正交时频空间调制:离散Zak变换方法——论文阅读笔记

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DuHz 发表于 2025/10/06 19:10:47 2025/10/06
【摘要】 正交时频空间调制:离散Zak变换方法Lampel F, Joudeh H, Alvarado A, et al. Orthogonal time frequency space modulation based on the discrete Zak transform[J]. Entropy, 2022, 24(12): 1704. 1. 引言与背景正交时频空间(OTFS)调制是一种新型...

正交时频空间调制:离散Zak变换方法

Lampel F, Joudeh H, Alvarado A, et al. Orthogonal time frequency space modulation based on the discrete Zak transform[J]. Entropy, 2022, 24(12): 1704.

1. 引言与背景

正交时频空间(OTFS)调制是一种新型的调制技术,专门设计用于应对高移动性环境中的通信挑战。与传统的正交频分复用(OFDM)不同,OTFS将信息符号放置在时延-多普勒(DD)域中,而不是时频(TF)域。这种根本性的差异使得OTFS在处理时频色散信道时具有独特的优势。

在高速移动场景中,如高速列车或飞机通信,多普勒效应导致信道快速时变,使传统OFDM系统的性能严重退化。OTFS通过在DD域操作,将这种时变信道转换为时不变的二维卷积,从而简化了均衡器的设计并提高了系统性能。

本文提出了一种基于离散Zak变换(DZT)的OTFS实现方法。与现有的基于OFDM覆盖层的方法不同,我们的方法直接利用DZT的数学性质,不仅简化了OTFS的实现,还提供了对系统行为的深入理解。

2. 离散Zak变换的数学基础

2.1 DZT的定义与基本关系

对于周期为KLKL的序列xCZx \in \mathbb{C}^{\mathbb{Z}},其离散Zak变换Zx(L,K)CZ×ZZ_x^{(L,K)} \in \mathbb{C}^{\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}}定义为:

Zx(L,K)[n,k]1Kl=0K1x[n+lL]ej2πklK,n,kZZ_x^{(L,K)}[n,k] \triangleq \frac{1}{\sqrt{K}} \sum_{l=0}^{K-1} x[n+lL] e^{-j2\pi\frac{kl}{K}}, \quad n,k \in \mathbb{Z}

这个定义揭示了DZT的本质:对于给定的时间索引nn,DZT是下采样序列x(n,L)={x[n+lL]lZ}x_{(n,L)} = \{x[n+lL] | l \in \mathbb{Z}\}的酉离散傅里叶变换(DFT)。变量nn确定了下采样的起始相位,而kk表示离散频率。

序列xx可以通过逆离散Zak变换(IDZT)从其DZT恢复:

x[n]=1Kk=0K1Zx(L,K)[n,k]x[n] = \frac{1}{\sqrt{K}} \sum_{k=0}^{K-1} Z_x^{(L,K)}[n,k]

为了更好地理解DZT的性质,考虑两个特殊情况:

K=1K=1时:

Zx(L,1)[n,k]=x[n]Z_x^{(L,1)}[n,k] = x[n]

L=1L=1时:

Zx(1,K)[n,k]=1Kl=0K1x[n+l]ej2πklKZ_x^{(1,K)}[n,k] = \frac{1}{\sqrt{K}} \sum_{l=0}^{K-1} x[n+l] e^{-j2\pi\frac{kl}{K}}

后者在n=0n=0时简化为序列xx的标准DFT。

2.2 DZT的周期性性质

DZT具有独特的周期性和准周期性性质。在频率域,DZT是周期性的:

Zx(L,K)[n,k+mK]=Zx(L,K)[n,k],mZZ_x^{(L,K)}[n, k+mK] = Z_x^{(L,K)}[n,k], \quad \forall m \in \mathbb{Z}

在时间域,DZT表现出准周期性:

Zx(L,K)[n+mL,k]=ej2πkmKZx(L,K)[n,k],mZZ_x^{(L,K)}[n+mL, k] = e^{j2\pi\frac{km}{K}} Z_x^{(L,K)}[n,k], \quad \forall m \in \mathbb{Z}

这种准周期性意味着DZT在时间上以周期LL重复,但伴随着相位因子ej2πkm/Ke^{j2\pi km/K}。因此,DZT完全由基本矩形{(n,k):0nL1,0kK1}\{(n,k) : 0 \leq n \leq L-1, 0 \leq k \leq K-1\}内的值决定。

图1描述:图1展示了一个高斯包络序列f[n]=e12(nL/2σL/2)2f[n] = e^{-\frac{1}{2}(\frac{n-L/2}{\sigma L/2})^2}(其中σ=1/4\sigma=1/4L=30L=30)及其DZT的幅度Zg[n,k]|Z_g[n,k]|。该序列gg具有周期KL=900KL=900,在第一个LL个样本中等于f[n]f[n],其余位置为零。DZT的幅度在基本矩形内呈现出特征性的图案,相位在所示范围内为零。

2.3 信号变换的核心性质

DZT具有三个对OTFS分析至关重要的信号变换性质:

移位性质:对于移位序列y[n]=x[nm]y[n] = x[n-m]

Zy[n,k]=Zx[nm,k]Z_y[n,k] = Z_x[n-m,k]

特别地,当移位为LL的整数倍(m=lLm=lL)时:

Zy[n,k]=ej2πklKZx[n,k]Z_y[n,k] = e^{-j2\pi\frac{kl}{K}} Z_x[n,k]

调制性质:对于逐元素乘积z[n]=x[n]y[n]z[n] = x[n]y[n]

Zz[n,k]=1Kl=0K1Zx[n,l]Zy[n,kl]Z_z[n,k] = \frac{1}{\sqrt{K}} \sum_{l=0}^{K-1} Z_x[n,l]Z_y[n,k-l]

这表明时域的乘法对应于DD域中关于频率变量的卷积。

循环卷积性质:对于循环卷积z=xyz = x \circledast y

Zz[n,k]=Km=0L1Zx[m,k]Zy[nm,k]Z_z[n,k] = \sqrt{K} \sum_{m=0}^{L-1} Z_x[m,k]Z_y[n-m,k]

这表明时域的循环卷积对应于DD域中关于时间变量的卷积。

3. OTFS作为OFDM的覆盖层实现

3.1 OFDM覆盖架构

图5描述:图5(a)展示了OTFS作为OFDM覆盖技术的概念框架。DD域中的符号ZxZ_x通过逆辛有限傅里叶变换(ISFFT)映射到时频域的符号aa,然后通过脉冲整形OFDM传输。接收端通过辛有限傅里叶变换(SFFT)将接收到的时频域符号映射回DD域。图5(b)详细展示了脉冲整形OFDM传输的结构,其中每个时频域符号am,la_{m,l}通过相应的脉冲gm,l[n]g_{m,l}[n]进行调制。

ISFFT定义为:

am,l=1KLn=0L1k=0K1Zx[n,k]ej2π(mkKlnL)a_{m,l} = \frac{1}{\sqrt{KL}} \sum_{n=0}^{L-1} \sum_{k=0}^{K-1} Z_x[n,k] e^{j2\pi(\frac{mk}{K} - \frac{ln}{L})}

其中0mK10 \leq m \leq K-10lL10 \leq l \leq L-1

传输信号表示为:

s[n]=m=0K1l=0L1am,lgm,l[n]s[n] = \sum_{m=0}^{K-1} \sum_{l=0}^{L-1} a_{m,l} g_{m,l}[n]

其中gm,l[n]=g[nmL]ej2πln/Lg_{m,l}[n] = g[n-mL]e^{j2\pi ln/L}是传输脉冲g[n]g[n]的时频移位版本。

3.2 矩形脉冲的特殊情况

当使用矩形脉冲时,传输和接收脉冲为:

g[n]=γ[n]={1L,0nL10,LnKL1g[n] = \gamma[n] = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{L}}, & 0 \leq n \leq L-1 \\ 0, & L \leq n \leq KL-1 \end{cases}

在这种情况下,传输信号简化为:

s[n+mL]=1Kk=0K1Zx[n,k]ej2πmkKs[n+mL] = \frac{1}{\sqrt{K}} \sum_{k=0}^{K-1} Z_x[n,k] e^{j2\pi\frac{mk}{K}}

这恰好是IDZT的表达式,证明了矩形脉冲情况下OFDM覆盖层等价于DZT/IDZT操作。

4. 基于DZT的OTFS系统实现

4.1 系统模型概述

图6描述:图6展示了完整的OTFS系统模型。发射端,DD域符号ZxZ_x通过IDZT转换为离散序列,添加循环前缀(CP)后经过并串转换(P/S),然后通过脉冲p(t)p(t)调制并通过时频色散信道h(τ,ν)h(\tau,\nu)传输。接收端执行匹配滤波、串并转换(S/P),移除CP后通过DZT恢复DD域符号ZyZ_y。系统的核心是DD域输入输出关系,由等式(64)描述。

4.2 发射机设计

发射机将DD域帧ZxZ_x通过IDZT映射到时域序列:

x[n+lL]=1Kk=0K1Zx[n,k]ej2πklKx[n+lL] = \frac{1}{\sqrt{K}} \sum_{k=0}^{K-1} Z_x[n,k] e^{j2\pi\frac{kl}{K}}

为避免帧间干扰,添加长度为LCPL_{CP}的循环前缀。传输信号通过脉冲幅度调制(PAM)生成:

s(t)=n=0N+LCP1x[nLCP]p(tnT)s(t) = \sum_{n=0}^{N+L_{CP}-1} x[n-L_{CP}] p(t-nT)

其中TT是调制间隔,p(t)p(t)是平方根奈奎斯特脉冲。

4.3 信道模型

我们考虑具有PP个散射路径的时频色散信道,其DD扩展函数为:

h(τ,ν)=p=0P1αpδ(ττp)δ(ννp)h(\tau,\nu) = \sum_{p=0}^{P-1} \alpha_p \delta(\tau-\tau_p) \delta(\nu-\nu_p)

其中αp\alpha_pτp\tau_pνp\nu_p分别是第pp条路径的复增益、延迟和多普勒频移。

接收信号表示为:

r(t)=p=0P1αps(tτp)ej2πνpt+w~(t)r(t) = \sum_{p=0}^{P-1} \alpha_p s(t-\tau_p) e^{j2\pi\nu_pt} + \tilde{w}(t)

其中w~(t)\tilde{w}(t)是功率谱密度为N0N_0的加性白高斯噪声。

4.4 DD域输入输出关系

经过匹配滤波和采样后,接收序列可表示为:

y[m]=p=0P1αpn=LCPN1x[n]ej2πkpnKLhp[mn]+w[m]y[m] = \sum_{p=0}^{P-1} \alpha_p \sum_{n=-L_{CP}}^{N-1} x[n] e^{j2\pi\frac{k_p n}{KL}} h_p[m-n] + w[m]

其中hp[n]=h(nTτp)h_p[n] = h(nT-\tau_p)是采样脉冲响应,kp=νpKLTk_p = \nu_p KLT是归一化多普勒频移。

DD域的输入输出关系为:

Zy[n,k]=p=0P1αpZyp[n,k]+Zw[n,k]Z_y[n,k] = \sum_{p=0}^{P-1} \alpha_p Z_{y_p}[n,k] + Z_w[n,k]

其中:

Zyp[n,k]=m=0L1(l=0K1Zx[m,l]Zup[m,kl])Zhp[nm,k]Z_{y_p}[n,k] = \sum_{m=0}^{L-1} \left(\sum_{l=0}^{K-1} Z_x[m,l] Z_{u_p}[m,k-l]\right) Z_{h_p}[n-m,k]

5. 时延-多普勒域的扩展分析

5.1 多普勒扩展

图8描述:图8展示了归一化多普勒扩展函数V[kkp]|V[k-k_p]|(以dB为单位),其中K=30K=30。该函数呈现典型的sinc函数特性,主瓣位于k=kpk=k_p,旁瓣随距离衰减。当kpk_p不是整数时,会产生显著的多普勒域干扰,这种现象类似于DFT中的频谱泄漏。

多普勒扩展由ZupZ_{u_p}决定:

Zup[n,k]=ej2πkpnKLV[kkp]Z_{u_p}[n,k] = e^{j2\pi\frac{k_p n}{KL}} V[k-k_p]

其中:

V[kkp]=1Kejπ(K1)(kkp)Ksin(π(kkp))sin(π(kkp)K)V[k-k_p] = \frac{1}{\sqrt{K}} e^{-j\pi\frac{(K-1)(k-k_p)}{K}} \frac{\sin(\pi(k-k_p))}{\sin(\frac{\pi(k-k_p)}{K})}

多普勒分辨率定义为:

Δν=1KLT\Delta\nu = \frac{1}{KLT}

5.2 时延扩展

图9描述:图9展示了分数延迟升余弦脉冲(延迟τ=0.5T\tau=0.5T,滚降因子β=0.5\beta=0.5)的采样序列hp[n]h_p[n]的DZT。上图显示幅度Zhp[n,k]|Z_{h_p}[n,k]|kk维度上保持恒定,证实了有限支撑脉冲的特性。下图显示相位ϕhp[n,k]\phi_{h_p}[n,k],在n16n \geq 16时出现额外的线性相位,这是由于DZT的准周期性造成的。

时延分辨率定义为:

Δτ=T\Delta\tau = T

5.3 综合DD域扩展

图10描述:图10展示了单个DD域符号由于分数时延(τp=0.5T\tau_p=0.5T)和多普勒频移(kp=0.5k_p=0.5)产生的扩展过程。(a)显示初始符号位于Zx[L/2,0]=1Z_x[L/2,0]=1。(b)显示经过多普勒扩展后的中间结果ZyˇZ_{\check{y}},符号在频率维度扩展。©显示最终的DD域扩展ZyZ_y,符号同时在时延和多普勒维度扩展,形成特征性的二维扩展图案。

图11描述:图11展示了基于3GPP TDL-E信道模型的DD域扩展,该模型包含一条LOS路径和13条散射路径。(a)使用滚降因子β=0.1\beta=0.1的升余弦脉冲,(b)使用β=1\beta=1。顶部的热图显示Zy[τ,ν]|Z_y[\tau,\nu]|的dB值,底部的三维图显示线性幅度。增加滚降因子显著减少了时延域的扩展,而多普勒域扩展保持不变。这说明脉冲设计对系统性能的重要影响。

附录

附录A:DZT与DFT的关系

定理:序列xx的DZT可以通过其DFT XX表示为:

Zx(L,K)[n,k]=1Ll=0L1X[k+lK]ej2π(k+lK)nKLZ_x^{(L,K)}[n,k] = \frac{1}{\sqrt{L}} \sum_{l=0}^{L-1} X[k+lK] e^{j2\pi\frac{(k+lK)n}{KL}}

证明
从IDFT开始:

x[n]=1KLk=0KL1X[k]ej2πknKLx[n] = \frac{1}{\sqrt{KL}} \sum_{k'=0}^{KL-1} X[k'] e^{j2\pi\frac{k'n}{KL}}

将求和索引kk'分解为k=k+lKk' = k + lK,其中0kK10 \leq k \leq K-10lL10 \leq l \leq L-1

x[n]=1KLl=0L1k=0K1X[k+lK]ej2π(k+lK)nKLx[n] = \frac{1}{\sqrt{KL}} \sum_{l=0}^{L-1} \sum_{k=0}^{K-1} X[k+lK] e^{j2\pi\frac{(k+lK)n}{KL}}

将此代入DZT定义:

Zx(L,K)[n,k]=1Kl=0K1x[n+lL]ej2πklKZ_x^{(L,K)}[n,k] = \frac{1}{\sqrt{K}} \sum_{l'=0}^{K-1} x[n+l'L] e^{-j2\pi\frac{kl'}{K}}

代入x[n+lL]x[n+l'L]的表达式:

Zx(L,K)[n,k]=1KLl=0K1l=0L1k=0K1X[k+lK]ej2π(k+lK)(n+lL)KLej2πklKZ_x^{(L,K)}[n,k] = \frac{1}{K\sqrt{L}} \sum_{l'=0}^{K-1} \sum_{l=0}^{L-1} \sum_{k'=0}^{K-1} X[k'+lK] e^{j2\pi\frac{(k'+lK)(n+l'L)}{KL}} e^{-j2\pi\frac{kl'}{K}}

整理指数项:

ej2π(k+lK)(n+lL)KLej2πklK=ej2π(k+lK)nKLej2πl(kk)Ke^{j2\pi\frac{(k'+lK)(n+l'L)}{KL}} e^{-j2\pi\frac{kl'}{K}} = e^{j2\pi\frac{(k'+lK)n}{KL}} e^{j2\pi\frac{l'(k'-k)}{K}}

ll'求和,利用:

l=0K1ej2πl(kk)K=Kδ[kk]\sum_{l'=0}^{K-1} e^{j2\pi\frac{l'(k'-k)}{K}} = K\delta[k'-k]

得到最终结果。

附录B:调制性质

定理:对于z[n]=x[n]y[n]z[n] = x[n]y[n],其DZT为:

Zz[n,k]=1Kl=0K1Zx[n,l]Zy[n,kl]Z_z[n,k] = \frac{1}{\sqrt{K}} \sum_{l=0}^{K-1} Z_x[n,l] Z_y[n,k-l]

证明
从定义开始:

Zz[n,k]=1Kl=0K1x[n+lL]y[n+lL]ej2πklKZ_z[n,k] = \frac{1}{\sqrt{K}} \sum_{l=0}^{K-1} x[n+lL]y[n+lL] e^{-j2\pi\frac{kl}{K}}

使用IDZT表示x[n+lL]x[n+lL]

x[n+lL]=1Km=0K1Zx[n,m]ej2πmlKx[n+lL] = \frac{1}{\sqrt{K}} \sum_{m=0}^{K-1} Z_x[n,m] e^{j2\pi\frac{ml}{K}}

类似地表示y[n+lL]y[n+lL]

y[n+lL]=1Km=0K1Zy[n,m]ej2πmlKy[n+lL] = \frac{1}{\sqrt{K}} \sum_{m'=0}^{K-1} Z_y[n,m'] e^{j2\pi\frac{m'l}{K}}

代入并整理:

Zz[n,k]=1KKl=0K1m=0K1m=0K1Zx[n,m]Zy[n,m]ej2πl(m+mk)KZ_z[n,k] = \frac{1}{K\sqrt{K}} \sum_{l=0}^{K-1} \sum_{m=0}^{K-1} \sum_{m'=0}^{K-1} Z_x[n,m] Z_y[n,m'] e^{j2\pi\frac{l(m+m'-k)}{K}}

ll求和:

l=0K1ej2πl(m+mk)K=Kδ[(m+mk)modK]\sum_{l=0}^{K-1} e^{j2\pi\frac{l(m+m'-k)}{K}} = K\delta[(m+m'-k) \bmod K]

因此:

Zz[n,k]=1Km=0K1Zx[n,m]Zy[n,km]Z_z[n,k] = \frac{1}{\sqrt{K}} \sum_{m=0}^{K-1} Z_x[n,m] Z_y[n,k-m]

附录C:循环卷积性质

定理:对于循环卷积z=xyz = x \circledast y

Zz[n,k]=Km=0L1Zx[m,k]Zy[nm,k]Z_z[n,k] = \sqrt{K} \sum_{m=0}^{L-1} Z_x[m,k] Z_y[n-m,k]

证明
循环卷积在DFT域表示为:

Z[k]=KLX[k]Y[k]Z[k] = \sqrt{KL} X[k]Y[k]

使用DZT与DFT的关系:

Zz[n,k]=1Ll=0L1X[k+lK]Y[k+lK]ej2π(k+lK)nKLZ_z[n,k] = \frac{1}{\sqrt{L}} \sum_{l=0}^{L-1} X[k+lK]Y[k+lK] e^{j2\pi\frac{(k+lK)n}{KL}}

X[k+lK]X[k+lK]Y[k+lK]Y[k+lK]用DZT表示:

X[k]=1Ln=0L1Zx[n,k]ej2πknKLX[k] = \frac{1}{\sqrt{L}} \sum_{n'=0}^{L-1} Z_x[n',k] e^{-j2\pi\frac{kn'}{KL}}

代入并整理,使用正交性关系:

l=0L1ej2πl(nnn)L=Lδ[(nnn)modL]\sum_{l=0}^{L-1} e^{j2\pi\frac{l(n'-n''-n)}{L}} = L\delta[(n'-n''-n) \bmod L]

最终得到所需结果。

附录D:DD域输入输出关系

从接收信号开始:

r(t)=p=0P1αps(tτp)ej2πνpt+w~(t)r(t) = \sum_{p=0}^{P-1} \alpha_p s(t-\tau_p) e^{j2\pi\nu_pt} + \tilde{w}(t)

经过匹配滤波:

y(t)=p=0P1αpn=0N+LCP1x[nLCP]p(τnTτp)ej2πνpτp(τt)dτ+w(t)y(t) = \sum_{p=0}^{P-1} \alpha_p \sum_{n=0}^{N+L_{CP}-1} x[n-L_{CP}] \int_{-\infty}^{\infty} p(\tau-nT-\tau_p) e^{j2\pi\nu_p\tau} p^*(\tau-t) d\tau + w(t)

假设脉冲带宽远大于最大多普勒频移,积分近似为:

p(τnTτp)ej2πνpτp(τt)dτej2πνp(nT+τp)h(tnTτp)\int_{-\infty}^{\infty} p(\tau-nT-\tau_p) e^{j2\pi\nu_p\tau} p^*(\tau-t) d\tau \approx e^{j2\pi\nu_p(nT+\tau_p)} h(t-nT-\tau_p)

其中h(t)h(t)是奈奎斯特脉冲。

采样后,利用CP的循环性质,得到:

y[m]p=0P1αpn=0KL1x[n]ej2πkpnKLhp[(mn)modKL]+w[m]y[m] \approx \sum_{p=0}^{P-1} \alpha_p \sum_{n=0}^{KL-1} x[n] e^{j2\pi\frac{k_pn}{KL}} h_p[(m-n) \bmod KL] + w[m]

应用DZT,并使用调制和卷积性质,得到最终的DD域输入输出关系。

结论

本文提出的基于离散Zak变换的OTFS调制提供了一个统一的数学框架,用于理解和实现OTFS系统。通过DZT的视角,我们不仅简化了OTFS的分析,还揭示了系统参数选择的深层含义。特别是,我们展示了帧大小如何直接影响多普勒和时延分辨率,这为系统设计提供了重要指导。

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