PendulumChaos Pro 双摆混沌实验室

PendulumChaos Pro · 双摆混沌动力学与庞加莱截面实验室

> 基于欧拉-拉格朗日力学与 4 阶 Runge-Kutta 辛数值积分的原生非线性动力学仿真平台。

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🌟 作品简介

PendulumChaos Pro 是一款探索经典力学非线性混沌系统、初值敏感性（蝴蝶效应）、相空间重构与庞加莱截面映射的交互式科学实验平台。应用通过拉格朗日力学方程组建模，并利用 4 阶 Runge-Kutta (RK4) 高精度数值算法实时积分求解，动态渲染双摆运动轨迹、多摆微扰群集发散、庞加莱截面采样及混沌声谱合成。

本项目采用零依赖纯原生前端架构（HTML5 Canvas 2D + Web Audio API + Vanilla JavaScript + CSS），内建经典强混沌、小角周期摆动、全翻转剧烈混沌与反对称摆动四大经典物理情境。

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🔬 核心理论与物理算法

1. 欧拉-拉格朗日力学方程 (Euler-Lagrange Equations)

设双摆两杆长为 $L1, L2$，两质点质量为 $m1, m2$，广义坐标为两摆角 $\theta1, \theta2$。系统拉格朗日量为动能与势能之差：

$$L = T - V = \frac{1}{2}(m1 + m2)L1^2 \dot{\theta}1^2 + \frac{1}{2}m2 L2^2 \dot{\theta}2^2 + m2 L1 L2 \dot{\theta}1 \dot{\theta}2 \cos(\theta1 - \theta2) + (m1 + m2)g L1 \cos\theta1 + m2 g L2 \cos\theta_2$$

由此导出的耦合非线性角加速度方程组为：

$$\ddot{\theta}1 = \frac{-g(2m1 + m2)\sin\theta1 - m2 g\sin(\theta1 - 2\theta2) - 2\sin(\theta1 - \theta2)m2(L2 \dot{\theta}2^2 + L1 \dot{\theta}1^2 \cos(\theta1 - \theta2))}{L1(2m1 + m2 - m2\cos(2\theta1 - 2\theta2))}$$

$$\ddot{\theta}2 = \frac{2\sin(\theta1 - \theta2)(\dot{\theta}1^2 L1(m1 + m2) + g(m1 + m2)\cos\theta1 + \dot{\theta}2^2 L2 m2\cos(\theta1 - \theta2))}{L2(2m1 + m2 - m2\cos(2\theta1 - 2\theta_2))}$$

2. 4 阶 Runge-Kutta 辛数值积分 (RK4 Numerical Integrator)

将二阶动力学方程降阶为 4 维一阶状态向量 $\mathbf{s} = [\theta1, \theta2, \omega1, \omega2]^T$，通过 4 级差分加权推进：

$$\mathbf{s}{n+1} = \mathbf{s}n + \frac{\Delta t}{6} (\mathbf{k}1 + 2\mathbf{k}2 + 2\mathbf{k}3 + \mathbf{k}4)$$

在保守场下严格保持系统总机械能守恒：$E_{\text{total}} = T + V = \text{const}$。

3. 庞加莱截面相空间重构 (Poincaré Section Mapping)

在 4 维相空间中定义二维超平面：

$$\Sigma = \{ (\theta2, \omega2) \in \mathbb{R}^2 \mid \theta1 = 0, \, \dot{\theta}1 > 0 \}$$

每当摆 1 经过竖直向下基准线且向下运动时，记录摆 2 的状态 $(\theta2, \omega2)$，离散点集在相空间中清晰呈现准周期环面与混沌奇异吸引子结构。

4. 初值敏感性与蝴蝶效应群集 (Ensemble Divergence & Lyapunov)

启动包含 5 个初始角度微差 $\Delta\theta_0 = 0.001\text{ rad}$ 的平行双摆群集，直观呈现经典力学确定性混沌中的指数级分离现象：

$$d(t) \approx d_0 e^{\lambda t}, \quad \lambda > 0$$

5. Web Audio 混沌角速度声谱合成 (Harmonic Audio Synthesizer)

基于原生 AudioContext 双振荡器链路，将两摆角速度 $\omega1, \omega2$ 映射至双声道音频基频，实时展现混沌运动中的非线性声景。

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📐 系统架构与技术实现

1. 拉格朗日力学建模 (Lagrangian Dynamics Engine): 建立非线性耦合二阶微分方程组与机械能守恒闭环。

2. 4 阶 RK4 辛求解器 (RK4 Integrator): 60 FPS 硬件加速亚毫秒状态向量积分与轨迹平滑渲染。

3. 庞加莱截面与群集 (Poincaré & Ensemble): 超平面相空间离散映射与蝴蝶效应群集发散分析。

4. 多模态交互与声景 (Canvas 2D & Web Audio): 双缓冲图形渲染与角速度动态双振荡器音频合成。

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🚀 运行与部署指南

本工程为纯原生前端应用，无需安装任何外部依赖：

1. 直接启动：双击根目录下 index.html 或通过任意静态 HTTP 服务器（如 VS Code Live Server / npx serve）即可体验。

2. 浏览器支持：兼容所有支持 HTML5 Canvas 与 Web Audio API 的现代浏览器（Chrome、Edge、Safari、Firefox）。