1 背景 浮点数的计算和表示

计算机的浮点数表示和计算难以精确，主要是因为计算机用有限二进制位表示无限连续的实数。

离散有限 的二进制表示 vs. 连续无限 的实数。

有限的存储位数、二进制的表示特性、运算中的舍入规则，三者共同导致浮点数计算难以完全精确。

这是计算机体系结构的基本特征，不是 bug，而是设计上的 trade-off（用有限资源获得足够精度与较大动态范围）。

这是因为计算机内部表示小数（浮点数）时存在精度限制，导致某些浮点数运算结果不完全准确。具体来说，0.1、0.2、0.3等数字在计算机中无法以二进制精确表示。

2 几个关键问题：

这种根本性限制带来了几个典型问题

• 1. 二进制无法精确表示某些十进制小数

在十进制中，有些分数不能精确表示（如 1/3 ≈ 0.333…）。
在二进制中，类似的问题更普遍，因为计算机用 2 的幂次组合 表示小数。

• 2. 浮点数的存储格式限制

现代计算机通常采用 IEEE 754 标准 的浮点数表示（如单精度 float 32 位、双精度 double 64 位）。

• 3. 舍入误差（Rounding Error）

因为位数限制，数值在存储时必须舍入到最接近的可表示值。
有多种舍入规则（如最近偶数舍入 Round to nearest, ties to even），但无论如何舍入，误差已经引入。

• 4. 运算中的误差累积与放大

浮点数做加减、乘除运算时：

对阶操作（使两个数的指数相同）可能丢失低位有效数字。

两个相近的数相减会导致有效位数严重丢失（有效数字抵消，放大相对误差）。

连续运算时误差可能累积，最终造成明显偏差。

例如计算

    1.0−0.9

0.9 本身在二进制中已不精确，相减后得到的 0.1 与理论值有差异。
再与 0.1 比较可能得到 false。

• 5. 溢出（Overflow）与下溢（Underflow）

当数值过大，超过浮点数能表示的最大值 → 溢出（结果为无穷大 inf）。

当数值非常接近零，小于能表示的最小规格化数 → 下溢（可能变为非规格化数或零），精度严重丢失。

6. 例子：经典浮点数误差现象
   在python交互CLI中实际情况如下

   0.1 + 0.2
   0.30000000000000004 # 不等于 0.3
   0.1 + 0.2 == 0.3
   False

3 根本原因解释

计算机使用 二进制浮点数 来表示小数，而不是我们通常的十进制。例如，0.1在二进制中是一个无限循环的小数（类似于我们用十进制表示1/3时是一个无限循环的0.333…），它无法被精确表示，因此会有舍入误差。

当你计算 0.1 + 0.2 时，实际上计算机会把 0.1 和 0.2 存储为一个接近但不完全等于它们的值。当加法运算完成后，结果会变得不完全准确。例如：

0.1 在计算机中的近似值是：0.10000000000000000555…

0.2 在计算机中的近似值是：0.20000000000000001110…

所以，0.1 + 0.2 会得到一个接近 0.3 的结果，但由于这些近似值之间的误差，最终结果可能是 0.30000000000000004，而不是完全的 0.3。

• 为什么 0.1 + 0.1 会等于 0.2

当你计算 0.1 + 0.1 时，计算机的近似值相加后的结果恰好会变得足够精确，从而得出 0.2，因为 0.2 这个数字在二进制浮点数表示中相对容易表示，误差较小。

解决方法：

四舍五入：通常在比较浮点数时会使用一个容忍误差的范围，比如 abs(a - b) < ε，其中 ε 是一个很小的值（如 0.000001）。这意味着即使存在微小的误差，只要它们足够接近，我们也认为它们是相等的。

高精度库：一些编程语言提供了高精度的小数运算库，例如 Python 中的 decimal 模块，或者 JavaScript 中的 BigDecimal 类型，它们能更精确地处理小数。

4 小结

这是计算机浮点数表示的一个常见问题，与硬件、浮点数标准（如 IEEE 754）等有关。对于需要精确结果的金融或科学计算，通常会使用专门的高精度数值类型来避免这种问题。