QuantumTunnelling Pro 量子动力学实验室

QuantumTunnelling Pro · 量子隧穿与薛定谔波动动力学实验室

> 基于一维含时薛定谔方程 (TDSE) 与交错蛙跳有限差分算法的原生量子力学仿真平台。

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🌟 作品简介

QuantumTunnelling Pro 是一款探索微观量子力学波动性、势垒穿透、共振透射与动量空间谱分析的交互式科学计算实验平台。应用通过高精度有限差分离散求解含时薛定谔方程，实时计算并动态渲染波函数实部、虚部、概率密度演化、势能基线及动量空间傅里叶谱。

本项目采用零依赖纯原生前端架构（HTML5 Canvas 2D + Web Audio API + Vanilla JavaScript + CSS），内建单矩形势垒、双势垒共振、阶梯势阶与谐振子势阱四大经典量子物理实验情境。

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🔬 核心理论与物理算法

1. 一维含时薛定谔方程 (TDSE)

非相对论微观粒子在势场 $V(x)$ 中的波函数 $\Psi(x, t)$ 服从含时薛定谔方程：

$$i\hbar \frac{\partial \Psi(x, t)}{\partial t} = \hat{H} \Psi(x, t) = \left( -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x) \right) \Psi(x, t)$$

2. 交错蛙跳有限差分求解格式 (Staggered Leapfrog Scheme)

将复波函数分解为实部与虚部 $\Psi(x,t) = u(x,t) + i v(x,t)$，采用酉演化蛙跳交错格式交替推进：

$$vj^{n+1/2} = vj^{n-1/2} + \frac{\Delta t}{2m \Delta x^2} (u{j+1}^n - 2uj^n + u{j-1}^n) - \Delta t Vj u_j^n$$

$$uj^{n+1} = uj^n - \frac{\Delta t}{2m \Delta x^2} (v{j+1}^{n+1/2} - 2vj^{n+1/2} + v{j-1}^{n+1/2}) + \Delta t Vj v_j^{n+1/2}$$

该差分格式严格保持粒子总概率模方守恒：$\int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x,t)|^2 dx = 1.0$。

3. 量子隧穿与反射系数解析矩阵 (Tunnelling & Reflection Coefficients)

当粒子入射动能低于矩形势垒高度（$E < V_0$）时，波函数在势垒内部呈指数衰减，理论透射率与衰减常数分别为：

$$T = \left[ 1 + \frac{V0^2 \sinh^2(\kappa a)}{4E(V0 - E)} \right]^{-1}, \quad \kappa = \frac{\sqrt{2m(V_0 - E)}}{\hbar}$$

$$R = 1 - T$$

4. 动量空间离散傅里叶变换 (Momentum DFT Spectrum)

实时对空间波函数进行傅里叶变换，解析动量空间概率分布谱：

$$\Phi(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int{-\infty}^{\infty} \Psi(x) e^{-ikx} dx, \quad k0 = \frac{\sqrt{2mE_0}}{\hbar}$$

5. Web Audio 量子能级音程合成 (Harmonic Audio Synthesizer)

基于原生 AudioContext 振荡器链路，将粒子动能 $E_0$ 映射至音频基频，并将量子透射率 $T$ 调制为共振谐波泛音，实现量子动力学的多模态沉浸体验。

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📐 系统架构与技术实现

1. 势能场与高斯波包生成 (Potential & Wave Generator): 高斯初态波包激发，支持矩形势垒、双势垒共振、势阶与谐振子阱。

2. TDSE 酉演化差分核心 (TDSE Leapfrog Engine): 60 FPS 硬件加速亚毫秒交错蛙跳求解，严格保持酉性模方守恒。

3. 动量谱与物理遥测 (FFT & Telemetry Engine): 动量空间谱分解，理论透射率矩阵及波函数衰减常数计算。

4. 多模态交互与量子音程 (Canvas 2D & Web Audio): 双缓冲波函数与概率密度渲染，结合粒子能量音程实时合成。

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🚀 运行与部署指南

本工程为纯原生前端应用，无需安装任何后端或外部依赖：

1. 直接启动：双击根目录下 index.html 或通过任意静态 HTTP 服务器（如 VS Code Live Server / npx serve）即可使用。

2. 浏览器支持：兼容所有支持 HTML5 Canvas 与 Web Audio API 的现代浏览器（Chrome、Edge、Safari、Firefox）。