几何检查器也要被测：先让空圆性判据失败一次

写几何代码时，检查器通常比算法本身写得快：算个面积、数个数、比个距离，几十行就能跑。也正因为写得快，它很少被当成「需要测试的代码」。

一个永远返回「0 处违规」的检查器，看起来最稳定。但它和「什么都不检查」在输出上完全一样。要证明它有检验力，最直接的办法就是：喂给它一个已知错误的输入，看它能不能报出来。

一次真实的误报

5×5 网格，25 个点，间距均匀。把空圆性判据的容差临时改成固定的 1e-12，会报出 32 处违规。

如果真有 32 处违规，剖分应该已经乱套了。但网格看起来规整，每个方格被一条对角线分成两个直角三角形。把「三角形 + 点」逐对打印出来，每一对里的点都恰好落在那个三角形的外接圆上：方格的四个格点共圆，两条对角线选哪条都满足空圆条件，检查器却把圆周上的点算成了圆内点。

这不是几何错，是判据的容差错。按当前代码、把容差设成 0 复现这 32 对，每一对的距离平方都比 r² 小一点，最大 1.819×10⁻¹²，相对 1.289×10⁻¹⁶，约一个双精度 ulp；阈值放到 1e-11，全部消失。这些「违规」的深度只有 1 个 ulp 量级，完全是浮点舍入。

固定绝对容差的问题不在于「一定太大」或「一定太小」，而在于它和圆的大小没有关系：同一个 1e-12，在半径平方 1.4×10⁴ 的网格上太小，在半径平方 1 的小三角形上又可能太松。阈值要跟着被比较的量走，而不是跟着某个习惯小数走。

检查器现在怎么判

空圆性检查的核心只有几行：

const r2 = cc.r * cc.r;
const tol = r2 * 1e-6;
for (let i = 0; i < pts.length; i++) {
  if (i === t[0] || i === t[1] || i === t[2]) continue;
  const dx = pts[i].x - cc.cx, dy = pts[i].y - cc.cy;
  if (dx * dx + dy * dy < r2 - tol) {
    bad.push({ triangle: ti, point: i });
  }
}

tol = r2 * 1e-6 是相对容差。半径平方 1.4×10⁴ 时，tol 约 0.014；半径平方 1 时，tol 是 1e-6。代码判的是 d² < r² − tol，也就是 d²/r² < 1 − 1e-6：只有明显进到圆内、相对深度超过百万分之一才算违规，更靠近圆周的一律放过。

这个阈值会不会太松？要看真实违规有多深。两条不同对角线造成的空圆性违规，通常是某个点明显落在另一个三角形的圆内，相对深度远大于 1e-6；只有接近共圆的情况才会落进容差带，而那种情况本来就剖分不唯一，判成「不算违规」是合理的。

负例一：故意连错对角线

容差调好，只说明误报少了。要证明检查器能报出真错，得构造一个已知错误的剖分。

拿四个点：

A(0, 0)   B(10, 0)   C(10, 10)   D(1, 9)

以 ABC 为一个三角形，它的外接圆圆心在 (5, 5)，半径平方 50。点 D 到圆心的距离平方是 (-4)² + 4² = 32，明显小于 50，所以 D 落在 ABC 的外接圆内。用对角线 AC 剖分，两侧都违规：ABC 的圆包含 D；ACD 的外接圆（圆心约 (6.125, 3.875)，半径平方约 52.53）也包含 B（距离平方约 30.03）。检查器应该报 2 处。

换另一条对角线 BD，三角形变成 ABD 和 BCD。BCD 的外接圆圆心在 (6, 5)，半径平方 41；点 A 到圆心的距离平方是 (-6)² + (-5)² = 61，在圆外。ABD 的外接圆圆心在 (5, 4)，半径平方 41，C 的距离平方是 5² + 6² = 61，也在圆外。这一组没有任何违规。

同一个四边形，只换一条对角线，检查器必须从「2 处违规」变成「0 处」。如果它对两种剖分都返回 0，那它测的不是几何，是自己。

这个四边形是给检查器的建议负例：把它写进测试，检查器才能证明自己抓得住这类错。

负例二：删掉一个三角形

第二个负例更粗暴：拿一个正确的三角网，删掉中间一个三角形，然后看各个检查器能不能发现。

• 空圆性检查：大概率发现不了。剩下的三角形仍然满足空圆条件，少一个三角形不会让它们变得不合法；
• 面积和 = 凸包面积：能从变异后的三角形列表重新算的检查器会发现，面积直接少了一块；如果它读的是构造时缓存的总面积，就会漏掉——「检查器不能只信构造器给的汇总值」本身就是一条教训；
• 覆盖面：按「每个点至少属于一个三角形」这个定义，发现不了。被删三角形的三个顶点，通常还被周围的三角形使用着；
• 3F = 2E − h：也抓不到。这里的 h 必须是边表里 count === 1 的边数：删掉内部三角形后，它的三条边从共享两次变成一次，h 加 3、F 减 1，3F 和 2E − h 同时减 3，等式照样成立。如果换成凸包边数当 h，等式会立刻失败——这其实是另一种用法：h 小于凸包边数，说明网格边界和凸包边界对不上，中间大概率有洞。现有检查用的是边表统计值，所以这一步抓不到。

这个负例说明：没有哪一个检查器能抓住所有错误。空圆性管的是「三角形是否满足 Delaunay 条件」，不管「网格是否覆盖了整个凸包」；面积管覆盖，不管局部合法性。它们必须组合使用。

负例三：重复一个三角形

再做一个变异：把某个内部三角形复制一份，插进三角形列表。

• 空圆性检查：重复的三角形和原来完全一样，外接圆也一样，检查器不会报；
• 面积和：面积多算了一块，会报；
• 3F = 2E − h：三条边从共享 2 次变成 3 次，会报。唯一的例外是整个网格只有一个三角形：重复后 h 从 3 掉到 0，3F 和 2E − h 同为 6，等式就漏过去了。

同一个错误，三个检查器的反应不同。这不是坏事，正好说明它们的职责不同。测试要做的是：每个变异至少被一个检查器抓住；如果某个变异谁都没反应，说明检查器组合有盲区。

构造器和检查器用的是两套公式

还有一点值得说明：剖分内部判断「点是否在外接圆内」用的是行列式，而独立检查用的是圆心距离。两套公式在数学上等价，在浮点下不一定给出完全相同的判断。

构造器里的容差是 1e-12 * dmax^4（dmax 是点集包围盒的长边），因为那个行列式对坐标是四次的；检查器里的容差是 r² × 1e-6，因为比较的是平方距离。两个容差各自有各自的量纲和尺度，不能互相替代，也不应该指望它们在共圆附近逐点一致。

这意味着：「检查器报 0 违规」不等于「构造器一定用了正确的容差」。检查器能证明的是「在当前判据下没有发现明显违规」；要证明构造器稳，还得靠外部实现对拍、面积恒等式、退化算例这些不同来源的检查。

一个够用的检查器测试集

如果要把这套做法落到测试里，我会分成两组。

正向算例（必须零违规）：

• 随机点集，多个固定种子；
• 网格，大量四点共圆；
• 正圆：自己给一组严格共圆的坐标（扰动过的圆环只能当近似共圆算例）；
• 三簇，密度不均；
• 近共线，退化路径；
• 凸包边上的共线点；
• 重复点去重后的点集；
• 全共线退化（不产生三角形，单独断言退化标记）。

负向变异（每个都必须被至少一个检查器抓住）：

• 四边形连错对角线（空圆性）；
• 删掉一个内部三角形（面积和）；
• 重复一个内部三角形（面积和、欧拉关系）；
• 把某个点从三角形列表里排除（覆盖面）。

正向算例证明「不误报」，负向变异证明「不漏报」。只有正向算例的测试集，等于只测了一半。

适用范围与局限

• 相对容差 1e-6 是这套实现的选择，换一套浮点策略可能需要调整；写清楚阈值，别人才知道「通过」是在什么标准下通过；
• 坐标跨度极端的点集没有测；半径平方到 1e12 时，r² × 1e-6 是否仍然合适，需要重新评估；
• 近共圆点集的剖分本身不唯一，检查器只能判断「是否明显违规」，不能判断「哪一条对角线才是唯一正确的」；
• 空圆性检查不检查覆盖，面积和与覆盖面检查不检查局部合法性；它们必须一起用。

检查器的价值在于它能拒绝什么

一个检查器报「通过」的次数，不能说明它有多可靠；它能拒绝哪些已知错误，才能说明它的检验力。

空圆性判据的这次误报，表面上是容差问题，实际上是「检查器没有被测试」的问题：如果一开始就有一组「必须零违规」的网格算例，32 处误报当场就会暴露；如果同时还有一个「必须报错」的连错对角线算例，容差调过头也能被发现。正向算例管误报，负向算例管漏报，缺哪一边都不行。

写检查器和写算法一样，都要先想清楚：它应该拒绝什么，然后拿一个真的该被拒绝的输入，看它会不会拒绝。

（完）