ChladniPlate Pro 克拉尼声学实验室

ChladniPlate Pro · 克拉尼声学驻波与节线物理实验室

> 基于二维弹性平板波动方程与亥姆霍兹特征模态分析的克拉尼声学节线粒子流仿真平台。

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🌟 作品简介

ChladniPlate Pro 是一款探索经典声学、板壳振动模态、二维驻波干涉以及节线（Nodal Lines）几何自组织的交互式物理仿真平台。系统基于欧拉-伯努利弹性薄板振动理论，实时计算二维亥姆霍兹方程本征模态叠加，驱动数万颗微观离散砂粒粒子在激振力、振幅势能梯度、粘性阻尼与高斯布朗热扰动作用下运动，自然汇聚并沉降在振幅为零的驻波节线上，呈现精美绝伦的克拉尼声学共振几何图案。

本项目采用零依赖纯原生前端架构（HTML5 Canvas 2D + Web Audio API + Vanilla JavaScript + CSS），支持正方形与圆形板几何拓扑、任意 $(m, n)$ 模态调节、振幅正交叠加比、多模态粒子色彩质感、动态扫频（Chirp Sweep）与驻波音频实时合成。

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🔬 核心理论与物理算法

1. 二维弹性平板波动方程 (2D Thin Plate Vibration)

均匀各向同性弹性薄板的横向小挠度振动受四阶偏微分方程支配：

$$D \nabla^4 w(x, y, t) + \rho h \frac{\partial^2 w}{\partial t^2} = 0$$

其中 $D = \frac{E h^3}{12(1 - \nu^2)}$ 为薄板弯曲刚度，$E$ 为杨氏模量，$\nu$ 为泊松比，$\rho$ 为密度，$h$ 为板厚度。

2. 亥姆霍兹特征驻波模态 (Helmholtz Resonant Modes)

在简谐振动假设下，稳态空间振幅场 $w(x, y)$ 满足自由边界条件下的特征值问题。对于两向对称自由矩形板，克拉尼提出的经典近似解为正交驻波模态的线性叠加：

$$w(x, y) = a \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \sin\left(\frac{m \pi y}{L}\right) + b \sin\left(\frac{m \pi x}{L}\right) \sin\left(\frac{n \pi y}{L}\right)$$

当调节参数比 $\alpha = b/a$ 时，节线方程 $w(x, y) = 0$ 的空间拓扑产生连续分岔演变，形成环形、花瓣形、对称曼陀罗以及密集晶格。

3. 圆形板贝塞尔特征解 (Circular Plate Bessel Modes)

对于半径为 $R$ 的圆形平板，极坐标 $(r, \theta)$ 下的分离变量特征解表示为一类贝塞尔函数与角向驻波的乘积：

$$w(r, \theta) = Jm(k{mn} r) \cos(n \theta + \phi_0)$$

节点线表现为同心节圆 ($Jm(k{mn} r) = 0$) 与过圆心的节径 ($\cos(n \theta) = 0$)。

4. 砂粒动力学与声辐射势场梯度 (Acoustic Radiation Force & Gradient)

放置在振动板上的微粒受到向加速度极小处（即节线）推移的有效势场力：

$$U(x, y) = \frac{1}{2} \rho_p |w(x, y)|^2$$

粒子受到的动力学合力包含势能梯度力、流体阻尼与高斯白噪声：

$$\mathbf{F}(x, y) = -\nabla U(x, y) - \gamma \mathbf{v} + \boldsymbol{\xi}(t)$$

$$\mathbf{a}i = -\beta \nabla (|w(xi, yi)|^2) - \gamma \mathbf{v}i + \sigma \mathcal{N}(0, 1)$$

由于节线上振动位移与加速度恒为零，粒子在远离节线区域剧烈弹跳跳跃，最终完全富集并稳定驻留在节线几何网络上。

5. Web Audio 驻波特征基频合成 (Harmonic Audio Engine)

基于原生 AudioContext 振荡器链路，根据克拉尼板共振频率经验关系：

$$f_{mn} = C \cdot \frac{h}{L^2} \sqrt{\frac{E}{\rho}} \cdot (m^2 + n^2)$$

将当前模式的特征频率实时调制为纯正弦音频输出，实现声学几何与音频波形的音画同步。

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📐 系统架构与技术实现

1. 模态理论求解器 (Resonant Mode Engine): 实时计算二维网格驻波位移场 $w(x, y)$ 与空间势能梯度 $\nabla |w|^2$。

2. 粒子动力学集成器 (Particle Dynamics Integrator): 60 FPS 硬件加速亚毫秒迭代 25,000 颗砂粒在微观梯度场与随机扰动下的运动。

3. 多维可视化图层 (Canvas 2D Rendering Pipeline): 分层渲染振动基板、理论节线骨架、振幅热力图与粒子辉光流。

4. 声学协同引擎 (Web Audio Synchronizer): 模式频率与扫频状态实时映射至 Web Audio 双通道振荡器。

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🚀 运行与部署指南

本工程为纯原生前端应用，无需安装任何外部依赖：

1. 直接启动：双击根目录下 index.html 或通过任意静态 HTTP 服务器（如 VS Code Live Server / npx serve）即可体验。

2. 浏览器支持：兼容所有支持 HTML5 Canvas 与 Web Audio API 的现代浏览器（Chrome、Edge、Safari、Firefox）。