OTFS调制技术：通往6G的时延-多普勒域革命

正交时频空间（OTFS，Orthogonal Time Frequency Space）调制技术代表了无线通信领域的一次范式转变。 这项创新技术将信息符号从传统的时频域搬迁到时延-多普勒域，为高速移动通信场景提供了全新的解决方案。在5G向6G演进的关键时期，OTFS以其独特的数学优雅性和卓越的抗多普勒性能，成为下一代移动通信的重要候选技术。

从雷达理论到通信革新：OTFS的诞生背景

OTFS的故事始于2010年，这一年美国德克萨斯大学奥斯汀分校的数学家Ronny Hadani与连续创业家Shlomo Rakib共同为一项革命性技术申请了专利。Hadani作为数学理论奠基人，将雷达信号处理中的时延-多普勒域概念创造性地引入到无线通信领域，开启了调制技术的新纪元。2011年，Cohere Technologies公司正式成立，开始将这项理论成果推向产业化。

这项技术的提出并非偶然，而是源于现有通信系统在高速移动场景下面临的严峻挑战。当前4G和5G系统广泛采用的OFDM（正交频分复用）技术，在静态或低速移动环境下表现出色，但一旦移动速度超过120公里每小时，多普勒效应就会像一把利刃，撕裂子载波之间精心维护的正交性。想象一辆高速行驶的列车，车内乘客试图通过手机观看高清视频，信号在反射、折射的过程中因相对运动产生频率偏移，不同路径的信号叠加后相互干扰，导致通信质量急剧下降。这种载波间干扰在高速场景下几乎无法避免，成为制约移动宽带发展的瓶颈。

OTFS的核心创新在于从根本上改变了看待无线信道的方式。传统技术在时频域观察信道，就像站在湍急的河流中试图捕捉水花的瞬间形态——信道特性随时间快速变化，需要不断测量和调整。而OTFS将视角切换到时延-多普勒域，相当于从河流的源头观察，每个散射体的延迟（距离）和多普勒频移（速度）成为稳定的物理参数。这种准静态特性使得信道估计的频率大幅降低，系统开销显著减少。

2016年8月，首篇OTFS学术论文在arXiv平台发表，系统阐述了这一技术的数学基础。2017年3月，IEEE无线通信与网络会议正式接纳了OTFS相关研究，标志着学术界对这一创新的认可。随后几年，全球研究热潮迅速兴起，澳大利亚Monash大学、印度IIT Delhi和IISc Bangalore等机构成为研究重镇，累计发表超过1500篇学术论文。2018年，Cohere与西班牙电信Telefonica的实测展示了令人振奋的成果：在90度扇区内实现了57比特每秒每赫兹的频谱效率，远超传统技术。

时延-多普勒域：重新定义无线信道

要理解OTFS的核心原理，我们需要从一个全新的视角审视无线信道。传统通信系统工作在时频域，将时间和频率作为两个正交维度来组织信息传输。OFDM技术就是这种思想的典型代表，它将宽带信道分割成多个窄带子信道，每个子信道在频率上正交，在时间上连续传输符号。然而，这种表示方法在高速移动场景下遇到了本质困难：时变信道导致时间和频率维度都在快速变化，系统难以跟踪这种双重动态特性。

时延-多普勒域提供了一种更加本质的信道描述方式。在这个域中，横轴代表时延$\tau$，反映信号传播的距离和多径延迟；纵轴代表多普勒频移$\nu$，反映散射体的相对运动速度。无线环境中的每个反射体，无论是建筑物、车辆还是行人，都可以在这个二维平面上用一个点来表示，其坐标由物理距离和相对速度唯一确定。更重要的是，只要这些反射体保持匀速直线运动，它们在时延-多普勒平面上的位置就基本保持不变，即使在时频域看来信道正在剧烈波动。

这种表示的数学基础源于准周期性条件，一个定义在时延-多普勒域上的信号$x(\tau,\nu)$满足特殊的周期性关系：

$$x(\tau + \tau_p, \nu + \nu_p) = e^{j2\pi(\nu_p\tau - \tau_p\nu)} \cdot x(\tau, \nu)$$

这里$\tau_p$和$\nu_p$分别是时延周期和多普勒周期，它们的乘积必须等于1，这一约束条件体现了时延和多普勒之间的对偶关系，类似于时域和频域的傅里叶对偶。这个看似抽象的数学表达式，实际上描述了OTFS信号在二维空间中的拓扑结构——它不是简单的周期延拓，而是带有相位扭曲的准周期函数，这种扭曲正是OTFS能够保持正交性和抗干扰能力的关键。

在实际系统中，时延-多普勒域被离散化为一个$N \times M$的网格，其中$N$是时延方向的采样点数，$M$是多普勒方向的采样点数。时延网格间隔$\Delta\tau$等于时延周期除以$N$，多普勒网格间隔$\Delta\nu$等于多普勒周期除以$M$。这个网格的物理意义非常直观：$\Delta\tau$决定了系统能够分辨的最小距离差异，$\Delta\nu$决定了能够分辨的最小速度差异。对于高速铁路通信，可能需要更密集的多普勒采样来捕捉快速变化的速度信息；对于室内短距通信，则需要更精细的时延分辨率来区分多径分量。

时延-多普勒域的稀疏性是OTFS的另一个重要优势。在真实的无线环境中，散射体数量虽然看起来很多，但能够显著影响信号传播的主要路径通常只有几条到十几条。这意味着在$N \times M$的时延-多普勒网格中，绝大多数点的信道增益接近零，只有少数几个点对应实际的传播路径。这种稀疏特性为高效的信道估计提供了可能——我们不需要估计成千上万个信道系数，只需要找到并估计那些非零的关键位置，计算复杂度和导频开销都得到大幅降低。

数学核心：辛傅里叶变换与Zak变换

OTFS的数学美感体现在其精心设计的变换链条中，这条链条将时延-多普勒域、时频域和时域三个空间巧妙地连接起来。整个发射过程可以想象成一个三级火箭：信息符号首先在时延-多普勒域编码，然后通过辛傅里叶变换进入时频域，最后通过Heisenberg变换转换为可以在天线上发射的时域波形。接收端则执行相反的过程，层层剥离，最终在时延-多普勒域恢复出原始信息。

辛傅里叶变换（Symplectic Fourier Transform，简称SFFT）是OTFS的核心变换，它的名字源于辛几何中的辛形式概念。从$N \times M$的时延-多普勒网格$x[n,m]$到$M \times N$的时频网格$X[m',n']$的变换公式为：

$$X[m', n'] = \frac{1}{\sqrt{NM}} \sum_{n=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{M-1} x[n,m] \cdot e^{j2\pi\left(\frac{m'n}{N} - \frac{n'm}{M}\right)}$$

这个公式的精妙之处在于指数项中的交叉耦合：$\frac{m'n}{N} - \frac{n'm}{M}$。与标准的二维傅里叶变换不同，这里时延索引$n$与多普勒频率索引$m'$耦合，而多普勒索引$m$与时频时间索引$n'$反向耦合。这种"扭曲"的耦合关系正是"辛"一词的由来，它保证了变换的可逆性和正交性，同时将时延-多普勒域的准静态信道映射为时频域的特殊结构。

从实现角度看，SFFT可以分解为两个标准的傅里叶变换，这一分解极大简化了硬件实现。具体步骤是：首先对时延-多普勒矩阵的每一列进行$N$点FFT，得到时间维度的频谱；然后对结果矩阵的每一行进行$M$点IFFT，得到多普勒维度的时域表示。这种列FFT + 行IFFT的组合，计算复杂度仅为$O(NM \cdot \log(NM))$，与单独的二维FFT相当，但实现了从时延到频率、从多普勒到时间的精确转换。

逆辛傅里叶变换ISFFT则执行相反的操作，将时频域信号$X[m',n']$转换回时延-多普勒域信号$x[n,m]$：

$$x[n,m] = \frac{1}{\sqrt{NM}} \sum_{m'=0}^{M-1} \sum_{n'=0}^{N-1} X[m',n'] \cdot e^{-j2\pi\left(\frac{m'n}{N} - \frac{n'm}{M}\right)}$$

这个变换在发射端使用，它将时频域的符号映射回时延-多普勒域。实现方式是先对时延轴进行$N$点IDFT转换到时间维度，再对多普勒轴进行$M$点DFT转换到频率维度，恰好是SFFT的逆过程。

Zak变换是连接时域连续信号与时延-多普勒域的桥梁，它的数学形式源于固体物理学家Josef Zak在1967年研究晶格系统时提出的表示方法。时域到时延-多普勒域的Zak变换定义为：

$$Z_t\{s(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} s(t) \cdot e^{-j2\pi\nu\tau} d\nu$$

这个积分沿着多普勒维度进行，将时域函数$s(t)$投影到时延-多普勒平面上。Zak变换的一个深刻性质是它能够将傅里叶变换分解为两步：先进行时域Zak变换得到时延-多普勒域表示，再进行频域逆Zak变换得到频域表示。这种分解揭示了FFT算法（Cooley-Tukey算法）的几何本质，也是OTFS能够与现有OFDM系统兼容的数学根源。

Heisenberg变换将时频网格转换为连续时域信号，它实际上就是OFDM调制的数学表达：

$$s(t) = \sum_{m'=0}^{M-1} \sum_{n'=0}^{N-1} X[m',n'] \cdot g_{tx}(t - n'T) \cdot e^{j2\pi m'\Delta f \cdot t}$$

这里$g_{tx}(t)$是发射脉冲成形滤波器，$T$是符号周期，$\Delta f$是子载波间隔。每个时频网格点对应一个时移频移的脉冲，所有脉冲线性叠加形成最终的发射波形。接收端使用Wigner变换执行逆操作，它通过匹配滤波和频率解调将时域接收信号$r(t)$转换回时频网格：

$$Y[m',n'] = \int_{t=(n'-1)T}^{n'T} r(t) \cdot g_{rx}^*(t - n'T) \cdot e^{-j2\pi m'\Delta f \cdot t} dt$$

这个积分在一个符号周期内进行，提取出特定时间和频率位置的信号分量。Wigner变换也是量子力学中相空间表示的经典工具，在OTFS中它起到了时频分析器的作用。

信道模型：扭曲卷积与准静态特性

OTFS之所以能在高速移动场景下大放异彩，关键在于它对信道的独特建模方式。在时延-多普勒域，时变多径信道可以表示为离散脉冲的叠加：

$$h(\tau,\nu) = \sum_{i=1}^{P} h_i \cdot \delta(\tau - \tau_i) \cdot \delta(\nu - \nu_i)$$

这里$P$是多径数量，$h_i$是第$i$条路径的复增益（包含幅度和相位信息），$\tau_i$和$\nu_i$分别是该路径的时延和多普勒频移。这个表达式的物理意义非常清晰：每条传播路径在时延-多普勒平面上对应一个冲激，其位置由距离和速度决定，强度由路径损耗和阴影衰落决定。与时频域信道的密集卷积形式相比，这种稀疏表示更加紧凑和稳定。

时延-多普勒域的输入输出关系遵循一种特殊的运算规则，称为扭曲卷积（Twisted Convolution）：

$$y[k,l] = \sum_{k'=0}^{N-1} \sum_{l'=0}^{M-1} h[k',l'] \cdot x[(k-k') \bmod N, (l-l') \bmod M] \cdot e^{j2\pi k'(l-l')/M} + w[k,l]$$

这个公式乍看之下与普通的二维循环卷积类似，输出$y[k,l]$是输入$x$和信道$h$的加权叠加，但关键差异在于相位因子$e^{j2\pi k'(l-l')/M}$。这个扭曲项来源于时延算子和多普勒算子的非交换性——在量子力学语言中，它们不对易，满足海森堡不确定性关系。正是这种扭曲，使得OTFS能够将频率选择性衰落和时间选择性衰落统一处理，每个信息符号都经历几乎相同的有效信道增益，实现了完全的时频分集。

将扭曲卷积改写成矩阵形式，可以得到：

$$\mathbf{y}_{vec} = \mathbf{H}_{DD} \cdot \mathbf{x}_{vec} + \mathbf{w}_{vec}$$

这里$\mathbf{y}_{vec}$和$\mathbf{x}_{vec}$是将二维网格按列堆叠得到的$MN \times 1$向量，$\mathbf{H}_{DD}$是$MN \times MN$的信道矩阵。这个矩阵具有特殊的块循环结构，可以分解为：

$$\mathbf{H}_{DD} = \sum_{i=1}^{P} h_i \cdot \boldsymbol{\Pi}^{\tau_i} \cdot \boldsymbol{\Delta}^{\nu_i}$$

其中$\boldsymbol{\Pi}$是时延算子对应的循环移位矩阵，$\boldsymbol{\Delta}$是多普勒算子对应的相位调制矩阵。这种结构表明，时延-多普勒域的信道矩阵本质上是几个简单矩阵的加权和，每个矩阵对应一条物理路径。利用这种结构可以设计高效的均衡算法，避免直接对$MN \times MN$矩阵求逆带来的$O((MN)^3)$复杂度。在理想情况下，时延-多普勒域的信道在整个OTFS帧持续时间内保持不变，这意味着只需要在帧的开始进行一次信道估计，所有符号都可以使用相同的信道信息进行均衡。数学上，这体现为信道增益对所有符号位置$(k,l)$保持近似恒定：

$$|h_{eff}[k,l]| \approx \text{constant}$$

这与OFDM形成鲜明对比——在OFDM中，不同子载波经历不同的衰落，不同时刻的符号经历不同的瞬时信道，需要大量导频持续跟踪信道变化。OTFS的准静态特性使得导频开销从OFDM的7-10%降低到3-5%，频谱效率显著提升。

OTFS与OFDM：两代技术的巅峰对决

要真正理解OTFS的价值，最直接的方式是将它与统治移动通信近20年的OFDM技术进行全面对比。OFDM的成功源于其对频率选择性衰落的优雅解决方案：通过将宽带信道分割成多个窄带子信道，每个子信道近似为平坦衰落，可以使用简单的单抽头均衡器进行补偿。这种设计在固定或低速移动场景下效率极高，实现复杂度低，正是4G LTE和5G NR选择它作为物理层基础的原因。

当移动速度超过120公里每小时，多普勒频移开始显著破坏子载波间的正交性，来自其他子载波的信号泄漏到当前子载波，形成载波间干扰ICI。这种干扰无法通过单抽头均衡器消除，因为它本质上是多个频率分量的混叠。即使采用复杂的多抽头均衡或干扰消除算法，性能改善也非常有限，且计算复杂度急剧上升。

在一个典型的高速移动实验中，载频5 GHz、速度范围从-280 km/h到+467 km/h、信噪比40 dB的条件下，OFDM系统使用单抽头频域均衡器后的误码率为$1.693 \times 10^{-2}$，这意味着平均每传输100个比特就有超过1个错误，对于需要可靠传输的应用场景完全无法接受。而OTFS系统使用时域LMMSE均衡器后的误码率为零——在同样的信道条件下实现了完美的符号检测。这个对比不仅仅是量化的性能差距，更是质的区别：OFDM已经失去了作为调制技术的基本功能，而OTFS依然稳健运行。

从信道估计的角度看，OFDM需要在每个符号或每几个符号插入导频，因为时变信道导致相干时间极短。在高速场景下，信道相干时间可能只有几毫秒，对应几个OFDM符号周期，这意味着导频密度必须相应增加才能准确跟踪信道变化。假设每10个符号需要1个导频符号，导频开销就达到10%，严重侵蚀有效吞吐量。相比之下，OTFS利用时延-多普勒域的准静态特性，可以在一个帧周期（通常包含几十到上百个符号）内只进行一次信道估计，导频开销降低到3-5%，在高移动场景下的频谱效率优势达到20-30%。

均衡复杂度的对比则呈现出有趣的权衡关系。OFDM的单抽头均衡器是最简单的线性均衡器，每个子载波只需要一次复数除法，总复杂度为$O(MN)$。但正如前面指出的，这种低复杂度以牺牲高速场景下的性能为代价。OTFS需要更复杂的时域均衡，直接矩阵求逆的MMSE均衡器复杂度为$O((MN)^3)$，这在实际系统中难以接受。幸运的是，利用时延-多普勒信道的块循环结构和稀疏性，可以设计出复杂度为$O((MN)^2)$甚至$O(MN \log(MN))$的快速算法，这个开销对于高速移动场景带来的巨大性能提升来说是值得的。

峰均功率比PAPR是另一个重要的比较维度。OFDM的高PAPR问题由来已久，多个子载波信号叠加时偶尔会形成很高的瞬时峰值，要求功率放大器工作在远离饱和区的线性区域，降低了功率效率。OTFS作为多载波技术同样面临PAPR挑战，但实验数据显示，当多普勒维度采样点数$M$等于时延维度采样点数$N$时（如$M=N=256$），OTFS的PAPR比OFDM低约0.5-1.3 dB。这个优势源于OTFS符号在时延-多普勒域的扩散效应——信息符号经过ISFFT后分散到整个时频网格，避免了某些时频位置的能量过度集中。当然，如果$M$和$N$差异较大，这个优势会减弱甚至逆转，需要根据具体应用场景选择合适的参数配置。

从系统设计哲学的角度看，OFDM和OTFS代表了两种不同的思路。OFDM采用"分而治之"策略，将复杂的宽带时变信道分解为多个简单的窄带平坦信道，逐个处理。这种策略在信道时变较慢时非常高效，但当时变速度超过设计假设时就会失效。OTFS采用"变换域优化"策略，通过精心设计的坐标变换将不利的信道特性转化为有利的信道特性，将时变问题转化为时不变问题。这种策略的代价是需要更复杂的变换和均衡操作，但收益是在极端条件下仍能保持鲁棒性。

附录：OTFS数学推导

A. 辛傅里叶变换的推导

辛傅里叶变换的数学基础源于辛几何中的Weyl-Heisenberg群表示理论。我们从定义时延算子$\mathcal{T}_\tau$和多普勒算子$\mathcal{M}_\nu$开始：

$$\mathcal{T}_\tau s(t) = s(t - \tau)$$

$$\mathcal{M}_\nu s(t) = e^{j2\pi\nu t} s(t)$$

这两个算子满足非对易关系（Weyl交换关系）：

$$\mathcal{M}_\nu \mathcal{T}_\tau = e^{j2\pi\nu\tau} \mathcal{T}_\tau \mathcal{M}_\nu$$

定义位移算子：

$$\mathcal{D}(\tau, \nu) = e^{-j\pi\nu\tau} \mathcal{M}_\nu \mathcal{T}_\tau$$

位移算子作用在基函数$g(t)$上生成时频移位的基函数族：

$$g_{m,n}(t) = \mathcal{D}(nT, m\Delta f) g(t) = e^{-j\pi m n T\Delta f} e^{j2\pi m\Delta f t} g(t - nT)$$

其中$T$是时间采样间隔，$\Delta f$是频率采样间隔。关键的约束条件是$T \cdot \Delta f = 1/MN$，这保证了基函数族的正交完备性。

考虑离散时延-多普勒域信号$x[n,m]$，其中$n \in \{0,1,...,N-1\}$表示时延索引，$m \in \{0,1,...,M-1\}$表示多普勒索引。辛傅里叶变换定义为：

$$X[m',n'] = \sum_{n=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{M-1} x[n,m] \cdot K_{SFFT}[n,m;m',n']$$

其中核函数：

$$K_{SFFT}[n,m;m',n'] = \frac{1}{\sqrt{NM}} e^{j2\pi\left(\frac{m'n}{N} - \frac{n'm}{M}\right)}$$

为了证明这是一个酉变换，我们验证正交性条件：

$$\sum_{n=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{M-1} K_{SFFT}^*[n,m;m_1',n_1'] \cdot K_{SFFT}[n,m;m_2',n_2']$$

$$= \frac{1}{NM} \sum_{n=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{M-1} e^{j2\pi\left[\frac{(m_2'-m_1')n}{N} - \frac{(n_2'-n_1')m}{M}\right]}$$

利用几何级数求和公式：

$$\sum_{n=0}^{N-1} e^{j2\pi(m_2'-m_1')n/N} = \begin{cases} N, & \text{if } m_2' = m_1' \bmod N \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$

类似地对$m$求和，最终得到：

$$\sum_{n,m} K_{SFFT}^*[n,m;m_1',n_1'] \cdot K_{SFFT}[n,m;m_2',n_2'] = \delta_{m_1',m_2'} \delta_{n_1',n_2'}$$

这证明了SFFT是酉变换，保证了能量守恒和可逆性。

B. 扭曲卷积的李代数结构

扭曲卷积的深层数学结构与李代数密切相关。定义时延-多普勒域的位移算子：

$$\Pi_{k_0,l_0} x[k,l] = x[(k-k_0) \bmod N, (l-l_0) \bmod M] \cdot e^{j2\pi k_0 l/M}$$

这个算子满足群运算规则：

$$\Pi_{k_1,l_1} \circ \Pi_{k_2,l_2} = e^{j2\pi(k_1 l_2 - k_2 l_1)/(2MN)} \Pi_{k_1+k_2, l_1+l_2}$$

相位因子$e^{j2\pi(k_1 l_2 - k_2 l_1)/(2MN)}$是辛形式$\omega((k_1,l_1), (k_2,l_2)) = k_1 l_2 - k_2 l_1$的指数映射。

定义无穷小生成元（李代数元素）：

$$\mathcal{L}_\tau = \frac{\partial}{\partial k}, \quad \mathcal{L}_\nu = \frac{\partial}{\partial l} + \frac{2\pi k}{M}$$

它们的对易子：

$$[\mathcal{L}_\tau, \mathcal{L}_\nu] = \mathcal{L}_\tau \mathcal{L}_\nu - \mathcal{L}_\nu \mathcal{L}_\tau = \frac{2\pi}{M}$$

这是海森堡代数的离散版本，反映了时延和多普勒的量子力学不确定性关系。

扭曲卷积可以表示为群卷积：

$$y = h \circledast x = \sum_{k',l'} h[k',l'] \cdot \Pi_{k',l'} x$$

展开得到：

$$y[k,l] = \sum_{k'=0}^{N-1} \sum_{l'=0}^{M-1} h[k',l'] \cdot x[(k-k') \bmod N, (l-l') \bmod M] \cdot e^{j2\pi k'(l-l')/M}$$

C. 时频域与时延-多普勒域的对偶关系

建立完整的对偶理论需要引入Wigner分布和模糊函数。Wigner分布定义为：

$$W_s(t,f) = \int_{-\infty}^{\infty} s\left(t + \frac{\tau}{2}\right) s^*\left(t - \frac{\tau}{2}\right) e^{-j2\pi f\tau} d\tau$$

模糊函数定义为：

$$A_s(\tau,\nu) = \int_{-\infty}^{\infty} s\left(t + \frac{\tau}{2}\right) s^*\left(t - \frac{\tau}{2}\right) e^{j2\pi\nu t} dt$$

关键的对偶关系是：

$$A_s(\tau,\nu) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} W_s(t,f) e^{-j2\pi(f\tau - t\nu)} dt df$$

这表明模糊函数是Wigner分布的辛傅里叶变换。在离散情况下：

$$A[k,l] = \text{SFFT}\{W[n',m']\}$$

其中$A[k,l]$是时延-多普勒域的模糊函数，$W[n',m']$是时频域的Wigner分布。

D. 信道矩阵的谱分解

时延-多普勒域信道矩阵$\mathbf{H}_{DD}$具有特殊的代数结构。定义基矩阵：

$$\mathbf{E}_{k,l} = \boldsymbol{\Pi}^k \boldsymbol{\Delta}^l$$

其中：

$$[\boldsymbol{\Pi}]_{i,j} = \delta_{(i-j) \bmod N, 1}$$

$$[\boldsymbol{\Delta}]_{i,j} = \delta_{i,j} e^{j2\pi i/M}$$

信道矩阵可以表示为：

$$\mathbf{H}_{DD} = \sum_{k=0}^{N-1} \sum_{l=0}^{M-1} h[k,l] \mathbf{E}_{k,l}$$

基矩阵满足：

$$\mathbf{E}_{k_1,l_1} \mathbf{E}_{k_2,l_2} = e^{j2\pi k_1 l_2/M} \mathbf{E}_{k_1+k_2, l_1+l_2}$$

利用这个关系，可以将信道矩阵对角化。定义变换矩阵：

$$\mathbf{U} = \mathbf{F}_M \otimes \mathbf{I}_N$$

其中$\mathbf{F}_M$是$M$点DFT矩阵，$\otimes$表示Kronecker积。在变换域中：

$$\tilde{\mathbf{H}} = \mathbf{U}^H \mathbf{H}_{DD} \mathbf{U}$$

当信道稀疏时，$\tilde{\mathbf{H}}$呈现块对角结构，每个块对应一个多普勒频率，这大大简化了均衡器设计。

E. MMSE均衡器的闭式解

考虑加性高斯白噪声信道，接收信号为：

$$\mathbf{y} = \mathbf{H}_{DD} \mathbf{x} + \mathbf{w}$$

其中$\mathbf{w} \sim \mathcal{CN}(0, \sigma_w^2 \mathbf{I})$。MMSE均衡器的目标是最小化均方误差：

$$\hat{\mathbf{x}}_{MMSE} = \arg\min_{\hat{\mathbf{x}}} E\{||\mathbf{x} - \hat{\mathbf{x}}||^2\}$$

利用正交性原理，MMSE估计满足：

$$E\{(\mathbf{x} - \hat{\mathbf{x}}_{MMSE}) \mathbf{y}^H\} = \mathbf{0}$$

假设$\mathbf{x} \sim \mathcal{CN}(0, \sigma_x^2 \mathbf{I})$，推导得到：

$$\hat{\mathbf{x}}_{MMSE} = \sigma_x^2 \mathbf{H}_{DD}^H (\sigma_x^2 \mathbf{H}_{DD} \mathbf{H}_{DD}^H + \sigma_w^2 \mathbf{I})^{-1} \mathbf{y}$$

定义信噪比$\gamma = \sigma_x^2/\sigma_w^2$，可以重写为：

$$\hat{\mathbf{x}}_{MMSE} = (\mathbf{H}_{DD}^H \mathbf{H}_{DD} + \gamma^{-1} \mathbf{I})^{-1} \mathbf{H}_{DD}^H \mathbf{y}$$

利用矩阵恒等式（Woodbury恒等式）：

$$(\mathbf{A} + \mathbf{B}\mathbf{C}\mathbf{D})^{-1} = \mathbf{A}^{-1} - \mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}(\mathbf{C}^{-1} + \mathbf{D}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B})^{-1}\mathbf{D}\mathbf{A}^{-1}$$

当信道矩阵具有低秩结构时（稀疏多径），可以显著降低求逆的计算复杂度。

F. 分数多普勒的处理

实际系统中，多普勒频移往往不是网格间隔的整数倍，产生分数多普勒效应。设真实多普勒频移为：

$$\nu_{true} = (l + \epsilon) \Delta\nu$$

其中$l$是整数部分，$|\epsilon| < 0.5$是分数部分。分数多普勒导致的泄漏可以用sinc函数描述：

$$h_{leaked}[k,l'] = h[k,l] \cdot \text{sinc}\left(\pi(l' - l - \epsilon)\right) \cdot e^{j\pi\epsilon(1 - \frac{l' - l}{M})}$$

为了补偿分数多普勒，可以采用过采样策略。定义过采样因子$Q$，新的多普勒分辨率为：

$$\Delta\nu' = \frac{\Delta\nu}{Q}$$

相应的时延-多普勒网格扩展为$N \times (QM)$。在过采样域中，分数部分减小为$|\epsilon'| < 1/(2Q)$，泄漏效应显著降低。

另一种方法是基于插值的迭代估计：

1. 初始估计：使用标准网格检测峰值位置$(k_0, l_0)$
2. 精细估计：在$(k_0, l_0)$周围进行二次插值

   $$\epsilon = \frac{|h[k_0, l_0-1]|^2 - |h[k_0, l_0+1]|^2}{2(|h[k_0, l_0-1]|^2 + |h[k_0, l_0+1]|^2 - 2|h[k_0, l_0]|^2)}$$

3. 相位补偿：对接收信号进行相位旋转

   $$y_{comp}[k,l] = y[k,l] \cdot e^{-j2\pi\epsilon k/N}$$

4. 迭代优化：重复步骤1-3直到收敛

G. 循环前缀的作用与消除

虽然OTFS不像OFDM那样显式使用循环前缀，但在实际系统中仍需要某种形式的保护间隔来对抗多径干扰。OTFS的保护机制通过在时延-多普勒域添加零保护带实现。

考虑时延扩展为$\tau_{max}$，多普勒扩展为$\nu_{max}$的信道。保护区域定义为：

$$\mathcal{G} = \{(k,l): k \in [0, k_{max}] \cup [N-k_{max}, N-1], l \in [0, l_{max}] \cup [M-l_{max}, M-1]\}$$

其中$k_{max} = \lceil \tau_{max}/\Delta\tau \rceil$，$l_{max} = \lceil \nu_{max}/\Delta\nu \rceil$。

在保护区域内不放置数据符号：

$$x[k,l] = 0, \quad \forall (k,l) \in \mathcal{G}$$

经过信道后，数据符号和保护符号之间的干扰被限制在保护区域内，不影响数据检测。这相当于在时域自动形成了循环结构，但开销更小，因为保护区域可以根据实际信道条件自适应调整。

H. 功率谱密度分析

OTFS信号的功率谱密度（PSD）是评估带外辐射和频谱效率的重要指标。时域OTFS信号可以表示为：

$$s(t) = \sum_{k=0}^{MN-1} d_k p(t - kT_s)$$

其中$d_k$是调制符号序列，$p(t)$是等效脉冲波形，$T_s$是符号间隔。

功率谱密度为：

$$S_s(f) = \frac{\sigma_d^2}{T_s} |P(f)|^2$$

其中$P(f)$是脉冲波形的傅里叶变换，$\sigma_d^2$是符号功率。

对于矩形脉冲：

$$p_{rect}(t) = \begin{cases} 1/\sqrt{T_s}, & 0 \leq t < T_s \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$

其频谱为：

$$P_{rect}(f) = \sqrt{T_s} \cdot \text{sinc}(\pi f T_s) \cdot e^{-j\pi f T_s}$$

功率谱密度呈现sinc平方形状，旁瓣衰减缓慢（-13 dB/octave）。

采用根升余弦（RRC）脉冲可以改善频谱特性：

$$P_{RRC}(f) = \begin{cases} \sqrt{T_s}, & |f| \leq \frac{1-\alpha}{2T_s} \\ \sqrt{\frac{T_s}{2}}\left[1 + \cos\left(\frac{\pi T_s}{\alpha}\left(|f| - \frac{1-\alpha}{2T_s}\right)\right)\right], & \frac{1-\alpha}{2T_s} < |f| \leq \frac{1+\alpha}{2T_s} \\ 0, & |f| > \frac{1+\alpha}{2T_s} \end{cases}$$

其中$\alpha$是滚降因子。RRC脉冲的旁瓣衰减更快，带外辐射显著降低。

I. 相位噪声的影响与补偿

振荡器相位噪声是实际系统中不可避免的损伤。相位噪声模型为：

$$\phi(t) = \int_0^t \omega(\tau) d\tau$$

其中$\omega(t)$是Wiener过程，功率谱密度为：

$$S_\omega(f) = \frac{2\pi \beta}{|f|^2}$$

$\beta$是3dB线宽。

接收信号受相位噪声影响：

$$r(t) = s(t) \cdot e^{j\phi(t)} + w(t)$$

在时延-多普勒域，相位噪声表现为多普勒维度的扩散：

$$y[k,l] = \sum_{l'} \Phi[l-l'] \cdot h[k,l'] \cdot x[k,l'] + w[k,l]$$

其中$\Phi[l]$是相位噪声的多普勒域表示。

补偿策略包括：

1. 公共相位误差（CPE）补偿：估计平均相位旋转

   $$\hat{\phi}_{CPE} = \arg\left\{\sum_{k,l} y^*[k,l] \cdot x[k,l]\right\}$$

2. 载波间干扰（ICI）消除：建立相位噪声矩阵模型，迭代消除干扰

   $$\hat{\mathbf{x}}^{(i+1)} = (\mathbf{H}_{eff}^{(i)})^{-1} \mathbf{y}$$

   其中$\mathbf{H}_{eff}^{(i)} = \boldsymbol{\Phi}^{(i)} \mathbf{H}_{DD}$

3. 基于卡尔曼滤波的跟踪：将相位噪声建模为状态空间模型

   $$\phi_{n+1} = \phi_n + \omega_n$$

   $$y_n = h_n e^{j\phi_n} x_n + w_n$$

   使用扩展卡尔曼滤波器（EKF）递推估计。

J. MIMO-OTFS系统模型

多天线OTFS系统可以进一步提升频谱效率和可靠性。考虑$N_t$发射天线、$N_r$接收天线的MIMO-OTFS系统。

时延-多普勒域MIMO信道模型：

$$\mathbf{Y}_{r} = \sum_{t=1}^{N_t} \mathbf{H}_{r,t} \circledast \mathbf{X}_t + \mathbf{W}_r$$

其中$\mathbf{Y}_r$是第$r$个接收天线的接收信号，$\mathbf{X}_t$是第$t$个发射天线的发送信号，$\mathbf{H}_{r,t}$是从天线$t$到天线$r$的信道矩阵。

向量化表示：

$$\mathbf{y} = \mathbf{H}_{MIMO} \mathbf{x} + \mathbf{w}$$

其中：

$$\mathbf{y} = \begin{bmatrix} \text{vec}(\mathbf{Y}_1) \\ \vdots \\ \text{vec}(\mathbf{Y}_{N_r}) \end{bmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} \text{vec}(\mathbf{X}_1) \\ \vdots \\ \text{vec}(\mathbf{X}_{N_t}) \end{bmatrix}$$

MIMO信道矩阵具有块结构：

$$\mathbf{H}_{MIMO} = \begin{bmatrix} \mathbf{H}_{1,1} & \cdots & \mathbf{H}_{1,N_t} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{H}_{N_r,1} & \cdots & \mathbf{H}_{N_r,N_t} \end{bmatrix}$$

空间复用增益：当$\text{rank}(\mathbf{H}_{MIMO}) = \min(N_t, N_r) \cdot MN$时，可以同时传输$\min(N_t, N_r)$个独立的数据流。

空间分集增益：通过空时编码，可以获得$N_t \times N_r$的分集阶数，显著降低误码率。

预编码设计：基于信道状态信息，设计预编码矩阵$\mathbf{P}$：

$$\mathbf{x} = \mathbf{P} \mathbf{s}$$

其中$\mathbf{s}$是信息符号向量。最优预编码基于奇异值分解（SVD）：

$$\mathbf{H}_{MIMO} = \mathbf{U} \boldsymbol{\Sigma} \mathbf{V}^H$$

选择$\mathbf{P} = \mathbf{V}$，接收端使用$\mathbf{U}^H$进行合并，将MIMO信道对角化为并行的SISO信道。