6G时代的新型延迟多普勒通信范式:正交时频空间(OTFS)综述
Yuan W, Li S, Wei Z, et al. New delay Doppler communication paradigm in 6G era: A survey of orthogonal time frequency space (OTFS)[J]. China Communications, 2023, 20(6): 1-25.
第一章 引言与背景
1.1 从5G到6G的演进
随着第五代(5G)无线系统在全球范围内的标准化和商业化部署,无线通信技术已经进入了一个新的时代。5G系统通过大规模MIMO、毫米波通信和网络切片等关键技术,实现了增强型移动宽带(eMBB)、超可靠低延迟通信(URLLC)和大规模机器类通信(mMTC)三大应用场景。然而,面向2030年及以后的通信需求,5G系统仍存在一些根本性限制,特别是在覆盖范围和高移动性支持方面。
传统的地面无线通信受到覆盖和容量限制的阻碍,5G系统无法普遍支持高数据速率和可靠性,而这正是6G无线系统的主要目标之一。为了突破这些限制,空天地一体化网络(SAGIN)被确定为6G的关键使能技术。SAGIN通过整合卫星、高空平台、无人机和地面网络,能够实现真正的全球覆盖和无缝连接。
1.2 高移动性通信的挑战
在SAGIN架构下,各种高移动性应用场景成为常态。例如,在车对车(V2V)通信中,相对速度可达300公里/小时;在高速铁路(HSR)移动服务中,通信设备的速度可达500公里/小时;而在飞机上的移动通信(MCA)和低地球轨道(LEO)卫星通信中,用户设备的移动速度更高。这些场景带来的主要技术挑战是严重的多普勒扩展效应。
在毫米波频段,即使是较小的用户设备速度也会导致显著的多普勒频移。传统的正交频分复用(OFDM)技术虽然通过采用循环前缀(CP)可以有效克服多径效应引起的符号间干扰(ISI),但在双选择性信道中会失效。高多普勒频移会导致非常短的信道相干时间,破坏OFDM子载波之间的正交性,导致载波间干扰(ICI)。
1.3 OTFS的诞生与发展
正交时频空间(OTFS)技术最初由Hadani等人在2017年提出,作为高移动性无线应用的突破性解决方案。与在时频(TF)域调制数据的传统方法不同,OTFS在延迟-多普勒(DD)域调制信息。这一创新带来了多项显著优势:
多普勒和延迟弹性 :通过在DD域工作,OTFS自然地适应了信道的物理特性
降低的信令延迟 :得益于降低的循环前缀帧结构
更低的峰均功率比(PAPR) :相比OFDM显著降低
降低复杂度的实现 :利用DD域信道的稀疏性
第二章 延迟-多普勒域无线信道原理
2.1 信道的数学表征
无线信道在延迟-多普勒域的表征可以追溯到Bello在1963年的开创性工作。对于线性时变信道,其输入输出关系可以表示为:
y ( t ) = ∫ h ( τ , t ) x ( t − τ ) d τ y(t) = \int h(\tau, t)x(t-\tau)d\tau
y ( t ) = ∫ h ( τ , t ) x ( t − τ ) d τ
其中h ( τ , t ) h(\tau, t) h ( τ , t ) 是时变信道脉冲响应。通过傅里叶变换,我们可以得到不同的信道表示形式。
图2描述 :该图展示了时延域有效信道的三维可视化。横轴和纵轴分别表示时间(ms)和延迟(ms),垂直轴表示信道响应的幅度。可以观察到信道响应在时延域中呈现出多个峰值,这些峰值对应于不同的传播路径。信道响应的幅度随时间变化,反映了信道的时变特性。颜色从蓝色到青色的渐变表示响应强度的变化。
对于广义平稳非相关散射(WSSUS)信道,其散射函数S ( τ , ν ) S(\tau, \nu) S ( τ , ν ) 可以完全表征信道特性,其中τ \tau τ 表示延迟,ν \nu ν 表示多普勒频移。信道的延迟-多普勒表示具有以下重要性质:
S ( τ , ν ) = E [ ∣ h ( τ , ν ) ∣ 2 ] S(\tau, \nu) = E[|h(\tau, \nu)|^2]
S ( τ , ν ) = E [ ∣ h ( τ , ν ) ∣ 2 ]
其中h ( τ , ν ) h(\tau, \nu) h ( τ , ν ) 是延迟-多普勒扩展函数。
图3描述 :时频域有效信道的三维表示。图中显示了信道响应在时间和频率维度上的变化。可以看到多个尖锐的峰值分布在整个时频平面上,这些峰值代表了不同延迟和多普勒频移的路径分量。与DD域表示相比,时频域的信道响应显示出更复杂的时变特性,峰值位置随时间快速变化。
2.2 DD域信道的稳定性分析
DD域信道表示的一个关键优势是其时间稳定性。考虑一个具有P P P 条路径的多径信道,其DD域表示为:
h ( τ , ν ) = ∑ i = 1 P h i δ ( τ − τ i ) δ ( ν − ν i ) h(\tau, \nu) = \sum_{i=1}^{P} h_i \delta(\tau - \tau_i)\delta(\nu - \nu_i)
h ( τ , ν ) = i = 1 ∑ P h i δ ( τ − τ i ) δ ( ν − ν i )
其中h i h_i h i 、τ i \tau_i τ i 和ν i \nu_i ν i 分别表示第i i i 条路径的复增益、延迟和多普勒频移。这些参数与物理传播环境直接相关:
τ i = d i c , ν i = v i f c c \tau_i = \frac{d_i}{c}, \quad \nu_i = \frac{v_i f_c}{c}
τ i = c d i , ν i = c v i f c
其中d i d_i d i 是传播距离,v i v_i v i 是相对速度,f c f_c f c 是载波频率,c c c 是光速。
图4描述 :延迟多普勒域有效信道的三维可视化。这是OTFS系统的核心表示形式。图中清晰地显示了信道在DD域的稀疏特性,只有少数几个显著的峰值,每个峰值对应一条物理传播路径。横轴表示延迟(ms),纵轴表示多普勒频率(kHz),垂直轴表示信道增益。与时频域表示相比,DD域信道呈现出明显的稀疏性和稳定性,这正是OTFS技术的理论基础。紫色的峰值清晰地标识出每条路径的延迟和多普勒特征。
第三章 OTFS调制原理与系统模型
3.1 OTFS调制的数学框架
OTFS系统在一个大小为M × N M \times N M × N 的DD网格上传输数据,其中M M M 是延迟bins的数量,N N N 是多普勒bins的数量。设x [ k , l ] x[k,l] x [ k , l ] 表示在多普勒索引k k k 和延迟索引l l l 处放置的数据符号,OTFS调制过程可以描述为:
首先,通过逆辛有限傅里叶变换(ISFFT)将DD域信号转换为时频域:
X [ n , m ] = 1 M N ∑ k = 0 N − 1 ∑ l = 0 M − 1 x [ k , l ] e j 2 π ( n k N − m l M ) X[n,m] = \frac{1}{\sqrt{MN}} \sum_{k=0}^{N-1} \sum_{l=0}^{M-1} x[k,l] e^{j2\pi(\frac{nk}{N} - \frac{ml}{M})}
X [ n , m ] = M N 1 k = 0 ∑ N − 1 l = 0 ∑ M − 1 x [ k , l ] e j 2 π ( N n k − M m l )
然后,通过Heisenberg变换将时频域信号转换为时域:
s ( t ) = ∑ n = 0 N − 1 ∑ m = 0 M − 1 X [ n , m ] g t x ( t − n T ) e j 2 π m Δ f ( t − n T ) s(t) = \sum_{n=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{M-1} X[n,m] g_{tx}(t - nT) e^{j2\pi m\Delta f(t-nT)}
s ( t ) = n = 0 ∑ N − 1 m = 0 ∑ M − 1 X [ n , m ] g t x ( t − n T ) e j 2 π m Δ f ( t − n T )
其中g t x ( t ) g_{tx}(t) g t x ( t ) 是发射脉冲整形函数,T T T 是OTFS符号持续时间,Δ f \Delta f Δ f 是子载波间隔。
图5描述 :OTFS实现的两种架构对比。图5(a)展示了基于OFDM的两步转换方法,数据从DD域经过ISFFT转换到TF域,再通过多载波调制转换到时域,经过信道传输后,在接收端执行相反的操作。图5(b)展示了基于Zak变换的直接转换方法,通过Zak变换直接在DD域和时域之间转换,避免了中间的TF域处理,显著降低了实现复杂度。两种方法在功能上等效,但Zak变换方法在计算效率上具有优势。
3.2 信道输入输出关系
经过多径衰落信道传输后,接收信号可以表示为:
r ( t ) = ∫ ∫ h ( τ , ν ) s ( t − τ ) e j 2 π ν ( t − τ ) d τ d ν + w ( t ) r(t) = \int \int h(\tau, \nu) s(t-\tau) e^{j2\pi\nu(t-\tau)} d\tau d\nu + w(t)
r ( t ) = ∫ ∫ h ( τ , ν ) s ( t − τ ) e j 2 π ν ( t − τ ) d τ d ν + w ( t )
其中h ( τ , ν ) h(\tau, \nu) h ( τ , ν ) 是信道的延迟-多普勒响应,w ( t ) w(t) w ( t ) 是加性高斯白噪声。
在接收端,经过匹配滤波和采样后,DD域的输入输出关系可以简化为:
y [ k , l ] = ∑ k ′ = 0 N − 1 ∑ l ′ = 0 M − 1 h e f f [ k , l , k ′ , l ′ ] x [ k ′ , l ′ ] + w [ k , l ] y[k,l] = \sum_{k'=0}^{N-1} \sum_{l'=0}^{M-1} h_{eff}[k,l,k',l'] x[k',l'] + w[k,l]
y [ k , l ] = k ′ = 0 ∑ N − 1 l ′ = 0 ∑ M − 1 h e f f [ k , l , k ′ , l ′ ] x [ k ′ , l ′ ] + w [ k , l ]
其中h e f f h_{eff} h e f f 是有效信道矩阵,它具有特殊的结构特性。
3.3 有效信道矩阵的性质
对于理想的脉冲整形和整数延迟/多普勒的情况,有效信道矩阵具有独特的块循环结构:
H e f f = ∑ i = 1 P h i Π l i Δ k i \mathbf{H}_{eff} = \sum_{i=1}^{P} h_i \mathbf{\Pi}^{l_i} \mathbf{\Delta}^{k_i}
H e f f = i = 1 ∑ P h i Π l i Δ k i
其中Π \mathbf{\Pi} Π 是延迟移位矩阵,Δ \mathbf{\Delta} Δ 是多普勒移位矩阵,定义为:
[ Π ] i , j = δ ( i − j ) m o d M , [ Δ ] i , j = e j 2 π i j / N δ i , j [\mathbf{\Pi}]_{i,j} = \delta_{(i-j) \bmod M}, \quad [\mathbf{\Delta}]_{i,j} = e^{j2\pi ij/N} \delta_{i,j}
[ Π ] i , j = δ ( i − j ) m o d M , [ Δ ] i , j = e j 2 π i j / N δ i , j
这种结构使得每行和每列恰好有P P P 个非零元素,其中P P P 是可分辨路径的数量。
第四章 OTFS收发机设计
4.1 发射机预编码设计
4.1.1 脉冲整形设计
脉冲整形对OTFS系统性能有重要影响。理想脉冲应满足双正交性条件:
⟨ g t x ( t − n T ) e j 2 π m Δ f t , g r x ( t − n ′ T ) e j 2 π m ′ Δ f t ⟩ = δ n , n ′ δ m , m ′ \langle g_{tx}(t-nT)e^{j2\pi m\Delta f t}, g_{rx}(t-n'T)e^{j2\pi m'\Delta f t} \rangle = \delta_{n,n'}\delta_{m,m'}
⟨ g t x ( t − n T ) e j 2 π m Δ f t , g r x ( t − n ′ T ) e j 2 π m ′ Δ f t ⟩ = δ n , n ′ δ m , m ′
实际系统中常用的脉冲包括矩形脉冲、升余弦脉冲和根升余弦脉冲。对于矩形脉冲,其频域表达式为:
G r e c t ( f ) = T ⋅ sinc ( f T ) e − j π f T G_{rect}(f) = T \cdot \text{sinc}(fT) e^{-j\pi fT}
G r e c t ( f ) = T ⋅ sinc ( f T ) e − j π f T
4.1.2 功率分配优化
考虑信道状态信息(CSI)可用的情况,可以设计最优功率分配来最小化误码率。优化问题可以表述为:
min p [ k , l ] ∑ k , l Q ( 2 ∣ h [ k , l ] ∣ 2 p [ k , l ] N 0 ) \min_{p[k,l]} \sum_{k,l} Q\left(\sqrt{\frac{2|h[k,l]|^2 p[k,l]}{N_0}}\right)
p [ k , l ] min k , l ∑ Q ⎝ ⎛ N 0 2 ∣ h [ k , l ] ∣ 2 p [ k , l ] ⎠ ⎞
受限于总功率约束:
∑ k , l p [ k , l ] = P t o t a l \sum_{k,l} p[k,l] = P_{total}
k , l ∑ p [ k , l ] = P t o t a l
其中Q ( ⋅ ) Q(\cdot) Q ( ⋅ ) 是Q函数,N 0 N_0 N 0 是噪声功率谱密度。
4.2 信道估计算法
4.2.1 导频设计
在DD域中插入导频符号进行信道估计。一种有效的导频模式是在DD网格中放置单个脉冲导频,周围环绕保护区域:
x p [ k , l ] = { P p , ( k , l ) = ( k p , l p ) 0 , ( k , l ) ∈ Guard Region Data , otherwise x_p[k,l] = \begin{cases}
\sqrt{P_p}, & (k,l) = (k_p, l_p) \\
0, & (k,l) \in \text{Guard Region} \\
\text{Data}, & \text{otherwise}
\end{cases} x p [ k , l ] = ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ P p , 0 , Data , ( k , l ) = ( k p , l p ) ( k , l ) ∈ Guard Region otherwise
其中( k p , l p ) (k_p, l_p) ( k p , l p ) 是导频位置,P p P_p P p 是导频功率。
4.2.2 基于压缩感知的信道估计
利用DD域信道的稀疏性,信道估计问题可以表述为稀疏信号恢复问题:
min h ∥ y p − A h ∥ 2 2 + λ ∥ h ∥ 1 \min_{\mathbf{h}} \|\mathbf{y}_p - \mathbf{A}\mathbf{h}\|_2^2 + \lambda \|\mathbf{h}\|_1
h min ∥ y p − A h ∥ 2 2 + λ ∥ h ∥ 1
其中y p \mathbf{y}_p y p 是导频位置的接收信号,A \mathbf{A} A 是测量矩阵,λ \lambda λ 是正则化参数。
可以使用正交匹配追踪(OMP)算法或基于贝叶斯的稀疏学习算法求解此优化问题。
4.3 OTFS检测算法
4.3.1 消息传递算法(MPA)
MPA通过在因子图上迭代传递概率消息来检测OTFS符号。设μ x [ k , l ] → y [ k ′ , l ′ ] \mu_{x[k,l] \to y[k',l']} μ x [ k , l ] → y [ k ′ , l ′ ] 表示从变量节点x [ k , l ] x[k,l] x [ k , l ] 到观察节点y [ k ′ , l ′ ] y[k',l'] y [ k ′ , l ′ ] 的消息,μ y [ k ′ , l ′ ] → x [ k , l ] \mu_{y[k',l'] \to x[k,l]} μ y [ k ′ , l ′ ] → x [ k , l ] 表示反向消息。
消息更新规则为:
μ x [ k , l ] → y [ k ′ , l ′ ] ( i ) = P ( x [ k , l ] ) ∏ ( k ′ ′ , l ′ ′ ) ≠ ( k ′ , l ′ ) μ y [ k ′ ′ , l ′ ′ ] → x [ k , l ] ( i − 1 ) \mu_{x[k,l] \to y[k',l']}^{(i)} = P(x[k,l]) \prod_{(k'',l'') \neq (k',l')} \mu_{y[k'',l''] \to x[k,l]}^{(i-1)}
μ x [ k , l ] → y [ k ′ , l ′ ] ( i ) = P ( x [ k , l ] ) ( k ′ ′ , l ′ ′ ) = ( k ′ , l ′ ) ∏ μ y [ k ′ ′ , l ′ ′ ] → x [ k , l ] ( i − 1 )
μ y [ k ′ , l ′ ] → x [ k , l ] ( i ) ∝ exp ( − ∣ y [ k ′ , l ′ ] − ∑ ( k ′ ′ , l ′ ′ ) h e f f [ k ′ , l ′ , k ′ ′ , l ′ ′ ] x ^ [ k ′ ′ , l ′ ′ ] ∣ 2 N 0 ) \mu_{y[k',l'] \to x[k,l]}^{(i)} \propto \exp\left(-\frac{|y[k',l'] - \sum_{(k'',l'')} h_{eff}[k',l',k'',l''] \hat{x}[k'',l'']|^2}{N_0}\right)
μ y [ k ′ , l ′ ] → x [ k , l ] ( i ) ∝ exp ( − N 0 ∣ y [ k ′ , l ′ ] − ∑ ( k ′ ′ , l ′ ′ ) h e f f [ k ′ , l ′ , k ′ ′ , l ′ ′ ] x ^ [ k ′ ′ , l ′ ′ ] ∣ 2 )
其中x ^ [ k ′ ′ , l ′ ′ ] \hat{x}[k'',l''] x ^ [ k ′ ′ , l ′ ′ ] 是基于当前消息的符号估计。
4.3.2 线性检测器
对于低复杂度实现,可以使用线性检测器。MMSE检测器的解为:
x ^ = ( H e f f H H e f f + σ w 2 I ) − 1 H e f f H y \hat{\mathbf{x}} = (\mathbf{H}_{eff}^H \mathbf{H}_{eff} + \sigma_w^2 \mathbf{I})^{-1} \mathbf{H}_{eff}^H \mathbf{y}
x ^ = ( H e f f H H e f f + σ w 2 I ) − 1 H e f f H y
利用H e f f \mathbf{H}_{eff} H e f f 的块循环结构,矩阵求逆可以通过快速傅里叶变换(FFT)高效实现,复杂度从O ( M 3 N 3 ) O(M^3N^3) O ( M 3 N 3 ) 降低到O ( M N log ( M N ) ) O(MN\log(MN)) O ( M N log ( M N ) ) 。
第五章 OTFS使能的感知通信一体化
5.1 ISAC系统模型
在OTFS-ISAC系统中,同一信号同时用于通信和感知。对于感知功能,接收到的回波信号可以表示为:
y r a d a r ( t ) = ∑ i = 1 L α i s ( t − τ i ) e j 2 π ν i t + w ( t ) y_{radar}(t) = \sum_{i=1}^{L} \alpha_i s(t - \tau_i) e^{j2\pi\nu_i t} + w(t)
y r a d a r ( t ) = i = 1 ∑ L α i s ( t − τ i ) e j 2 π ν i t + w ( t )
其中L L L 是目标数量,α i \alpha_i α i 、τ i \tau_i τ i 和ν i \nu_i ν i 分别是第i i i 个目标的反射系数、延迟和多普勒频移。
目标参数与物理量的关系为:
R i = c τ i 2 , v i = c ν i 2 f c R_i = \frac{c\tau_i}{2}, \quad v_i = \frac{c\nu_i}{2f_c}
R i = 2 c τ i , v i = 2 f c c ν i
其中R i R_i R i 是目标距离,v i v_i v i 是径向速度。
5.2 联合信号设计
ISAC系统的信号设计需要在通信和感知性能之间取得平衡。优化问题可以表述为:
max x α C ( x ) + ( 1 − α ) S ( x ) \max_{\mathbf{x}} \alpha C(\mathbf{x}) + (1-\alpha) S(\mathbf{x})
x max α C ( x ) + ( 1 − α ) S ( x )
其中C ( x ) C(\mathbf{x}) C ( x ) 是通信容量,S ( x ) S(\mathbf{x}) S ( x ) 是感知性能指标(如参数估计的克拉美罗下界),α ∈ [ 0 , 1 ] \alpha \in [0,1] α ∈ [ 0 , 1 ] 是权重因子。
对于OTFS-ISAC,通信容量可以表示为:
C ( x ) = log 2 det ( I + 1 σ w 2 H e f f diag ( x ) H e f f H ) C(\mathbf{x}) = \log_2 \det\left(\mathbf{I} + \frac{1}{\sigma_w^2}\mathbf{H}_{eff}\text{diag}(\mathbf{x})\mathbf{H}_{eff}^H\right)
C ( x ) = log 2 det ( I + σ w 2 1 H e f f diag ( x ) H e f f H )
感知性能的克拉美罗下界(CRLB)为:
CRLB ( θ ) = [ J − 1 ] θ , θ \text{CRLB}(\theta) = [\mathbf{J}^{-1}]_{\theta,\theta}
CRLB ( θ ) = [ J − 1 ] θ , θ
其中J \mathbf{J} J 是费舍尔信息矩阵,θ \theta θ 是待估计的参数(延迟或多普勒)。
第六章 新兴应用与未来展望
6.1 可见光通信中的OTFS
在可见光通信系统中,OTFS调制需要考虑LED的非线性特性和正实数约束。DC偏置光OTFS(DCO-OTFS)系统的信号模型为:
s V L C ( t ) = s D C + Re { s O T F S ( t ) } s_{VLC}(t) = s_{DC} + \text{Re}\{s_{OTFS}(t)\}
s V L C ( t ) = s D C + Re { s O T F S ( t ) }
其中s D C s_{DC} s D C 是直流偏置,确保信号始终为正。
VLC信道的DD域表示通常是稀疏的,主要包含直射路径和少量反射路径:
h V L C ( τ , ν ) = h 0 δ ( τ ) δ ( ν ) + ∑ i = 1 L h i δ ( τ − τ i ) δ ( ν ) h_{VLC}(\tau, \nu) = h_0\delta(\tau)\delta(\nu) + \sum_{i=1}^{L} h_i\delta(\tau - \tau_i)\delta(\nu)
h V L C ( τ , ν ) = h 0 δ ( τ ) δ ( ν ) + i = 1 ∑ L h i δ ( τ − τ i ) δ ( ν )
注意VLC信道通常是准静态的,因此多普勒分量为零。
6.2 水声通信中的OTFS
水声信道具有独特的传播特性,声速约为1500 m/s,远低于电磁波。这导致严重的延迟扩展(可达数百毫秒)和多普勒扩展。水声OTFS系统的信道模型为:
h U W A ( τ , ν ; t ) = ∑ p A p ( t ) δ ( τ − τ p ( t ) ) δ ( ν − ν p ( t ) ) h_{UWA}(\tau, \nu; t) = \sum_{p} A_p(t) \delta(\tau - \tau_p(t)) \delta(\nu - \nu_p(t))
h U W A ( τ , ν ; t ) = p ∑ A p ( t ) δ ( τ − τ p ( t ) ) δ ( ν − ν p ( t ) )
其中时变特性由海面波动和水流引起。
6.3 卫星通信中的OTFS
LEO卫星通信面临极高的多普勒频移,可达数百kHz。对于工作在Ka频段(30 GHz)的LEO卫星,相对速度7.5 km/s产生的最大多普勒频移为:
ν m a x = 2 v r e l f c c = 2 × 7500 × 30 × 1 0 9 3 × 1 0 8 = 1.5 MHz \nu_{max} = \frac{2v_{rel}f_c}{c} = \frac{2 \times 7500 \times 30 \times 10^9}{3 \times 10^8} = 1.5 \text{ MHz}
ν m a x = c 2 v r e l f c = 3 × 1 0 8 2 × 7 5 0 0 × 3 0 × 1 0 9 = 1 . 5 MHz
OTFS通过在DD域直接处理这些大多普勒频移,避免了OFDM系统中的严重ICI问题。
附录A:OTFS调制
A.1 从连续时间到离散时间的OTFS系统模型
考虑连续时间OTFS系统,DD域符号x ( ν , τ ) x(\nu, \tau) x ( ν , τ ) 通过Zak变换转换为时域信号:
s ( t ) = ∫ 0 τ m a x ∫ − ν m a x ν m a x x ( ν , τ ) ϕ ( ν , τ ) e j 2 π ν t d ν d τ s(t) = \int_{0}^{\tau_{max}} \int_{-\nu_{max}}^{\nu_{max}} x(\nu, \tau) \phi(\nu, \tau) e^{j2\pi\nu t} d\nu d\tau
s ( t ) = ∫ 0 τ m a x ∫ − ν m a x ν m a x x ( ν , τ ) ϕ ( ν , τ ) e j 2 π ν t d ν d τ
其中ϕ ( ν , τ ) \phi(\nu, \tau) ϕ ( ν , τ ) 是DD域基函数。
对于离散实现,使用采样间隔T s = 1 / B T_s = 1/B T s = 1 / B (其中B B B 是带宽)和OTFS帧持续时间T f = N T s T_f = NT_s T f = N T s ,离散时间模型变为:
s [ n ] = 1 M N ∑ k = 0 N − 1 ∑ l = 0 M − 1 x [ k , l ] e j 2 π k n N e − j 2 π l ( n m o d M ) M s[n] = \frac{1}{\sqrt{MN}} \sum_{k=0}^{N-1} \sum_{l=0}^{M-1} x[k,l] e^{j2\pi\frac{kn}{N}} e^{-j2\pi\frac{l(n \bmod M)}{M}}
s [ n ] = M N 1 k = 0 ∑ N − 1 l = 0 ∑ M − 1 x [ k , l ] e j 2 π N k n e − j 2 π M l ( n m o d M )
A.2 有效信道矩阵的推导
考虑具有P P P 条路径的多径信道,第i i i 条路径的延迟为τ i = l i T s + ϵ i T s \tau_i = l_i T_s + \epsilon_i T_s τ i = l i T s + ϵ i T s ,多普勒频移为ν i = k i / ( N T s ) + κ i / ( N T s ) \nu_i = k_i/(NT_s) + \kappa_i/(NT_s) ν i = k i / ( N T s ) + κ i / ( N T s ) ,其中l i l_i l i 和k i k_i k i 是整数部分,ϵ i \epsilon_i ϵ i 和κ i \kappa_i κ i 是分数部分。
对于矩形脉冲,有效信道矩阵元素为:
h e f f [ k , l , k ′ , l ′ ] = ∑ i = 1 P h i sin ( π ( l − l ′ − l i − ϵ i ) ) π ( l − l ′ − l i − ϵ i ) ⋅ sin ( π ( k − k ′ − k i − κ i ) ) sin ( π ( k − k ′ − k i − κ i ) / N ) h_{eff}[k,l,k',l'] = \sum_{i=1}^{P} h_i \frac{\sin(\pi(l-l'-l_i-\epsilon_i))}{\pi(l-l'-l_i-\epsilon_i)} \cdot \frac{\sin(\pi(k-k'-k_i-\kappa_i))}{\sin(\pi(k-k'-k_i-\kappa_i)/N)}
h e f f [ k , l , k ′ , l ′ ] = i = 1 ∑ P h i π ( l − l ′ − l i − ϵ i ) sin ( π ( l − l ′ − l i − ϵ i ) ) ⋅ sin ( π ( k − k ′ − k i − κ i ) / N ) sin ( π ( k − k ′ − k i − κ i ) )
当ϵ i = κ i = 0 \epsilon_i = \kappa_i = 0 ϵ i = κ i = 0 (整数延迟和多普勒)时,简化为:
h e f f [ k , l , k ′ , l ′ ] = ∑ i = 1 P h i δ ( l − l ′ ) m o d M , l i ⋅ e j 2 π k i k ′ / N δ ( k − k ′ ) m o d N , k i h_{eff}[k,l,k',l'] = \sum_{i=1}^{P} h_i \delta_{(l-l') \bmod M, l_i} \cdot e^{j2\pi k_i k'/N} \delta_{(k-k') \bmod N, k_i}
h e f f [ k , l , k ′ , l ′ ] = i = 1 ∑ P h i δ ( l − l ′ ) m o d M , l i ⋅ e j 2 π k i k ′ / N δ ( k − k ′ ) m o d N , k i
A.3 分集阶数分析
OTFS的成对错误概率(PEP)可以表示为:
P ( x → x ^ ) ≤ ∏ i = 1 r 1 1 + λ i SNR 4 P(\mathbf{x} \to \hat{\mathbf{x}}) \leq \prod_{i=1}^{r} \frac{1}{1 + \frac{\lambda_i \text{SNR}}{4}}
P ( x → x ^ ) ≤ i = 1 ∏ r 1 + 4 λ i SNR 1
其中r r r 是差分矩阵H e f f ( X − X ^ ) H e f f H \mathbf{H}_{eff}(\mathbf{X} - \hat{\mathbf{X}})\mathbf{H}_{eff}^H H e f f ( X − X ^ ) H e f f H 的秩,λ i \lambda_i λ i 是其非零特征值。
对于全分集,需要r = M N r = MN r = M N 。通过适当的相位旋转:
x [ k , l ] = x ~ [ k , l ] e j θ k , l x[k,l] = \tilde{x}[k,l] e^{j\theta_{k,l}}
x [ k , l ] = x ~ [ k , l ] e j θ k , l
其中θ k , l = 2 π α k l / M N \theta_{k,l} = 2\pi\alpha kl/\sqrt{MN} θ k , l = 2 π α k l / M N ,α \alpha α 是无理数(如2 \sqrt{2} 2 ),可以保证实现全分集。
A.4 PAPR分析
OTFS信号的峰值功率定义为:
P p e a k = max t ∣ s ( t ) ∣ 2 P_{peak} = \max_t |s(t)|^2
P p e a k = t max ∣ s ( t ) ∣ 2
平均功率为:
P a v g = 1 T f ∫ 0 T f ∣ s ( t ) ∣ 2 d t = 1 M N ∑ k , l ∣ x [ k , l ] ∣ 2 P_{avg} = \frac{1}{T_f} \int_0^{T_f} |s(t)|^2 dt = \frac{1}{MN} \sum_{k,l} |x[k,l]|^2
P a v g = T f 1 ∫ 0 T f ∣ s ( t ) ∣ 2 d t = M N 1 k , l ∑ ∣ x [ k , l ] ∣ 2
PAPR的累积分布函数(CDF)近似为:
F P A P R ( γ ) ≈ ( 1 − e − γ / γ ˉ ) M N F_{PAPR}(\gamma) \approx \left(1 - e^{-\gamma/\bar{\gamma}}\right)^{MN}
F P A P R ( γ ) ≈ ( 1 − e − γ / γ ˉ ) M N
其中γ ˉ \bar{\gamma} γ ˉ 是平均PAPR。对于大M N MN M N ,PAPR近似服从:
PAPR ≈ γ ˉ ln ( M N ) \text{PAPR} \approx \bar{\gamma} \ln(MN)
PAPR ≈ γ ˉ ln ( M N )
这表明OTFS的PAPR随DD网格大小对数增长,而OFDM的PAPR线性增长。
A.5 容量分析
在高信噪比条件下,OTFS系统的遍历容量可以近似为:
C = E [ log 2 det ( I + SNR M N H e f f H e f f H ) ] C = \mathbb{E}\left[\log_2 \det\left(\mathbf{I} + \frac{\text{SNR}}{MN}\mathbf{H}_{eff}\mathbf{H}_{eff}^H\right)\right]
C = E [ log 2 det ( I + M N SNR H e f f H e f f H ) ]
利用Jensen不等式和矩阵行列式的性质:
C ≥ M N log 2 ( 1 + SNR M N ⋅ 1 M N tr ( H e f f H e f f H ) ) C \geq MN \log_2\left(1 + \frac{\text{SNR}}{MN} \cdot \frac{1}{MN}\text{tr}(\mathbf{H}_{eff}\mathbf{H}_{eff}^H)\right)
C ≥ M N log 2 ( 1 + M N SNR ⋅ M N 1 tr ( H e f f H e f f H ) )
对于归一化信道(tr ( H e f f H e f f H ) = M N P \text{tr}(\mathbf{H}_{eff}\mathbf{H}_{eff}^H) = MNP tr ( H e f f H e f f H ) = M N P ),容量下界变为:
C ≥ M N log 2 ( 1 + P ⋅ SNR M N ) C \geq MN \log_2\left(1 + \frac{P \cdot \text{SNR}}{MN}\right)
C ≥ M N log 2 ( 1 + M N P ⋅ SNR )
这表明OTFS可以获得与路径数量P P P 成比例的功率增益,这是由于其固有的分集增益。
附录B:OTFS检测算法的复杂度分析
B.1 消息传递算法复杂度
标准MPA的每次迭代复杂度为O ( M N P ∣ Q ∣ ) O(MNP|Q|) O ( M N P ∣ Q ∣ ) ,其中∣ Q ∣ |Q| ∣ Q ∣ 是调制阶数。通过利用消息的稀疏性和高斯近似,复杂度可以降低到O ( M N P 2 ) O(MNP^2) O ( M N P 2 ) 。
B.2 线性检测器复杂度
直接MMSE检测需要O ( ( M N ) 3 ) O((MN)^3) O ( ( M N ) 3 ) 的复杂度用于矩阵求逆。利用块循环结构和FFT,复杂度降低到O ( M N log ( M N ) + P 3 M N ) O(MN\log(MN) + P^3MN) O ( M N log ( M N ) + P 3 M N ) 。
对于典型参数(M = 128 M=128 M = 1 2 8 ,N = 16 N=16 N = 1 6 ,P = 6 P=6 P = 6 ),这意味着从约8.6 × 1 0 9 8.6 \times 10^9 8 . 6 × 1 0 9 次运算降低到约1.1 × 1 0 6 1.1 \times 10^6 1 . 1 × 1 0 6 次运算,实现了三个数量级的复杂度降低。
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