正交时频空间调制:离散Zak变换方法
Lampel F, Joudeh H, Alvarado A, et al. Orthogonal time frequency space modulation based on the discrete Zak transform[J]. Entropy, 2022, 24(12): 1704.
1. 引言与背景
正交时频空间(OTFS)调制是一种新型的调制技术,专门设计用于应对高移动性环境中的通信挑战。与传统的正交频分复用(OFDM)不同,OTFS将信息符号放置在时延-多普勒(DD)域中,而不是时频(TF)域。这种根本性的差异使得OTFS在处理时频色散信道时具有独特的优势。
在高速移动场景中,如高速列车或飞机通信,多普勒效应导致信道快速时变,使传统OFDM系统的性能严重退化。OTFS通过在DD域操作,将这种时变信道转换为时不变的二维卷积,从而简化了均衡器的设计并提高了系统性能。
本文提出了一种基于离散Zak变换(DZT)的OTFS实现方法。与现有的基于OFDM覆盖层的方法不同,我们的方法直接利用DZT的数学性质,不仅简化了OTFS的实现,还提供了对系统行为的深入理解。
2. 离散Zak变换的数学基础
2.1 DZT的定义与基本关系
对于周期为K L KL K L 的序列x ∈ C Z x \in \mathbb{C}^{\mathbb{Z}} x ∈ C Z ,其离散Zak变换Z x ( L , K ) ∈ C Z × Z Z_x^{(L,K)} \in \mathbb{C}^{\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}} Z x ( L , K ) ∈ C Z × Z 定义为:
Z x ( L , K ) [ n , k ] ≜ 1 K ∑ l = 0 K − 1 x [ n + l L ] e − j 2 π k l K , n , k ∈ Z Z_x^{(L,K)}[n,k] \triangleq \frac{1}{\sqrt{K}} \sum_{l=0}^{K-1} x[n+lL] e^{-j2\pi\frac{kl}{K}}, \quad n,k \in \mathbb{Z}
Z x ( L , K ) [ n , k ] ≜ K 1 l = 0 ∑ K − 1 x [ n + l L ] e − j 2 π K k l , n , k ∈ Z
这个定义揭示了DZT的本质:对于给定的时间索引n n n ,DZT是下采样序列x ( n , L ) = { x [ n + l L ] ∣ l ∈ Z } x_{(n,L)} = \{x[n+lL] | l \in \mathbb{Z}\} x ( n , L ) = { x [ n + l L ] ∣ l ∈ Z } 的酉离散傅里叶变换(DFT)。变量n n n 确定了下采样的起始相位,而k k k 表示离散频率。
序列x x x 可以通过逆离散Zak变换(IDZT)从其DZT恢复:
x [ n ] = 1 K ∑ k = 0 K − 1 Z x ( L , K ) [ n , k ] x[n] = \frac{1}{\sqrt{K}} \sum_{k=0}^{K-1} Z_x^{(L,K)}[n,k]
x [ n ] = K 1 k = 0 ∑ K − 1 Z x ( L , K ) [ n , k ]
为了更好地理解DZT的性质,考虑两个特殊情况:
当K = 1 K=1 K = 1 时:
Z x ( L , 1 ) [ n , k ] = x [ n ] Z_x^{(L,1)}[n,k] = x[n]
Z x ( L , 1 ) [ n , k ] = x [ n ]
当L = 1 L=1 L = 1 时:
Z x ( 1 , K ) [ n , k ] = 1 K ∑ l = 0 K − 1 x [ n + l ] e − j 2 π k l K Z_x^{(1,K)}[n,k] = \frac{1}{\sqrt{K}} \sum_{l=0}^{K-1} x[n+l] e^{-j2\pi\frac{kl}{K}}
Z x ( 1 , K ) [ n , k ] = K 1 l = 0 ∑ K − 1 x [ n + l ] e − j 2 π K k l
后者在n = 0 n=0 n = 0 时简化为序列x x x 的标准DFT。
2.2 DZT的周期性性质
DZT具有独特的周期性和准周期性性质。在频率域,DZT是周期性的:
Z x ( L , K ) [ n , k + m K ] = Z x ( L , K ) [ n , k ] , ∀ m ∈ Z Z_x^{(L,K)}[n, k+mK] = Z_x^{(L,K)}[n,k], \quad \forall m \in \mathbb{Z}
Z x ( L , K ) [ n , k + m K ] = Z x ( L , K ) [ n , k ] , ∀ m ∈ Z
在时间域,DZT表现出准周期性:
Z x ( L , K ) [ n + m L , k ] = e j 2 π k m K Z x ( L , K ) [ n , k ] , ∀ m ∈ Z Z_x^{(L,K)}[n+mL, k] = e^{j2\pi\frac{km}{K}} Z_x^{(L,K)}[n,k], \quad \forall m \in \mathbb{Z}
Z x ( L , K ) [ n + m L , k ] = e j 2 π K k m Z x ( L , K ) [ n , k ] , ∀ m ∈ Z
这种准周期性意味着DZT在时间上以周期L L L 重复,但伴随着相位因子e j 2 π k m / K e^{j2\pi km/K} e j 2 π k m / K 。因此,DZT完全由基本矩形{ ( n , k ) : 0 ≤ n ≤ L − 1 , 0 ≤ k ≤ K − 1 } \{(n,k) : 0 \leq n \leq L-1, 0 \leq k \leq K-1\} { ( n , k ) : 0 ≤ n ≤ L − 1 , 0 ≤ k ≤ K − 1 } 内的值决定。
图1描述 :图1展示了一个高斯包络序列f [ n ] = e − 1 2 ( n − L / 2 σ L / 2 ) 2 f[n] = e^{-\frac{1}{2}(\frac{n-L/2}{\sigma L/2})^2} f [ n ] = e − 2 1 ( σ L / 2 n − L / 2 ) 2 (其中σ = 1 / 4 \sigma=1/4 σ = 1 / 4 ,L = 30 L=30 L = 3 0 )及其DZT的幅度∣ Z g [ n , k ] ∣ |Z_g[n,k]| ∣ Z g [ n , k ] ∣ 。该序列g g g 具有周期K L = 900 KL=900 K L = 9 0 0 ,在第一个L L L 个样本中等于f [ n ] f[n] f [ n ] ,其余位置为零。DZT的幅度在基本矩形内呈现出特征性的图案,相位在所示范围内为零。
2.3 信号变换的核心性质
DZT具有三个对OTFS分析至关重要的信号变换性质:
移位性质 :对于移位序列y [ n ] = x [ n − m ] y[n] = x[n-m] y [ n ] = x [ n − m ] :
Z y [ n , k ] = Z x [ n − m , k ] Z_y[n,k] = Z_x[n-m,k]
Z y [ n , k ] = Z x [ n − m , k ]
特别地,当移位为L L L 的整数倍(m = l L m=lL m = l L )时:
Z y [ n , k ] = e − j 2 π k l K Z x [ n , k ] Z_y[n,k] = e^{-j2\pi\frac{kl}{K}} Z_x[n,k]
Z y [ n , k ] = e − j 2 π K k l Z x [ n , k ]
调制性质 :对于逐元素乘积z [ n ] = x [ n ] y [ n ] z[n] = x[n]y[n] z [ n ] = x [ n ] y [ n ] :
Z z [ n , k ] = 1 K ∑ l = 0 K − 1 Z x [ n , l ] Z y [ n , k − l ] Z_z[n,k] = \frac{1}{\sqrt{K}} \sum_{l=0}^{K-1} Z_x[n,l]Z_y[n,k-l]
Z z [ n , k ] = K 1 l = 0 ∑ K − 1 Z x [ n , l ] Z y [ n , k − l ]
这表明时域的乘法对应于DD域中关于频率变量的卷积。
循环卷积性质 :对于循环卷积z = x ⊛ y z = x \circledast y z = x ⊛ y :
Z z [ n , k ] = K ∑ m = 0 L − 1 Z x [ m , k ] Z y [ n − m , k ] Z_z[n,k] = \sqrt{K} \sum_{m=0}^{L-1} Z_x[m,k]Z_y[n-m,k]
Z z [ n , k ] = K m = 0 ∑ L − 1 Z x [ m , k ] Z y [ n − m , k ]
这表明时域的循环卷积对应于DD域中关于时间变量的卷积。
3. OTFS作为OFDM的覆盖层实现
3.1 OFDM覆盖架构
图5描述 :图5(a)展示了OTFS作为OFDM覆盖技术的概念框架。DD域中的符号Z x Z_x Z x 通过逆辛有限傅里叶变换(ISFFT)映射到时频域的符号a a a ,然后通过脉冲整形OFDM传输。接收端通过辛有限傅里叶变换(SFFT)将接收到的时频域符号映射回DD域。图5(b)详细展示了脉冲整形OFDM传输的结构,其中每个时频域符号a m , l a_{m,l} a m , l 通过相应的脉冲g m , l [ n ] g_{m,l}[n] g m , l [ n ] 进行调制。
ISFFT定义为:
a m , l = 1 K L ∑ n = 0 L − 1 ∑ k = 0 K − 1 Z x [ n , k ] e j 2 π ( m k K − l n L ) a_{m,l} = \frac{1}{\sqrt{KL}} \sum_{n=0}^{L-1} \sum_{k=0}^{K-1} Z_x[n,k] e^{j2\pi(\frac{mk}{K} - \frac{ln}{L})}
a m , l = K L 1 n = 0 ∑ L − 1 k = 0 ∑ K − 1 Z x [ n , k ] e j 2 π ( K m k − L l n )
其中0 ≤ m ≤ K − 1 0 \leq m \leq K-1 0 ≤ m ≤ K − 1 和0 ≤ l ≤ L − 1 0 \leq l \leq L-1 0 ≤ l ≤ L − 1 。
传输信号表示为:
s [ n ] = ∑ m = 0 K − 1 ∑ l = 0 L − 1 a m , l g m , l [ n ] s[n] = \sum_{m=0}^{K-1} \sum_{l=0}^{L-1} a_{m,l} g_{m,l}[n]
s [ n ] = m = 0 ∑ K − 1 l = 0 ∑ L − 1 a m , l g m , l [ n ]
其中g m , l [ n ] = g [ n − m L ] e j 2 π l n / L g_{m,l}[n] = g[n-mL]e^{j2\pi ln/L} g m , l [ n ] = g [ n − m L ] e j 2 π l n / L 是传输脉冲g [ n ] g[n] g [ n ] 的时频移位版本。
3.2 矩形脉冲的特殊情况
当使用矩形脉冲时,传输和接收脉冲为:
g [ n ] = γ [ n ] = { 1 L , 0 ≤ n ≤ L − 1 0 , L ≤ n ≤ K L − 1 g[n] = \gamma[n] = \begin{cases}
\frac{1}{\sqrt{L}}, & 0 \leq n \leq L-1 \\
0, & L \leq n \leq KL-1
\end{cases} g [ n ] = γ [ n ] = { L 1 , 0 , 0 ≤ n ≤ L − 1 L ≤ n ≤ K L − 1
在这种情况下,传输信号简化为:
s [ n + m L ] = 1 K ∑ k = 0 K − 1 Z x [ n , k ] e j 2 π m k K s[n+mL] = \frac{1}{\sqrt{K}} \sum_{k=0}^{K-1} Z_x[n,k] e^{j2\pi\frac{mk}{K}}
s [ n + m L ] = K 1 k = 0 ∑ K − 1 Z x [ n , k ] e j 2 π K m k
这恰好是IDZT的表达式,证明了矩形脉冲情况下OFDM覆盖层等价于DZT/IDZT操作。
4. 基于DZT的OTFS系统实现
4.1 系统模型概述
图6描述 :图6展示了完整的OTFS系统模型。发射端,DD域符号Z x Z_x Z x 通过IDZT转换为离散序列,添加循环前缀(CP)后经过并串转换(P/S),然后通过脉冲p ( t ) p(t) p ( t ) 调制并通过时频色散信道h ( τ , ν ) h(\tau,\nu) h ( τ , ν ) 传输。接收端执行匹配滤波、串并转换(S/P),移除CP后通过DZT恢复DD域符号Z y Z_y Z y 。系统的核心是DD域输入输出关系,由等式(64)描述。
4.2 发射机设计
发射机将DD域帧Z x Z_x Z x 通过IDZT映射到时域序列:
x [ n + l L ] = 1 K ∑ k = 0 K − 1 Z x [ n , k ] e j 2 π k l K x[n+lL] = \frac{1}{\sqrt{K}} \sum_{k=0}^{K-1} Z_x[n,k] e^{j2\pi\frac{kl}{K}}
x [ n + l L ] = K 1 k = 0 ∑ K − 1 Z x [ n , k ] e j 2 π K k l
为避免帧间干扰,添加长度为L C P L_{CP} L C P 的循环前缀。传输信号通过脉冲幅度调制(PAM)生成:
s ( t ) = ∑ n = 0 N + L C P − 1 x [ n − L C P ] p ( t − n T ) s(t) = \sum_{n=0}^{N+L_{CP}-1} x[n-L_{CP}] p(t-nT)
s ( t ) = n = 0 ∑ N + L C P − 1 x [ n − L C P ] p ( t − n T )
其中T T T 是调制间隔,p ( t ) p(t) p ( t ) 是平方根奈奎斯特脉冲。
4.3 信道模型
我们考虑具有P P P 个散射路径的时频色散信道,其DD扩展函数为:
h ( τ , ν ) = ∑ p = 0 P − 1 α p δ ( τ − τ p ) δ ( ν − ν p ) h(\tau,\nu) = \sum_{p=0}^{P-1} \alpha_p \delta(\tau-\tau_p) \delta(\nu-\nu_p)
h ( τ , ν ) = p = 0 ∑ P − 1 α p δ ( τ − τ p ) δ ( ν − ν p )
其中α p \alpha_p α p 、τ p \tau_p τ p 和ν p \nu_p ν p 分别是第p p p 条路径的复增益、延迟和多普勒频移。
接收信号表示为:
r ( t ) = ∑ p = 0 P − 1 α p s ( t − τ p ) e j 2 π ν p t + w ~ ( t ) r(t) = \sum_{p=0}^{P-1} \alpha_p s(t-\tau_p) e^{j2\pi\nu_pt} + \tilde{w}(t)
r ( t ) = p = 0 ∑ P − 1 α p s ( t − τ p ) e j 2 π ν p t + w ~ ( t )
其中w ~ ( t ) \tilde{w}(t) w ~ ( t ) 是功率谱密度为N 0 N_0 N 0 的加性白高斯噪声。
4.4 DD域输入输出关系
经过匹配滤波和采样后,接收序列可表示为:
y [ m ] = ∑ p = 0 P − 1 α p ∑ n = − L C P N − 1 x [ n ] e j 2 π k p n K L h p [ m − n ] + w [ m ] y[m] = \sum_{p=0}^{P-1} \alpha_p \sum_{n=-L_{CP}}^{N-1} x[n] e^{j2\pi\frac{k_p n}{KL}} h_p[m-n] + w[m]
y [ m ] = p = 0 ∑ P − 1 α p n = − L C P ∑ N − 1 x [ n ] e j 2 π K L k p n h p [ m − n ] + w [ m ]
其中h p [ n ] = h ( n T − τ p ) h_p[n] = h(nT-\tau_p) h p [ n ] = h ( n T − τ p ) 是采样脉冲响应,k p = ν p K L T k_p = \nu_p KLT k p = ν p K L T 是归一化多普勒频移。
DD域的输入输出关系为:
Z y [ n , k ] = ∑ p = 0 P − 1 α p Z y p [ n , k ] + Z w [ n , k ] Z_y[n,k] = \sum_{p=0}^{P-1} \alpha_p Z_{y_p}[n,k] + Z_w[n,k]
Z y [ n , k ] = p = 0 ∑ P − 1 α p Z y p [ n , k ] + Z w [ n , k ]
其中:
Z y p [ n , k ] = ∑ m = 0 L − 1 ( ∑ l = 0 K − 1 Z x [ m , l ] Z u p [ m , k − l ] ) Z h p [ n − m , k ] Z_{y_p}[n,k] = \sum_{m=0}^{L-1} \left(\sum_{l=0}^{K-1} Z_x[m,l] Z_{u_p}[m,k-l]\right) Z_{h_p}[n-m,k]
Z y p [ n , k ] = m = 0 ∑ L − 1 ( l = 0 ∑ K − 1 Z x [ m , l ] Z u p [ m , k − l ] ) Z h p [ n − m , k ]
5. 时延-多普勒域的扩展分析
5.1 多普勒扩展
图8描述 :图8展示了归一化多普勒扩展函数∣ V [ k − k p ] ∣ |V[k-k_p]| ∣ V [ k − k p ] ∣ (以dB为单位),其中K = 30 K=30 K = 3 0 。该函数呈现典型的sinc函数特性,主瓣位于k = k p k=k_p k = k p ,旁瓣随距离衰减。当k p k_p k p 不是整数时,会产生显著的多普勒域干扰,这种现象类似于DFT中的频谱泄漏。
多普勒扩展由Z u p Z_{u_p} Z u p 决定:
Z u p [ n , k ] = e j 2 π k p n K L V [ k − k p ] Z_{u_p}[n,k] = e^{j2\pi\frac{k_p n}{KL}} V[k-k_p]
Z u p [ n , k ] = e j 2 π K L k p n V [ k − k p ]
其中:
V [ k − k p ] = 1 K e − j π ( K − 1 ) ( k − k p ) K sin ( π ( k − k p ) ) sin ( π ( k − k p ) K ) V[k-k_p] = \frac{1}{\sqrt{K}} e^{-j\pi\frac{(K-1)(k-k_p)}{K}} \frac{\sin(\pi(k-k_p))}{\sin(\frac{\pi(k-k_p)}{K})}
V [ k − k p ] = K 1 e − j π K ( K − 1 ) ( k − k p ) sin ( K π ( k − k p ) ) sin ( π ( k − k p ) )
多普勒分辨率定义为:
Δ ν = 1 K L T \Delta\nu = \frac{1}{KLT}
Δ ν = K L T 1
5.2 时延扩展
图9描述 :图9展示了分数延迟升余弦脉冲(延迟τ = 0.5 T \tau=0.5T τ = 0 . 5 T ,滚降因子β = 0.5 \beta=0.5 β = 0 . 5 )的采样序列h p [ n ] h_p[n] h p [ n ] 的DZT。上图显示幅度∣ Z h p [ n , k ] ∣ |Z_{h_p}[n,k]| ∣ Z h p [ n , k ] ∣ 在k k k 维度上保持恒定,证实了有限支撑脉冲的特性。下图显示相位ϕ h p [ n , k ] \phi_{h_p}[n,k] ϕ h p [ n , k ] ,在n ≥ 16 n \geq 16 n ≥ 1 6 时出现额外的线性相位,这是由于DZT的准周期性造成的。
时延分辨率定义为:
Δ τ = T \Delta\tau = T
Δ τ = T
5.3 综合DD域扩展
图10描述 :图10展示了单个DD域符号由于分数时延(τ p = 0.5 T \tau_p=0.5T τ p = 0 . 5 T )和多普勒频移(k p = 0.5 k_p=0.5 k p = 0 . 5 )产生的扩展过程。(a)显示初始符号位于Z x [ L / 2 , 0 ] = 1 Z_x[L/2,0]=1 Z x [ L / 2 , 0 ] = 1 。(b)显示经过多普勒扩展后的中间结果Z y ˇ Z_{\check{y}} Z y ˇ ,符号在频率维度扩展。©显示最终的DD域扩展Z y Z_y Z y ,符号同时在时延和多普勒维度扩展,形成特征性的二维扩展图案。
图11描述 :图11展示了基于3GPP TDL-E信道模型的DD域扩展,该模型包含一条LOS路径和13条散射路径。(a)使用滚降因子β = 0.1 \beta=0.1 β = 0 . 1 的升余弦脉冲,(b)使用β = 1 \beta=1 β = 1 。顶部的热图显示∣ Z y [ τ , ν ] ∣ |Z_y[\tau,\nu]| ∣ Z y [ τ , ν ] ∣ 的dB值,底部的三维图显示线性幅度。增加滚降因子显著减少了时延域的扩展,而多普勒域扩展保持不变。这说明脉冲设计对系统性能的重要影响。
附录
附录A:DZT与DFT的关系
定理 :序列x x x 的DZT可以通过其DFT X X X 表示为:
Z x ( L , K ) [ n , k ] = 1 L ∑ l = 0 L − 1 X [ k + l K ] e j 2 π ( k + l K ) n K L Z_x^{(L,K)}[n,k] = \frac{1}{\sqrt{L}} \sum_{l=0}^{L-1} X[k+lK] e^{j2\pi\frac{(k+lK)n}{KL}}
Z x ( L , K ) [ n , k ] = L 1 l = 0 ∑ L − 1 X [ k + l K ] e j 2 π K L ( k + l K ) n
证明 :
从IDFT开始:
x [ n ] = 1 K L ∑ k ′ = 0 K L − 1 X [ k ′ ] e j 2 π k ′ n K L x[n] = \frac{1}{\sqrt{KL}} \sum_{k'=0}^{KL-1} X[k'] e^{j2\pi\frac{k'n}{KL}}
x [ n ] = K L 1 k ′ = 0 ∑ K L − 1 X [ k ′ ] e j 2 π K L k ′ n
将求和索引k ′ k' k ′ 分解为k ′ = k + l K k' = k + lK k ′ = k + l K ,其中0 ≤ k ≤ K − 1 0 \leq k \leq K-1 0 ≤ k ≤ K − 1 和0 ≤ l ≤ L − 1 0 \leq l \leq L-1 0 ≤ l ≤ L − 1 :
x [ n ] = 1 K L ∑ l = 0 L − 1 ∑ k = 0 K − 1 X [ k + l K ] e j 2 π ( k + l K ) n K L x[n] = \frac{1}{\sqrt{KL}} \sum_{l=0}^{L-1} \sum_{k=0}^{K-1} X[k+lK] e^{j2\pi\frac{(k+lK)n}{KL}}
x [ n ] = K L 1 l = 0 ∑ L − 1 k = 0 ∑ K − 1 X [ k + l K ] e j 2 π K L ( k + l K ) n
将此代入DZT定义:
Z x ( L , K ) [ n , k ] = 1 K ∑ l ′ = 0 K − 1 x [ n + l ′ L ] e − j 2 π k l ′ K Z_x^{(L,K)}[n,k] = \frac{1}{\sqrt{K}} \sum_{l'=0}^{K-1} x[n+l'L] e^{-j2\pi\frac{kl'}{K}}
Z x ( L , K ) [ n , k ] = K 1 l ′ = 0 ∑ K − 1 x [ n + l ′ L ] e − j 2 π K k l ′
代入x [ n + l ′ L ] x[n+l'L] x [ n + l ′ L ] 的表达式:
Z x ( L , K ) [ n , k ] = 1 K L ∑ l ′ = 0 K − 1 ∑ l = 0 L − 1 ∑ k ′ = 0 K − 1 X [ k ′ + l K ] e j 2 π ( k ′ + l K ) ( n + l ′ L ) K L e − j 2 π k l ′ K Z_x^{(L,K)}[n,k] = \frac{1}{K\sqrt{L}} \sum_{l'=0}^{K-1} \sum_{l=0}^{L-1} \sum_{k'=0}^{K-1} X[k'+lK] e^{j2\pi\frac{(k'+lK)(n+l'L)}{KL}} e^{-j2\pi\frac{kl'}{K}}
Z x ( L , K ) [ n , k ] = K L 1 l ′ = 0 ∑ K − 1 l = 0 ∑ L − 1 k ′ = 0 ∑ K − 1 X [ k ′ + l K ] e j 2 π K L ( k ′ + l K ) ( n + l ′ L ) e − j 2 π K k l ′
整理指数项:
e j 2 π ( k ′ + l K ) ( n + l ′ L ) K L e − j 2 π k l ′ K = e j 2 π ( k ′ + l K ) n K L e j 2 π l ′ ( k ′ − k ) K e^{j2\pi\frac{(k'+lK)(n+l'L)}{KL}} e^{-j2\pi\frac{kl'}{K}} = e^{j2\pi\frac{(k'+lK)n}{KL}} e^{j2\pi\frac{l'(k'-k)}{K}}
e j 2 π K L ( k ′ + l K ) ( n + l ′ L ) e − j 2 π K k l ′ = e j 2 π K L ( k ′ + l K ) n e j 2 π K l ′ ( k ′ − k )
对l ′ l' l ′ 求和,利用:
∑ l ′ = 0 K − 1 e j 2 π l ′ ( k ′ − k ) K = K δ [ k ′ − k ] \sum_{l'=0}^{K-1} e^{j2\pi\frac{l'(k'-k)}{K}} = K\delta[k'-k]
l ′ = 0 ∑ K − 1 e j 2 π K l ′ ( k ′ − k ) = K δ [ k ′ − k ]
得到最终结果。
附录B:调制性质
定理 :对于z [ n ] = x [ n ] y [ n ] z[n] = x[n]y[n] z [ n ] = x [ n ] y [ n ] ,其DZT为:
Z z [ n , k ] = 1 K ∑ l = 0 K − 1 Z x [ n , l ] Z y [ n , k − l ] Z_z[n,k] = \frac{1}{\sqrt{K}} \sum_{l=0}^{K-1} Z_x[n,l] Z_y[n,k-l]
Z z [ n , k ] = K 1 l = 0 ∑ K − 1 Z x [ n , l ] Z y [ n , k − l ]
证明 :
从定义开始:
Z z [ n , k ] = 1 K ∑ l = 0 K − 1 x [ n + l L ] y [ n + l L ] e − j 2 π k l K Z_z[n,k] = \frac{1}{\sqrt{K}} \sum_{l=0}^{K-1} x[n+lL]y[n+lL] e^{-j2\pi\frac{kl}{K}}
Z z [ n , k ] = K 1 l = 0 ∑ K − 1 x [ n + l L ] y [ n + l L ] e − j 2 π K k l
使用IDZT表示x [ n + l L ] x[n+lL] x [ n + l L ] :
x [ n + l L ] = 1 K ∑ m = 0 K − 1 Z x [ n , m ] e j 2 π m l K x[n+lL] = \frac{1}{\sqrt{K}} \sum_{m=0}^{K-1} Z_x[n,m] e^{j2\pi\frac{ml}{K}}
x [ n + l L ] = K 1 m = 0 ∑ K − 1 Z x [ n , m ] e j 2 π K m l
类似地表示y [ n + l L ] y[n+lL] y [ n + l L ] :
y [ n + l L ] = 1 K ∑ m ′ = 0 K − 1 Z y [ n , m ′ ] e j 2 π m ′ l K y[n+lL] = \frac{1}{\sqrt{K}} \sum_{m'=0}^{K-1} Z_y[n,m'] e^{j2\pi\frac{m'l}{K}}
y [ n + l L ] = K 1 m ′ = 0 ∑ K − 1 Z y [ n , m ′ ] e j 2 π K m ′ l
代入并整理:
Z z [ n , k ] = 1 K K ∑ l = 0 K − 1 ∑ m = 0 K − 1 ∑ m ′ = 0 K − 1 Z x [ n , m ] Z y [ n , m ′ ] e j 2 π l ( m + m ′ − k ) K Z_z[n,k] = \frac{1}{K\sqrt{K}} \sum_{l=0}^{K-1} \sum_{m=0}^{K-1} \sum_{m'=0}^{K-1} Z_x[n,m] Z_y[n,m'] e^{j2\pi\frac{l(m+m'-k)}{K}}
Z z [ n , k ] = K K 1 l = 0 ∑ K − 1 m = 0 ∑ K − 1 m ′ = 0 ∑ K − 1 Z x [ n , m ] Z y [ n , m ′ ] e j 2 π K l ( m + m ′ − k )
对l l l 求和:
∑ l = 0 K − 1 e j 2 π l ( m + m ′ − k ) K = K δ [ ( m + m ′ − k ) m o d K ] \sum_{l=0}^{K-1} e^{j2\pi\frac{l(m+m'-k)}{K}} = K\delta[(m+m'-k) \bmod K]
l = 0 ∑ K − 1 e j 2 π K l ( m + m ′ − k ) = K δ [ ( m + m ′ − k ) m o d K ]
因此:
Z z [ n , k ] = 1 K ∑ m = 0 K − 1 Z x [ n , m ] Z y [ n , k − m ] Z_z[n,k] = \frac{1}{\sqrt{K}} \sum_{m=0}^{K-1} Z_x[n,m] Z_y[n,k-m]
Z z [ n , k ] = K 1 m = 0 ∑ K − 1 Z x [ n , m ] Z y [ n , k − m ]
附录C:循环卷积性质
定理 :对于循环卷积z = x ⊛ y z = x \circledast y z = x ⊛ y :
Z z [ n , k ] = K ∑ m = 0 L − 1 Z x [ m , k ] Z y [ n − m , k ] Z_z[n,k] = \sqrt{K} \sum_{m=0}^{L-1} Z_x[m,k] Z_y[n-m,k]
Z z [ n , k ] = K m = 0 ∑ L − 1 Z x [ m , k ] Z y [ n − m , k ]
证明 :
循环卷积在DFT域表示为:
Z [ k ] = K L X [ k ] Y [ k ] Z[k] = \sqrt{KL} X[k]Y[k]
Z [ k ] = K L X [ k ] Y [ k ]
使用DZT与DFT的关系:
Z z [ n , k ] = 1 L ∑ l = 0 L − 1 X [ k + l K ] Y [ k + l K ] e j 2 π ( k + l K ) n K L Z_z[n,k] = \frac{1}{\sqrt{L}} \sum_{l=0}^{L-1} X[k+lK]Y[k+lK] e^{j2\pi\frac{(k+lK)n}{KL}}
Z z [ n , k ] = L 1 l = 0 ∑ L − 1 X [ k + l K ] Y [ k + l K ] e j 2 π K L ( k + l K ) n
将X [ k + l K ] X[k+lK] X [ k + l K ] 和Y [ k + l K ] Y[k+lK] Y [ k + l K ] 用DZT表示:
X [ k ] = 1 L ∑ n ′ = 0 L − 1 Z x [ n ′ , k ] e − j 2 π k n ′ K L X[k] = \frac{1}{\sqrt{L}} \sum_{n'=0}^{L-1} Z_x[n',k] e^{-j2\pi\frac{kn'}{KL}}
X [ k ] = L 1 n ′ = 0 ∑ L − 1 Z x [ n ′ , k ] e − j 2 π K L k n ′
代入并整理,使用正交性关系:
∑ l = 0 L − 1 e j 2 π l ( n ′ − n ′ ′ − n ) L = L δ [ ( n ′ − n ′ ′ − n ) m o d L ] \sum_{l=0}^{L-1} e^{j2\pi\frac{l(n'-n''-n)}{L}} = L\delta[(n'-n''-n) \bmod L]
l = 0 ∑ L − 1 e j 2 π L l ( n ′ − n ′ ′ − n ) = L δ [ ( n ′ − n ′ ′ − n ) m o d L ]
最终得到所需结果。
附录D:DD域输入输出关系
从接收信号开始:
r ( t ) = ∑ p = 0 P − 1 α p s ( t − τ p ) e j 2 π ν p t + w ~ ( t ) r(t) = \sum_{p=0}^{P-1} \alpha_p s(t-\tau_p) e^{j2\pi\nu_pt} + \tilde{w}(t)
r ( t ) = p = 0 ∑ P − 1 α p s ( t − τ p ) e j 2 π ν p t + w ~ ( t )
经过匹配滤波:
y ( t ) = ∑ p = 0 P − 1 α p ∑ n = 0 N + L C P − 1 x [ n − L C P ] ∫ − ∞ ∞ p ( τ − n T − τ p ) e j 2 π ν p τ p ∗ ( τ − t ) d τ + w ( t ) y(t) = \sum_{p=0}^{P-1} \alpha_p \sum_{n=0}^{N+L_{CP}-1} x[n-L_{CP}] \int_{-\infty}^{\infty} p(\tau-nT-\tau_p) e^{j2\pi\nu_p\tau} p^*(\tau-t) d\tau + w(t)
y ( t ) = p = 0 ∑ P − 1 α p n = 0 ∑ N + L C P − 1 x [ n − L C P ] ∫ − ∞ ∞ p ( τ − n T − τ p ) e j 2 π ν p τ p ∗ ( τ − t ) d τ + w ( t )
假设脉冲带宽远大于最大多普勒频移,积分近似为:
∫ − ∞ ∞ p ( τ − n T − τ p ) e j 2 π ν p τ p ∗ ( τ − t ) d τ ≈ e j 2 π ν p ( n T + τ p ) h ( t − n T − τ p ) \int_{-\infty}^{\infty} p(\tau-nT-\tau_p) e^{j2\pi\nu_p\tau} p^*(\tau-t) d\tau \approx e^{j2\pi\nu_p(nT+\tau_p)} h(t-nT-\tau_p)
∫ − ∞ ∞ p ( τ − n T − τ p ) e j 2 π ν p τ p ∗ ( τ − t ) d τ ≈ e j 2 π ν p ( n T + τ p ) h ( t − n T − τ p )
其中h ( t ) h(t) h ( t ) 是奈奎斯特脉冲。
采样后,利用CP的循环性质,得到:
y [ m ] ≈ ∑ p = 0 P − 1 α p ∑ n = 0 K L − 1 x [ n ] e j 2 π k p n K L h p [ ( m − n ) m o d K L ] + w [ m ] y[m] \approx \sum_{p=0}^{P-1} \alpha_p \sum_{n=0}^{KL-1} x[n] e^{j2\pi\frac{k_pn}{KL}} h_p[(m-n) \bmod KL] + w[m]
y [ m ] ≈ p = 0 ∑ P − 1 α p n = 0 ∑ K L − 1 x [ n ] e j 2 π K L k p n h p [ ( m − n ) m o d K L ] + w [ m ]
应用DZT,并使用调制和卷积性质,得到最终的DD域输入输出关系。
结论
本文提出的基于离散Zak变换的OTFS调制提供了一个统一的数学框架,用于理解和实现OTFS系统。通过DZT的视角,我们不仅简化了OTFS的分析,还揭示了系统参数选择的深层含义。特别是,我们展示了帧大小如何直接影响多普勒和时延分辨率,这为系统设计提供了重要指导。
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