零售领域 报童模型

报童模型（Newsvendor Model）是库存管理中一个非常经典且广泛使用的模型，主要用于解决单周期库存问题。这个模型的名字来源于报童每天早上需要决定购买多少份报纸来销售的情景。如果买少了，可能会错过销售机会；如果买多了，未售出的报纸可能会变成废纸。因此，报童需要找到一个最优的订购量，以最大化其期望利润或最小化其期望成本。这个模型可以应用于许多其他场景，如季节性商品的库存管理、易腐品的库存控制等。

报童模型的基本假设

1. 单周期需求：需求只在一个周期内发生，之后不再有需求。
2. 确定的成本结构：包括采购成本、销售价格、未售出商品的处理成本（如报废或折价销售）。
3. 需求的不确定性：需求是随机的，通常假设需求服从某种概率分布（如正态分布、泊松分布等）。
4. 单一决策变量：决策变量是订购量或生产量。

报童模型的目标

报童模型的目标是确定最优的订购量 $ Q^* $，使得期望利润最大化或期望成本最小化。

报童模型的数学表达

假设：

• $ D $ 表示需求，是一个随机变量，其概率密度函数为 $ f(D) $，累积分布函数为 $ F(D) $。
• $ c $ 表示单位采购成本。
• $ p $ 表示单位销售价格。
• $ v $ 表示单位未售出商品的处理成本（如报废或折价销售）。

期望利润最大化

期望利润 $ E[\Pi] $ 可以表示为：

$$E[\Pi] = E[p \min(Q, D) - cQ - v \max(Q - D, 0)]$$

其中：

• $ \min(Q, D) $ 表示实际销售量。
• $ \max(Q - D, 0) $ 表示未售出的商品量。

期望成本最小化

期望成本 $ E[C] $ 可以表示为：

$$E[C] = E[cQ + v \max(Q - D, 0) - p \min(Q, D)]$$

最优订购量的确定

最优订购量 $ Q^* $ 可以通过以下公式确定：

$$Q^* = F^{-1}\left(\frac{p - c}{p - v}\right)$$

其中：

• $ F^{-1} $ 是需求分布的逆累积分布函数（分位数函数）。
• $ \frac{p - c}{p - v} $ 是临界比率，表示最优订购量对应的需求分位数。

临界比率的解释

临界比率 $ \frac{p - c}{p - v} $ 表示在最优订购量下，需求不超过订购量的概率。这个比率反映了需求的不确定性对订购量的影响：

• 如果 $ p - c $ 较大（即销售利润较高），临界比率较大，订购量会增加。
• 如果 $ p - v $ 较小（即未售出商品的损失较小），临界比率较大，订购量会增加。

应用示例

假设某公司销售季节性商品，需求服从正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $，其中 $ \mu = 1000 $，$ \sigma = 200 $。单位采购成本 $ c = 50 $ 元，单位销售价格 $ p = 100 $ 元，未售出商品的处理成本 $ v = 20 $ 元。

1. 计算临界比率：

$$\frac{p - c}{p - v} = \frac{100 - 50}{100 - 20} = \frac{50}{80} = 0.625$$

2. 查找正态分布的分位数：

$$Q^* = F^{-1}(0.625)$$

使用标准正态分布表或计算器，可以找到 $ F^{-1}(0.625) $ 对应的值。假设 $ F^{-1}(0.625) \approx 0.3186 $，则：

$$Q^* = \mu + \sigma \cdot 0.3186 = 1000 + 200 \cdot 0.3186 \approx 1063.72$$

因此，最优订购量约为 1064 件。

总结

报童模型通过考虑需求的不确定性、成本结构和期望利润或成本，帮助决策者确定最优的订购量。这个模型在库存管理中具有广泛的应用，特别是在处理单周期需求和易腐品的库存问题时。