，更不需要斜率。

只要 si ≠ sj，这段代码对两者的相对位置没有任何要求：水平、垂直、斜着，公式都一样。垂直线在这里不是特殊情况，只是 n 的某个分量为 0 而已。演示页在入口做了去重，si = sj 的情况不会走到这里；如果调用方不能保证这一点，要先单独处理，否则 n = 0、f 恒为 0，整块多边形都会被保留。

Voronoi 单元怎么拼、怎么裁回画布，是另一个话题；这里只取这条平分线，看它怎么被表示、怎么求交。

求交点：只保留一次除法

上面的 clipByBisector 里出现了一次除法：

const t = fa / (fa - fb);

这是整段代码里唯一一处「除以变量」的除法（中点的 /2 是常数除法，浮点下是精确的），而且只在 fa、fb 严格异号时执行。分母 fa − fb 不会因为符号相消变成 0：两个端点严格异号时，它是两个绝对值相加，|fa − fb| = |fa| + |fb|。

不过，如果边两端都贴近平分线，两个绝对值本身都很小，分母仍然可以很小，交点精度会下降——这通常意味着这条边几乎与平分线相切，需要靠容差或退化处理。比起「先算斜率、再解方程组」，这个除法的条件仍然好得多。

t 落在 (0, 1) 内，可以直接用来做插值。求完交点就结束，不需要把直线本身存成斜率形式。

矩形裁剪：除法可以存在，但要能说清分母

同一个演示页里还有一段按矩形裁剪多边形的代码，内部有一个按 x 切割的闭包，取出来是这样：

function cutX(a, b, x) {
  const t = (x - a.x) / (b.x - a.x);
  return { x, y: a.y + t * (b.y - a.y) };
}

这里直接除了 b.x − a.x，看起来违反了「不要除以可能为零的量」。但调用它的前提是：这条边真的穿过了 x = 常数 这条切割线。如果 b.x === a.x，这条边平行于切割线，两个端点会在同一侧，inside 判断要么都真要么都假，cutX 根本不会被调用；如果这条边与切割线重合，两个端点都在边界上，inside 也都为真，同样不会调用。

这就是「除法可以存在，但要能说清分母什么时候不为零」。半平面裁剪里的 fa − fb 也是同一个道理：只有异号才调用，异号保证分母不为零。

容差怎么取

叉积和点积都是「长度 × 长度」，量纲是长度平方。判断「点是否在直线上」时，容差不能永远是一个固定的 1e-9，而应该跟坐标尺度走，比如：

const eps = 1e-9 * dmax * dmax;
if (Math.abs(side) <= eps) { /* 认为在直线上 */ }

dmax 是点集包围盒的长边。坐标整体放大 10 倍，容差放大 100 倍，相对强度不变。固定绝对容差在坐标范围变化时，要么太松、要么太紧。例子二里为了方便调用留了 1e-9 的默认值，那只是兜底；真正使用时应该由调用方按点集尺度传入。

这是和叉积量纲对齐的写法：eps 和 side 都是长度平方，比较时不需要额外解释。点定位那段代码用的是 1e-9 * dmax，随尺度走但量纲不严格，属于实现取舍——两种写法都比固定绝对小数稳，但 dmax² 更容易说明「为什么是这个量级」。

更精确一点，容差还会把边的长度算进去：1e-9 * dmax * |pq|。用 dmax² 相当于假设边长与点集尺度同阶。如果点集本身很小（dmax < 1），要不要再给一个绝对下限，取决于数据；加了就不再严格随尺度平方走。

一条可以直接用的规则

能用两个点表示直线，就不要算斜率；必须算交点时，把除法留到最后一刻，并且确认分母在什么条件下不为零。

斜率不是错，它只是把「垂直」这个特殊情况藏进了公式的盲区。几何代码里，特殊情况不会因为你不写就不出现；最好的处理方式是选一个让特殊情况自然消失的表示。

（完）