用 Python 实现电池一阶 RC 等效电路模型：参数辨识与仿真

专栏：《电池上云笔记》第 3 篇 ｜ 分类：开发语言
关键词：等效电路模型、Thevenin 模型、一阶 RC、HPPC、脉冲法、参数辨识、精确离散化、Python、numpy、pandas

一、为什么需要一个"电池模型"

前两篇我们完成了两件事：第 1 篇画出了"电芯 → 设备 → 云端"的数据链路全景图，第 2 篇把测试仪的放电曲线变成了可计算的结构化数据。数据有了，下一个问题是：

给定任意一段电流，电池的端电压会怎么变？

这个问题背后是很多工程需求：

• 电量估算：卡尔曼滤波（EKF）估 SOC 时（参见我之前的镍氢电池 EKF 实战文章），需要一个"电流 → 电压"的预测模型，模型越准，SOC 越准；
• 低电压预警：设备瞬间大电流（电机启动、无线模块发射）会不会把电压拉到关机阈值以下？
• 续航仿真：新产品还没做出来，先用模型 + 负载曲线预估能用多久；
• 数据上云后的"数字孪生"：云端用模型对比实测，偏差变大就意味着电池老化或异常。

电化学机理模型（如 P2D 模型）精度高，但参数多、计算重，不适合 MCU 和大规模云端批量计算。工程上最常用的是等效电路模型（ECM，Equivalent Circuit Model）——用电压源、电阻、电容"模仿"电池的外特性。其中最经典的就是一阶 RC 模型（Thevenin 模型）。

本文目标：用约 80 行 numpy/pandas 代码，完成

脉冲测试数据 ──► ① 库仑计数算 SOC
            ──► ② 自动定位脉冲
            ──► ③ 辨识 R0 / R1 / C1 / OCV（随 SOC 变化的查找表）
            ──► ④ 仿真任意电流工况的端电压
            ──► ⑤ 与实测对比 RMSE / MAE / 最大误差

最后还会回答一个很实际的问题：一阶模型的误差到底是"参数没辨识准"，还是"模型本身不够"？

说明：为了让大家能直接运行和验证，本文使用模拟生成的实验数据（文末附生成脚本）。虚拟电池以 NiMH AA 2000 mAh 为原型，内部"真值"是一个二阶 RC 模型并加入测量噪声与量化，这样我们能拿辨识结果和真值做对照。数值仅用于演示方法，不代表任何具体产品的性能。 方法本身同样适用于锂离子电池，换成真实测试仪数据即可。

二、Thevenin 模型：三个元件，三种物理过程

2.1 电路结构

        R0          R1
  ┌───/\/\/───┬───/\/\/───┐
  │           │           │
 (+)          └────||─────┤
 OCV(SOC)          C1     │
 (−)                      │
  │                       │
  └──────── 负载 ◄────────┘      端电压 Vt

一句话理解：R0 决定"一下子掉多少"，R1C1 决定"之后还会慢慢掉多少、掉多快"。时间常数 τ = R1·C1 就是这个"慢慢"的快慢。

2.2 数学方程

约定放电电流 I 为正，极化电压为 V1，则：

$$V_t = \mathrm{OCV}(\mathrm{SOC}) - I\,R_0 - V_1$$

$$\frac{dV_1}{dt} = -\frac{V_1}{R_1C_1} + \frac{I}{C_1}$$

$$\mathrm{SOC}(t) = \mathrm{SOC}_0 - \frac{1}{Q_n}\int_0^t I\,d\tau$$

恒流 I 放电 t 秒后，极化电压为 $V_1(t) = I R_1\left(1-e^{-t/\tau}\right)$；卸载后 $V_1$ 按 $e^{-t/\tau}$ 衰减。这两条指数曲线，就是参数辨识的全部依据。

2.3 离散化：别用前向欧拉

代码里要把微分方程变成递推。很多教程直接写前向欧拉：

$$V_1[k] = V_1[k-1]\left(1-\frac{\Delta t}{\tau}\right) + \frac{\Delta t}{C_1} I[k-1]$$

它在 Δt 远小于 τ 时没问题，但当采样间隔变大（比如云端只存 1 min 一个点，或 MCU 低功耗模式下 10 s 采一次），Δt > 2τ 时会直接发散。

更好的做法是假设两次采样之间电流不变（零阶保持），直接用解析解：

$$V_1[k] = V_1[k-1]\,e^{-\Delta t/\tau} + R_1\left(1-e^{-\Delta t/\tau}\right) I[k-1]$$

这个公式对任意 Δt 都无条件稳定且精确（在电流分段恒定的前提下），计算量也只多一个 exp，MCU 上还可以预先把 $e^{-\Delta t/\tau}$ 算好存起来。后文代码全部使用这种形式。

三、测试设计：HPPC 式脉冲 + 长静置

参数辨识的数据来自脉冲测试，思路借鉴锂电行业常用的 HPPC（Hybrid Pulse Power Characterization）。本文的测试步骤：

1. 满电后静置 30 min；
2. 每个 SOC 点执行：2 A 放电脉冲 10 s → 静置 60 s → 1 A 放电 12 min（消耗 10% SOC）→ 静置 30 min；
3. 重复 9 次，覆盖 SOC 100% → 10%；
4. 采样率 10 Hz，记录时间、电流、电压。

每个设计都有原因：

图1 左：完整脉冲测试的电流/电压；右：单个脉冲放大，标注了 R0 台阶（瞬时压降/回升）和 R1C1 弛豫段。

四、辨识原理

以一个脉冲为例（脉冲电流 I、持续 Tp）：

① OCV：取脉冲开始前 5 个点的平均电压。

② R0：加载瞬间压降和卸载瞬间回升各算一次，取平均，可以抵消一部分噪声和"台阶前后点"不对称的影响：

$$R_0 = \frac{\Delta V_{on} + \Delta V_{off}}{2I}$$

③ τ 与 R1：卸载后的弛豫段满足

$$V(t) = V_\infty - A\,e^{-t/\tau}, \qquad A = I R_1\left(1-e^{-T_p/\tau}\right)$$

这里有个容易忽略的点：10 s 脉冲并没有让 RC 支路"充满"（τ=8 s 时只充到 1−e^(−10/8) ≈ 71%），如果直接用 A/I 当 R1，会低估约 30%。所以要除以 $(1-e^{-T_p/\tau})$ 做修正。

④ C1：$C_1 = \tau / R_1$。

拟合方法上，这是一个"一个非线性参数 τ + 两个线性参数 V∞、A"的问题。不需要 scipy，用一个小技巧即可：对 τ 做网格搜索，每个 τ 下用线性最小二乘求 V∞ 和 A，取残差最小的那组。400 个网格点，单个脉冲不到 0.1 s，结果稳定，也不存在初值敏感、不收敛的问题。

五、完整代码

"""电池一阶 RC（Thevenin）等效电路模型：脉冲法参数辨识 + 任意工况仿真 + 误差评估（仅依赖 numpy/pandas）"""
import numpy as np
import pandas as pd

Q_AH = 2.0                                   # 额定容量 (Ah)

# ---------- 1. 库仑计数得到 SOC ----------
def coulomb_soc(t, i, soc0=1.0):
    dq = np.concatenate([[0], (i[1:] + i[:-1]) / 2 * np.diff(t)]) / 3600   # Ah，梯形积分
    return soc0 - np.cumsum(dq) / Q_AH

# ---------- 2. 找脉冲：电流从 ≈0 跳到 ≥ 阈值 ----------
def find_pulses(i, i_th=1.5, rest_th=0.05):
    on = i > i_th
    starts = np.where(on[1:] & ~on[:-1])[0] + 1
    ends = np.where(~on[1:] & on[:-1])[0] + 1
    return [(s, e) for s, e in zip(starts, ends) if abs(i[s - 1]) < rest_th]

# ---------- 3. 弛豫曲线拟合：V(t) = V∞ - A·exp(-t/τ)，τ 网格搜索 + 线性最小二乘 ----------
def fit_relaxation(t, v, taus=np.geomspace(0.5, 200, 400)):
    best = None
    for tau in taus:
        X = np.column_stack([np.ones_like(t), -np.exp(-t / tau)])
        coef, res, *_ = np.linalg.lstsq(X, v, rcond=None)
        sse = res[0] if res.size else np.sum((X @ coef - v) ** 2)
        if best is None or sse < best[0]:
            best = (sse, tau, *coef)
    _, tau, v_inf, amp = best
    return tau, v_inf, amp

# ---------- 4. 脉冲法辨识 R0 / R1 / C1 / OCV ----------
def identify(df, relax_s=60.0):
    t, i, v = df["t_s"].to_numpy(), df["current_A"].to_numpy(), df["voltage_V"].to_numpy()
    soc = coulomb_soc(t, i)
    rows = []
    for s, e in find_pulses(i):
        I = i[s:e].mean(); Tp = t[e - 1] - t[s] + (t[1] - t[0])
        ocv = v[s - 5:s].mean()                                 # 脉冲前长时间静置 ≈ OCV
        r0_on = (v[s - 1] - v[s]) / I                           # 加载瞬间压降
        r0_off = (v[e] - v[e - 1]) / I                          # 卸载瞬间回升
        r0 = (r0_on + r0_off) / 2
        m = (t >= t[e]) & (t <= t[e] + relax_s)                 # 卸载后的弛豫段
        tau, v_inf, amp = fit_relaxation(t[m] - t[e], v[m])
        r1 = amp / (I * (1 - np.exp(-Tp / tau)))                # 修正脉冲期间 RC 未充满
        rows.append(dict(soc=round(soc[s], 3), ocv=ocv, r0_mohm=r0 * 1e3,
                         r1_mohm=r1 * 1e3, tau_s=tau, c1_F=tau / r1))
    return pd.DataFrame(rows).sort_values("soc").reset_index(drop=True)

# ---------- 5. 仿真：参数按 SOC 查表插值，RC 支路用精确离散化 ----------
def simulate(params, t, i, soc0, use_rc=True):
    soc = coulomb_soc(t, i, soc0)
    lut = lambda col: np.interp(soc, params["soc"], params[col])
    ocv, r0 = lut("ocv"), lut("r0_mohm") / 1e3
    r1, tau = lut("r1_mohm") / 1e3, lut("tau_s")
    v1, out = 0.0, np.empty_like(i)
    for k in range(len(i)):
        if use_rc and k > 0:
            a = np.exp(-(t[k] - t[k - 1]) / tau[k])
            v1 = v1 * a + i[k - 1] * r1[k] * (1 - a)            # 零阶保持下的精确解
        out[k] = ocv[k] - i[k] * r0[k] - (v1 if use_rc else 0.0)
    return out, soc

def metrics(v_meas, v_sim):
    err = (v_sim - v_meas) * 1e3
    return dict(RMSE_mV=np.sqrt(np.mean(err ** 2)), MAE_mV=np.mean(np.abs(err)), MAX_mV=np.max(np.abs(err)))

if __name__ == "__main__":
    pulse = pd.read_csv("pulse_test.csv")
    params = identify(pulse)
    print("== 辨识结果 ==")
    print(params.round({"ocv": 4, "r0_mohm": 1, "r1_mohm": 1, "tau_s": 1, "c1_F": 0}).to_string(index=False))
    params.to_csv("ecm_params.csv", index=False)

    drive = pd.read_csv("drive_test.csv")
    t, i, v = (drive[c].to_numpy() for c in ("t_s", "current_A", "voltage_V"))
    v_1rc, soc = simulate(params, t, i, soc0=0.9)
    v_r0, _ = simulate(params, t, i, soc0=0.9, use_rc=False)
    print("\n== 验证工况误差 ==")
    for name, vs in (("仅内阻 Rint 模型", v_r0), ("一阶 RC 模型", v_1rc)):
        print(name, {k: round(x, 2) for k, x in metrics(v, vs).items()})
    np.save("sim.npy", np.vstack([t, i, v, v_1rc, v_r0, soc]))

几个实现细节说明：

• find_pulses 只认"从静置（|I|<0.05 A）跳到 >1.5 A"的边沿，所以 1 A 的长放电段不会被误判为脉冲；
• identify 输出的是一张以 SOC 为索引的参数表，simulate 用 np.interp 线性插值查表，SOC 超出范围时自动取端点值；
• simulate 中 use_rc=False 时退化为最简单的内阻模型（Rint），用来做对照；
• 电流采样有噪声，所以 SOC 用梯形积分，避免左矩形法的系统偏差（第 2 篇做过对比实验）。

运行：

python gen_data.py   # 生成模拟数据（真实项目替换为测试仪导出的 CSV）
python ecm.py        # 辨识 + 仿真 + 误差

六、辨识结果：和真值对一对

（虚拟电池真值：τ1 = 8 s）

图2 OCV、R0、R1 随 SOC 的变化，虚线为真值，圆点为辨识结果。

从表中可以读出三点：

1. OCV 误差 < 0.6 mV，R0 误差 < 0.6 mΩ，R1 误差 < 0.4 mΩ，τ1 误差 < 3%。在 0.5 mV 噪声、0.1 mV 量化的条件下，这个精度说明方法是可靠的；
2. 低 SOC 时内阻明显上升（R0 从 30 mΩ 升到 45 mΩ，R1 从 15 mΩ 升到 23 mΩ）。这正是电池"快没电时一用大电流就关机"的原因——不只是 OCV 低了，压降也更大了；
3. R1 的辨识值普遍比真值略高 0.1～0.4 mΩ：虚拟电池里还有一个 τ2 = 120 s 的慢支路，10 s 脉冲对它也有一点激励，被"算进"了 R1。这个小偏差是下一节误差分析的伏笔。

七、模型验证：在"没见过"的工况上跑一遍

辨识用的是脉冲数据，验证必须用另一套工况，否则就是"自己考自己"。验证数据是一段 90 min 的随机混合负载（模拟玩具、手持设备、IoT 设备的间歇大电流），电流在 0～2 A 之间随机切换，每段 5～120 s，SOC 从 90% 降到约 21%，平均电流约 0.92 A。

drive = pd.read_csv("drive_test.csv")
v_1rc, soc = simulate(params, t, i, soc0=0.9)
v_r0, _   = simulate(params, t, i, soc0=0.9, use_rc=False)

图3 上：验证工况电流（局部 15 min）；中：测量电压与三种模型仿真；下：全程 90 min 误差。

结论很直观：

• Rint 模型只会"台阶式"跳变，完全跟不上电流变化后的缓慢下降/回升，误差最大 60 mV。对 NiMH 来说，60 mV 大约对应 20%～30% 的 SOC 偏差（NiMH 的 OCV 曲线很平），基本没法用；
• 一阶 RC 把 RMSE 降到 9.3 mV，降幅 70%，动态过程的形状已经基本吻合；
• 二阶 RC 进一步降到 0.68 mV，已经接近 0.5 mV 的测量噪声。

八、误差从哪里来：参数问题还是结构问题？

一阶模型还有 9 mV 的误差，第一反应往往是"参数没调好，再优化一下"。在优化之前，先做一个对照实验：直接把虚拟电池的真值参数（OCV、R0、R1、τ1）装进一阶模型，看误差是多少。

# check.py 核心：真值参数 + 一阶结构（去掉慢支路 R2/τ2）
for k in range(len(i)):
    if k:
        a = np.exp(-(t[k]-t[k-1]) / g.TAU1)
        v1 = v1*a + i[k-1]*g.r1(s[k])*(1-a)
    out[k] = g.ocv(s[k]) - i[k]*g.r0(s[k]) - v1

用真值参数反而更差。 这说明一阶模型剩下的误差几乎全部来自模型结构——它缺少一个慢时间常数的扩散支路，参数再怎么调也补不上（辨识值略好，恰恰是因为 R1 "吸收"了一点慢支路的影响）。

再按 SOC 区间看误差的均值：

误差是稳定的正偏差（模型电压偏高约 8 mV），并且各个 SOC 区间都差不多。做个估算：慢支路 R2 = 10 mΩ，平均电流 0.92 A，稳态下它贡献的压降约 9 mV——和偏差几乎一致。

经验：先判断误差是"随机的"还是"有结构的"。 有稳定偏差、或者误差和电流历史相关，通常是模型阶数不够；误差在零附近随机抖动、幅度接近噪声，才说明模型已经到头了。

九、进阶：从长静置段辨识二阶 RC

为什么一阶辨识"看不见"慢支路？因为辨识窗口决定了你能看到哪个时间常数：10 s 脉冲 + 60 s 静置，只够看清 τ1 = 8 s；τ2 = 120 s 的过程在 60 s 内只走了一小半，被当成了"缓慢漂移"。

好在测试设计里每个 SOC 点都有一段 1 A 放电 12 min + 静置 30 min，长放电让慢支路充分建立，长静置让它完整衰减。对这段弛豫曲线做双指数拟合：

$$V(t) = V_\infty - A_1 e^{-t/\tau_1} - A_2 e^{-t/\tau_2}$$

方法和一阶一样：τ1、τ2 做二维网格搜索，每组 (τ1, τ2) 下线性最小二乘求 V∞、A1、A2。为减少计算量，前 60 s 保留 10 Hz，之后降到 1 Hz。

def fit_relaxation2(t, v, tau1s=np.geomspace(1, 40, 40), tau2s=np.geomspace(45, 800, 40)):
    best = None
    for t1 in tau1s:
        e1 = np.exp(-t / t1)
        for t2 in tau2s:
            X = np.column_stack([np.ones_like(t), -e1, -np.exp(-t / t2)])
            coef, res, *_ = np.linalg.lstsq(X, v, rcond=None)
            sse = res[0] if res.size else np.inf
            if best is None or sse < best[0]:
                best = (sse, t1, t2, *coef)
    return best[1:]                     # τ1, τ2, V∞, A1, A2

长放电 12 min 远大于 τ1、τ2，两条支路都已充满，所以这里直接 R1 = A1/I、R2 = A2/I，不需要做"未充满修正"。辨识结果：τ1 ≈ 8.01 s，τ2 ≈ 117 s（真值 120 s），R2 ≈ 9.9～10.1 mΩ（真值 10 mΩ）。仿真时多加一条 RC 支路即可，误差从 9.3 mV 降到 0.68 mV。

但要注意代价：二阶模型需要更长的测试时间（每个 SOC 点要 30 min 以上静置）、更多参数、更多计算。是否值得，取决于应用：

十、工程落地的 7 条建议

1. R0 对采样率最敏感。1 Hz 采样时"台阶后第一个点"已经包含了部分极化，R0 会偏大。辨识 R0 建议 ≥ 10 Hz，有条件用 100 Hz 以上；
2. 静置时间决定能看到的时间常数。经验上静置时长 ≥ 5τ；想看 τ2 = 120 s 的过程，至少要 10 min；
3. 参数强烈依赖温度。R0、R1 在 0 ℃ 时可能是 25 ℃ 的 2～3 倍。产品级模型要做成 SOC × 温度的二维表；
4. NiMH 有明显的电压迟滞：充电后和放电后的 OCV 不同，本文只做了放电方向，充电工况要单独辨识，或者在模型里加迟滞项；
5. 参数表就是 MCU 上的查找表。9 个 SOC 点 × 4 个参数 = 36 个 float，不到 150 字节，查表 + 一次指数递推，Cortex-M0 也轻松跑；
6. 离散化系数可以预计算。采样周期固定时，a = exp(-Δt/τ) 可以离线算好存表，MCU 上连 exp 都省了；
7. 用独立工况验证，并记录误差指标。RMSE、最大误差、按 SOC 分区的偏差应随参数表一起入库，后续上云做老化跟踪时，"误差变大"本身就是一个健康度指标。

附一个 MCU 端的 C 语言实现参考，逻辑与 Python 版 simulate 完全一致：

/* 一阶 RC 模型端电压预测（放电电流为正），参数表按 SOC 升序 */
#define N_PT 9
static const float SOC_T[N_PT] = {0.178f,0.281f,0.383f,0.486f,0.589f,0.692f,0.794f,0.897f,1.0f};
static const float OCV_T[N_PT] = {1.2155f,1.2318f,1.2453f,1.2557f,1.2658f,1.2743f,1.2816f,1.2901f,1.3195f};
static const float R0_T[N_PT]  = {0.0452f,0.0410f,0.0384f,0.0353f,0.0337f,0.0325f,0.0313f,0.0305f,0.0301f};
static const float R1_T[N_PT]  = {0.0233f,0.0222f,0.0212f,0.0205f,0.0194f,0.0183f,0.0172f,0.0162f,0.0153f};
static const float TAU_T[N_PT] = {8.0f,8.0f,8.0f,8.2f,8.2f,8.2f,8.2f,8.0f,8.2f};

static float lut(const float *y, float soc) {
    if (soc <= SOC_T[0]) return y[0];
    if (soc >= SOC_T[N_PT-1]) return y[N_PT-1];
    int k = 1; while (SOC_T[k] < soc) k++;
    float w = (soc - SOC_T[k-1]) / (SOC_T[k] - SOC_T[k-1]);
    return y[k-1] + w * (y[k] - y[k-1]);
}

typedef struct { float v1, i_prev; } ecm_state_t;

float ecm_step(ecm_state_t *s, float i_now, float soc, float dt) {
    float a = expf(-dt / lut(TAU_T, soc));
    s->v1 = s->v1 * a + s->i_prev * lut(R1_T, soc) * (1.0f - a);   /* 零阶保持精确解 */
    s->i_prev = i_now;
    return lut(OCV_T, soc) - i_now * lut(R0_T, soc) - s->v1;
}

十一、总结

整套代码只依赖 numpy 和 pandas，约 80 行核心逻辑。换成你自己的测试仪数据时，只需要保证 CSV 有 t_s、current_A、voltage_V 三列（第 2 篇的解析脚本可以直接输出这个格式），并按电池容量修改 Q_AH 和脉冲阈值 i_th。

我之前写过一篇《镍氢电池 SOC 估算：二阶 RC + 迟滞 + 5 状态 EKF》，有读者问"模型参数从哪来"——答案就是本文这套测试和辨识流程。EKF 的状态方程就是第 2.3 节的离散递推，观测方程就是端电压公式。模型、SOC 估算、云端数字孪生，靠的都是这张参数表。

下一篇预告（物联网）：《MCU 用 ADC 测电池电压的 7 个坑》——模型再准，输入的电压测不准也白搭。分压电阻漏电、采样时机、参考电压漂移、ADC 输入阻抗……每个坑都给出现象、原因和 C 代码修正示例。

欢迎在评论区留言：你在做电池建模时用的是一阶还是二阶模型？遇到过哪些"参数怎么调都不准"的情况？

附录：模拟数据生成脚本（gen_data.py）

虚拟电池内部是"二阶 RC + 噪声"，真值参数写在脚本里，便于读者自己修改、验证辨识算法。

"""生成模拟实验数据：用"二阶 RC + 噪声"的虚拟电池充当被测对象（真实项目中替换为测试仪数据）"""
import numpy as np, pandas as pd

Q_AH, DT = 2.0, 0.1                      # NiMH AA 2000 mAh，10 Hz 采样
rng = np.random.default_rng(7)

def ocv(s):                               # 虚拟电池的 OCV-SOC 曲线（NiMH 典型形态）
    return 1.19 + 0.17*s - 0.07*s**2 + 0.03*np.exp((s-1)/0.05) - 0.08*np.exp(-s/0.05)
def r0(s):  return 0.030 + 0.020*(1-s)**2 + 0.010*np.exp(-s/0.1)
def r1(s):  return 0.015 + 0.010*(1-s)
TAU1, R2, TAU2 = 8.0, 0.010, 120.0        # 快极化 τ1=8 s；慢扩散 R2=10 mΩ, τ2=120 s

def simulate_truth(current, soc0):
    n = len(current); v = np.empty(n); soc = np.empty(n)
    s, v1, v2 = soc0, 0.0, 0.0
    for k, i in enumerate(current):
        a1, a2 = np.exp(-DT/TAU1), np.exp(-DT/TAU2)
        v1 = v1*a1 + i*r1(s)*(1-a1)
        v2 = v2*a2 + i*R2*(1-a2)
        v[k] = ocv(s) - i*r0(s) - v1 - v2
        soc[k] = s
        s -= i*DT/3600/Q_AH
    return v, soc

def measure(current, v):                  # 加入测量噪声与 0.1 mV 量化
    vm = np.round((v + rng.normal(0, 0.0005, len(v))) / 1e-4) * 1e-4
    im = current + rng.normal(0, 0.002, len(current))
    return vm, im

def seg(i, sec): return np.full(int(round(sec/DT)), i)

if __name__ == "__main__":
    # ① HPPC 式脉冲测试：每个 SOC 点 → 2 A 放电脉冲 10 s → 静置 60 s → 1 A 放电 12 min（-10% SOC）→ 静置 30 min
    parts = [seg(0, 1800)]
    for _ in range(9):
        parts += [seg(2.0, 10), seg(0, 60), seg(1.0, 720), seg(0, 1800)]
    cur = np.concatenate(parts)
    v, soc = simulate_truth(cur, 1.0)
    vm, im = measure(cur, v)
    pd.DataFrame({"t_s": np.arange(len(cur))*DT, "current_A": im.round(4), "voltage_V": vm.round(4)}).to_csv("pulse_test.csv", index=False)

    # ② 验证工况：随机"混合负载"（模拟玩具/IoT/手持设备），从 SOC 90% 开始
    levels, parts, total = [0, 0.1, 0.3, 0.6, 1.0, 1.5, 2.0], [], 0
    while total < 5400:
        sec = rng.uniform(5, 120); parts.append(seg(rng.choice(levels), sec)); total += sec
    cur = np.concatenate(parts)
    v, soc = simulate_truth(cur, 0.9)
    vm, im = measure(cur, v)
    pd.DataFrame({"t_s": np.arange(len(cur))*DT, "current_A": im.round(4), "voltage_V": vm.round(4)}).to_csv("drive_test.csv", index=False)
    print("pulse_test.csv", len(cur), "drive SOC 结束于", round(soc[-1], 3))

完整代码包（gen_data.py、ecm.py、rc2.py、check.py、plots.py 及数据）见文末附件。

参考资料

1. Plett G. L., Battery Management Systems, Volume I: Battery Modeling, Artech House, 2015（等效电路模型与离散化）
2. Idaho National Laboratory / U.S. DOE, Battery Test Manual for Electric Vehicles（HPPC 测试方法）
3. Hu X., Li S., Peng H., “A comparative study of equivalent circuit models for Li-ion batteries”, Journal of Power Sources, 2012
4. numpy 官方文档：numpy.linalg.lstsq、numpy.interp
5. 《电池上云笔记》第 1 篇、第 2 篇