双选择性信道中的广义正交啁啾分复用

Liu Y, Zhao H, Yao H, et al. Generalized Orthogonal Chirp Division Multiplexing in Doubly Selective Channels[J]. IEEE Internet of Things Journal, 2024.

摘要

本文提出了一种新型的酉变换——广义离散Fresnel变换（GDFnT），并基于此变换提出了广义正交啁啾分复用（GOCDM）波形。在GOCDM中，来自星座图的数据符号被独立地放置在广义Fresnel（GF）域中。本文推导了GOCDM系统在时频双选择性信道下的GF域信道矩阵，并利用GF域信道矩阵的稀疏性设计了基于消息传递算法的迭代接收机。仿真结果表明，GOCDM在不损失误比特率（BER）性能的前提下，实现了比OCDM更好的峰均功率比（PAPR）性能。

1. 引言

在无线通信信道中，信号通过多径传播到达接收端。不同信道路径之间的时延差异（由时延扩展描述）会导致信号产生频率选择性衰落。此外，收发机之间的相对运动会在每条路径的信号副本中引入多普勒频移。由于不同路径的多普勒频移可能各不相同，这些变化通常用信道的多普勒扩展来表征。多普勒效应导致信号经历时间选择性衰落。因此，在高移动性无线信道中，信号会经历时频选择性衰落，通常称为双选择性（DS）衰落。

正交频分复用（OFDM）作为一种广泛应用的波形，由于其能够通过简单的单抽头均衡在频率选择性信道上实现频谱高效的通信，已被众多无线通信系统采用，包括无线局域网（WLAN）、3GPP LTE、5G等。然而，OFDM中子载波的正交性极易受到信道多普勒频移的破坏，导致载波间干扰（ICI）。ICI的存在大大增加了OFDM中信道估计和符号检测的开销，包括需要更多的导频和更高的计算复杂度。此外，OFDM信号还存在过高的峰均功率比（PAPR）问题。为了避免发射信号的非线性失真，功率放大器必须在更大的动态范围内工作，这对发射机的成本和能效都产生了负面影响。

对于功率和能效敏感的系统，离散傅里叶变换预编码OFDM（DFT-OFDM），也称为单载波（SC）块传输，由于其极低的PAPR成为了一种有吸引力的波形。例如，它已被LTE标准采纳为移动通信系统的上行传输技术。此外，由于DFT-OFDM中的每个数据符号将其能量分布在系统的整个频域上，即使在无编码传输的情况下也能有效利用信道的频率分集。

正交啁啾分复用（OCDM）最初是为光纤通信提出的新型波形。近年来，OCDM的研究已扩展到射频通信、水下声学通信和集成感知与通信系统。使用反离散Fresnel变换（IDFnT），OCDM将一组数据符号调制到相互正交的啁啾信号上，这些信号在时域上叠加。由于每个啁啾信号都经历了OCDM符号的整个持续时间和带宽，OCDM展现出强大的抗干扰能力（对抗窄带噪声或突发噪声），以及良好的信道时间分集和频率分集利用能力。

2. 广义离散Fresnel变换

给定一个长度为$MN$的复列向量$\mathbf{a}$，其中$M$和$N$是正整数，其参数为$(M,N)$的GDFnT变换为$\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{\Theta}_{M,N}\mathbf{a}$，GDFnT变换矩阵$\boldsymbol{\Theta}_{M,N}$定义为：

$$\boldsymbol{\Theta}_{M,N} = \boldsymbol{\Phi}_N \otimes \mathbf{I}_M$$

其中$\otimes$是Kronecker积运算符，$\boldsymbol{\Phi}_N$是传统的$N$维DFnT变换矩阵。当$N$为偶数时，$\boldsymbol{\Phi}_N$的第$(n,n')$个元素为：

$$[\boldsymbol{\Phi}_N]_{n,n'} = \frac{1}{\sqrt{N}}e^{-j\frac{\pi}{4}}e^{j\frac{\pi}{N}(n'-n)^2}$$

当$N$为奇数时，$[\boldsymbol{\Phi}_N]_{n,n'}$的值由下式给出：

$$[\boldsymbol{\Phi}_N]_{n,n'} = \frac{1}{\sqrt{N}}e^{-j\frac{\pi}{4}}e^{j\frac{\pi}{N}(n'-n+\frac{1}{2})^2}$$

根据Kronecker积的定义，$\boldsymbol{\Theta}_{M,N}$可以表示为分块矩阵形式：

$$\boldsymbol{\Theta}_{M,N} = \begin{bmatrix} [\boldsymbol{\Phi}_N]_{0,0}\mathbf{I}_M & [\boldsymbol{\Phi}_N]_{0,1}\mathbf{I}_M & \cdots & [\boldsymbol{\Phi}_N]_{0,N-1}\mathbf{I}_M \\ [\boldsymbol{\Phi}_N]_{1,0}\mathbf{I}_M & [\boldsymbol{\Phi}_N]_{1,1}\mathbf{I}_M & \cdots & [\boldsymbol{\Phi}_N]_{1,N-1}\mathbf{I}_M \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ [\boldsymbol{\Phi}_N]_{N-1,0}\mathbf{I}_M & [\boldsymbol{\Phi}_N]_{N-1,1}\mathbf{I}_M & \cdots & [\boldsymbol{\Phi}_N]_{N-1,N-1}\mathbf{I}_M \end{bmatrix}$$

此外，GDFnT是一个酉变换，即逆广义离散Fresnel变换（IGDFnT）矩阵$\boldsymbol{\Theta}_{M,N}^{-1} = \boldsymbol{\Theta}_{M,N}^H$。

3. 系统模型

3.1 GOCDM调制

图1描述：GOCDM发射机的框图展示了从数据比特到发射信号的完整处理流程。输入的数据比特首先通过$M$进制映射转换为数据符号，然后通过串并转换形成向量$\mathbf{x}$。该向量经过重塑操作变为矩阵形式，对每行进行$N$点IDFnT变换，再重新排列为向量$\mathbf{s}$。最后添加循环前缀（CP），经过数模转换和高频调制后发射。

GOCDM以块为单位传输数据符号。不失一般性，我们以一个信号块为例介绍GOCDM的原理。如图1所示，首先，总长度为$MN\log_2\mathcal{M}$的独立数据比特通过$\mathcal{M}$进制正交幅度调制（QAM）或相移键控（PSK）星座$\mathcal{X} = \{\alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_{\mathcal{M}-1}\}$映射成$MN$个独立的数据符号。设得到的数据符号序列记为$x_n, n = 0, 1, \ldots, MN-1$。通过串并转换器，符号序列转换为向量$\mathbf{x}$，其中$[\mathbf{x}]_n = x[n]$。然后，使用变换矩阵$\boldsymbol{\Theta}_{M,N}^H$的IGDFnT将$\mathbf{x}$变换为向量$\mathbf{s}$：

$$\mathbf{s} = \boldsymbol{\Theta}_{M,N}^H \mathbf{x}$$

接下来，通过串并转换器，信号向量$\mathbf{x}$转换为信号序列$s[n], n = 0, 1, \ldots, MN-1$，其中$s[n] = [\mathbf{s}]_n$。通过向序列$x[n]$添加长度为$G$的循环前缀，我们得到序列$\tilde{s}[n]$：

$$\tilde{s}[n] = \begin{cases} s[n], & 0 \leq n \leq MN-1 \\ s[n+MN], & -G \leq n < 0 \end{cases}$$

为了降低$\boldsymbol{\Theta}_{M,N}^H\mathbf{x}$所需的计算复杂度，我们利用图1所示的方法等效实现IGDFnT变换。具体步骤如下：

1. 将$\mathbf{x}$重塑为$M$行$N$列的矩阵$\mathbf{X}$，按列顺序读取$\mathbf{x}$的元素并写入矩阵
2. 对信号矩阵$\mathbf{X}$的每一行执行$N$点IDFnT变换，得到信号矩阵$\mathbf{S}$
3. 从矩阵$\mathbf{S}$按列提取元素并转换为列向量$\mathbf{s}$

值得注意的是，当$N$是2的幂时，$N$点IDFnT可以使用逆快速傅里叶变换（IFFT）低复杂度等效实现：

$$\boldsymbol{\Phi}_N^H = \boldsymbol{\Theta}_1^H\mathbf{F}_N^H\boldsymbol{\Theta}_2^H$$

其中$\mathbf{F}_N^H$是$N$点逆离散傅里叶变换（IDFT）的变换矩阵，$\boldsymbol{\Theta}_1$和$\boldsymbol{\Theta}_2$是由向量$\boldsymbol{\theta}_1$和$\boldsymbol{\theta}_2$生成的对角矩阵。

3.2 信道模型

图2描述：LTV信道模型展示了具有多条传播路径和多个多普勒频移的场景。发射机固定，接收机以速度$v$向发射机移动。环境中包含多个反射体，产生不同的传播路径，每条路径具有特定的衰减系数、时延和多普勒频移。

在许多无线通信应用中，发射机和接收机之间的相对运动导致信道即使在单个信号块的持续时间内也会发生显著变化。在这种情况下，信道应建模为线性时变（LTV）系统。如图2所示，接收机以速度$v$向静止发射机移动。传播环境包括多个反射体。使用射线追踪技术，接收信号可以建模为来自不同路径的发射信号副本的叠加，每条路径都具有特定的衰减系数、时延和多普勒频移。

第$i$条路径经历的多普勒频移为：

$$v_i = f_c v \cos\theta_i / C$$

其中$C$表示无线介质的传播速度，$f_c$是载波频率，$\theta_i$是第$i$条路径的射线与收发机相对运动方向之间的夹角。

等效基带信道中第$i$条路径的衰减系数和时延分别记为$h_i$和$\tau_i$。则接收端的等效复基带信号可以表示为：

$$r(t) = \sum_{i=1}^P h_i\tilde{s}(t-\tau_i)e^{j2\pi v_i(t-\tau_i)} + \omega(t), \quad t \in [0,T]$$

其中$P$是传播路径数，$\omega(t)$建模为复加性白高斯噪声（AWGN）。

4. 输入输出关系

4.1 GF域信道矩阵的一般表达式

基于时域输入输出关系，对接收的时域信号向量$\mathbf{r}$执行GDFnT，得到GF域接收信号$\mathbf{y}$：

$$\mathbf{y} = \boldsymbol{\Theta}_{M,N}\mathbf{r} = \mathbf{H}_{\text{eff}}\mathbf{x} + \tilde{\boldsymbol{\omega}}$$

其中：

$$\mathbf{H}_{\text{eff}} = \boldsymbol{\Theta}_{M,N}\mathbf{H}\boldsymbol{\Theta}_{M,N}^H$$

$$\tilde{\boldsymbol{\omega}} = \boldsymbol{\Theta}_{M,N}\boldsymbol{\omega}$$

这里$\mathbf{H}_{\text{eff}}$和$\tilde{\boldsymbol{\omega}}$分别是GF域的等效信道矩阵和噪声向量。由于矩阵$\boldsymbol{\Theta}_{M,N}$是酉的且噪声向量$\boldsymbol{\omega}$的元素建模为独立同分布的AWGN，$\tilde{\boldsymbol{\omega}}$的元素也是独立同分布的AWGN，均值为零，方差为$N_0$。

将时域信道矩阵表达式代入，我们有：

$$\mathbf{H}_{\text{eff}} = \sum_{i=1}^P \tilde{h}_i\mathbf{P}^{(i)}\mathbf{Q}^{(i)}$$

其中：

$$\mathbf{P}^{(i)} = \boldsymbol{\Theta}_{M,N}\boldsymbol{\Lambda}^{k_i+\kappa_i}\boldsymbol{\Theta}_{M,N}^H$$

$$\mathbf{Q}^{(i)} = \boldsymbol{\Theta}_{M,N}\boldsymbol{\Pi}^{l_i}\boldsymbol{\Theta}_{M,N}^H$$

4.2 GF域信道矩阵的低复杂度计算

直接使用上述公式计算信道矩阵会导致极高的计算复杂度，因为计算过程中需要多次$MN \times MN$维矩阵相乘。为了获得计算高效且直观的GF域信道矩阵表达式，我们分别简化矩阵$\mathbf{P}^{(i)}$和$\mathbf{Q}^{(i)}$的表达式。

通过引理1（证明见附录A），可以证明$\mathbf{Q}^{(i)} = \boldsymbol{\Pi}^{l_i}$。

对于整数多普勒频移的情况，矩阵$\mathbf{P}^{(i)}$可以表示为分块矩阵形式，其第$(p,p')$个元素为：

$$[\mathbf{P}^{(i)}]_{p,p'} = e^{j\frac{\pi}{N}[\lfloor\frac{p}{M}\rfloor^2-\lfloor\frac{p'}{M}\rfloor^2]}e^{j\frac{2\pi}{MN}k_i\langle p\rangle_M}\delta[\langle p-p'-k_iM\rangle_{MN}]$$

对于分数多普勒频移$\kappa_i$，对角矩阵$\boldsymbol{\Lambda}^{\kappa_i}$可以近似为：

$$\boldsymbol{\Lambda}^{\kappa_i} \approx \sum_{b=-B_i}^{B_i} \lambda_{i,b}\boldsymbol{\Lambda}^b$$

其中$B_i$是控制近似精度的常数整数，系数为：

$$\lambda_{i,b} = \frac{1}{MN}\frac{e^{j2\pi\kappa_i}-1}{e^{j\frac{2\pi}{MN}(\kappa_i-b)}-1}$$

最终，广义Fresnel域信道矩阵$\mathbf{H}_{\text{eff}}$可以近似为$\tilde{\mathbf{H}}_{\text{eff}}$，其第$(p,p')$个元素为：

$$[\tilde{\mathbf{H}}_{\text{eff}}]_{p,p'} = \sum_{\ell=1}^L \breve{h}_{p,p'}^{\ell}\delta[\langle p-p'-d_{\ell}\rangle_{MN}]$$

这表明$\tilde{\mathbf{H}}_{\text{eff}}$是一个稀疏矩阵，每行（或列）包含$L$个非零元素。

5. 基于消息传递的检测器

图3描述：因子图展示了消息传递算法中的信息流动。(a)展示了从一个变量节点到$L$个观测节点的消息传递；(b)展示了一个观测节点从$L$个变量节点接收消息；©展示了从一个观测节点到$L$个变量节点的消息传递；(d)展示了一个变量节点从$L$个观测节点接收消息。椭圆表示变量节点（发射符号），矩形表示因子节点（观测信号）。

本节假设接收机完全知道等效基带信道的路径参数，包括时延、多普勒频移和衰减系数。我们提出了一种基于MP算法的迭代检测器，该检测器利用了GF域信道矩阵$\tilde{\mathbf{H}}_{\text{eff}}$的稀疏性。

考虑到GF域信道矩阵近似计算引入的噪声，基于输入输出关系，我们将GF域输入输出关系重写为：

$$\mathbf{y} = \tilde{\mathbf{H}}_{\text{eff}}\mathbf{x} + \breve{\boldsymbol{\omega}}$$

其中$\breve{\boldsymbol{\omega}}$表示包含信道加性噪声和信道近似噪声的噪声向量。为简化起见，我们假设$\breve{\boldsymbol{\omega}}$的元素是独立同分布的AWGN，均值为零，方差为$\sigma_0^2$。

从信道矩阵的稀疏结构可以看出，接收符号$[\mathbf{y}]_p, p = 0, 1, \ldots, MN-1$包含来自$L$个发射符号的贡献，其索引可以表示为向量：

$$\mathbf{b}_p = [\langle p-d_0, p-d_1, \ldots, p-d_{L-1}\rangle_{MN}]$$

另一方面，发射符号$[\mathbf{x}]_{p'}, p' = 0, 1, \ldots, MN-1$影响$L$个接收符号，其索引表示为向量：

$$\mathbf{q}_{p'} = [\langle p'+d_0, p'+d_1, \ldots, p'+d_{L-1}\rangle_{MN}]$$

接下来，我们将接收符号$[\mathbf{y}]_p$视为发射符号$[\mathbf{x}]_{[\mathbf{b}_p]_{\ell}}$的观测，并表达它们之间的关系：

$$[\mathbf{y}]_p = [\tilde{\mathbf{H}}_{\text{eff}}]_{p,[\mathbf{b}_p]_{\ell}} \cdot [\mathbf{x}]_{[\mathbf{b}_p]_{\ell}} + \underbrace{\sum_{i=0,i\neq\ell}^{L-1}[\tilde{\mathbf{H}}_{\text{eff}}]_{p,[\mathbf{b}_p]_i} \cdot [\mathbf{x}]_{[\mathbf{b}_p]_i} + [\breve{\boldsymbol{\omega}}]_p}_{[\mathbf{W}]_{p,[\mathbf{b}_p]_{\ell}}}$$

6. 仿真结果与讨论

6.1 PAPR性能比较

图4描述：PAPR性能比较图展示了GOCDM、OCDM和OFDM信号的累积分布函数（CCDF）。横轴为PAPR门限值（单位：dB），纵轴为超过该门限的概率（对数坐标）。图中显示了不同$(N,M)$配置下GOCDM的性能曲线，所有系统都使用4-QAM星座映射，符号块长度均为128。

图4展示了提议的GOCDM、传统OCDM和OFDM信号之间的PAPR比较。PAPR直接从块的基带序列$s_n$计算得出。对于给定的符号块，PAPR定义为$\text{PAPR} = P_{\text{max}}/P_{\text{avg}}$，其中$P_{\text{max}}$是$|s_n|^2$的最大值，$P_{\text{avg}}$是块中$|s_n|^2$的平均值。

仿真中随机生成了$10^7$个符号块来计算事件$\text{PAPR} > \text{PAPR}_0$的概率。结果表明，从统计意义上讲，GOCDM的PAPR显著优于OCDM和OFDM。此外，对于GOCDM信号，在固定符号长度（即$M$和$N$的乘积恒定）的情况下，较小的$N$值表现出更好的PAPR性能。

6.2 BER性能评估

接下来评估GOCDM在时频双选择性信道中的误比特率性能。

水下声学通信场景

图5描述：UWA移动信道中GOCDM、OCDM和OFDM的BER性能比较。横轴为$E_b/N_0$（单位：dB），纵轴为BER（对数坐标）。图中包含了使用MMSE均衡器和MP算法的不同接收机配置的性能曲线。

首先考虑GOCDM在水下声学通信中的应用场景。配置参数如表I所示：

• 载波频率：24 kHz
• 带宽：3.2 kHz
• 相对速度：40 km/h
• 声速：1500 m/s
• 信道包含9条物理路径

基于这些参数，信道的时延扩展$S_t$和多普勒扩展$S_f$分别计算为14.7毫秒和355.6赫兹。信道的乘积$S_tS_f = 5.2$，远大于1，表明该信道是过扩展信道，具有快速时变特性。

仿真结果显示，无论使用基于MMSE均衡的接收机还是基于消息传递的接收机，GOCDM的BER性能都略优于OCDM，而两者都显著优于OFDM。

地面射频通信场景

图6描述：EVA信道模型下GOCDM、OCDM和OFDM的BER性能比较，相对运动速度为500 km/h。图中显示了使用MMSE和MP检测器的性能曲线。

考虑车载移动通信场景，相对速度为500 km/h。载波频率、带宽、符号持续时间等参数详见表III。信道路径的延迟功率分布使用扩展车载A模型配置。

仿真结果表明，GOCDM的性能几乎与OCDM相同，无论使用MMSE均衡器还是MP算法进行检测。此外，GOCDM和OCDM系统都显著优于OFDM系统。

7. 结论

本文通过引入酉变换GDFnT扩展了传统的DFnT。利用该变换，GF域中的数据符号向量被转换为时域信号向量，产生了称为GOCDM的新型信号波形。我们推导了基于时频双选择性信道的GF域信道矩阵，该信道具有多条传播路径，每条路径都有特定的多普勒频移。通过利用GF域信道的稀疏性，我们提出了一种低复杂度方法来近似该矩阵。该稀疏表示可用于设计降低复杂度的接收机。我们描述了具有因子图的GOCDM输入输出关系，并提出了基于消息传递的接收机来迭代检测数据符号。我们使用蒙特卡罗仿真评估了GOCDM与OCDM相比的PAPR和BER性能。仿真结果表明，GOCDM在不损失BER性能的前提下提供了显著的PAPR优势，使其成为未来无线通信系统的有前景的候选波形。

附录A：引理1的证明

引理1：矩阵$\boldsymbol{\Phi}_{M,N}^H$和$\boldsymbol{\Pi}$满足乘法交换律，即$\boldsymbol{\Pi}\boldsymbol{\Theta}_{M,N}^H = \boldsymbol{\Theta}_{M,N}^H\boldsymbol{\Pi}$。

证明：对于任意给定的$p, q = 0, 1, \ldots, MN-1$，容易验证：

$$[\boldsymbol{\Pi}\boldsymbol{\Theta}_{M,N}^H]_{p,q} = [\boldsymbol{\Theta}_{M,N}^H]_{\langle p-1\rangle_{MN},q}$$

$$[\boldsymbol{\Theta}_{M,N}^H\boldsymbol{\Pi}]_{p,q} = [\boldsymbol{\Theta}_{M,N}^H]_{p,\langle q+1\rangle_{MN}}$$

因此我们有：

$$[\boldsymbol{\Pi}\boldsymbol{\Theta}_{M,N}^H - \boldsymbol{\Theta}_{M,N}^H\boldsymbol{\Pi}]_{p,q} = [\boldsymbol{\Theta}_{M,N}^H]_{\langle p-1\rangle_{MN},q} - [\boldsymbol{\Theta}_{M,N}^H]_{p,\langle q+1\rangle_{MN}}$$

$$= [\boldsymbol{\Theta}_{M,N}]_{q,\langle p-1\rangle_{MN}}^* - [\boldsymbol{\Theta}_{M,N}]_{\langle q+1\rangle_{MN},p}^*$$

其中第二个等式源于$\boldsymbol{\Theta}_{M,N}^H$是酉矩阵这一事实。

设$p = \lfloor\frac{p}{M}\rfloor M + \langle p\rangle_M$和$q = \lfloor\frac{q}{M}\rfloor M + \langle q\rangle_M$。从分块矩阵结构，我们有：

$$[\boldsymbol{\Theta}_{M,N}]_{p,q} = [\boldsymbol{\Phi}_N]_{\lfloor\frac{p}{M}\rfloor,\lfloor\frac{q}{M}\rfloor}\delta[\langle p-q\rangle_M]$$

使用上式，可以重写为：

$$[\boldsymbol{\Pi}\boldsymbol{\Theta}_{M,N}^H - \boldsymbol{\Theta}_{M,N}^H\boldsymbol{\Pi}]_{p,q} = \left([\boldsymbol{\Phi}_N]_{\lfloor\frac{q}{M}\rfloor,\lfloor\frac{\langle p-1\rangle_{MN}}{M}\rfloor} - [\boldsymbol{\Phi}_N]_{\lfloor\frac{\langle q+1\rangle_{MN}}{M}\rfloor,\lfloor\frac{p}{M}\rfloor}\right)^*\delta[\langle q-p+1\rangle_M]$$

现在讨论不同$p$和$q$值下右侧的值：

情况1：$\langle q-p+1\rangle_M \neq 0$时，由于$\delta[\langle q-p+1\rangle_M] = 0$，所以$[\boldsymbol{\Pi}\boldsymbol{\Theta}_{M,N}^H - \boldsymbol{\Theta}_{M,N}^H\boldsymbol{\Pi}]_{p,q} = 0$。

情况2：$\langle q-p+1\rangle_M = 0$时，需要注意$N$点DFnT矩阵$\boldsymbol{\Phi}_N$是循环矩阵。具体地，对于任意给定的$m$和$n$，$m, n = 0, 1, \ldots, N-1$，我们有$[\boldsymbol{\Phi}_N]_{m,n} = [\boldsymbol{\Phi}_N]_{\langle m+1\rangle_N,\langle n+1\rangle_N}$。

将情况2分为四个子情况：

(2.1) $p = 0, q = MN-1$且$\langle q-p+1\rangle_M = 0$：

$$[\boldsymbol{\Pi}\boldsymbol{\Theta}_{M,N}^H - \boldsymbol{\Theta}_{M,N}^H\boldsymbol{\Pi}]_{p,q} = ([\boldsymbol{\Phi}_N]_{N-1,N-1} - [\boldsymbol{\Phi}_N]_{0,0})^* = 0$$

(2.2) $p = 0, q \neq MN-1$且$\langle q-p+1\rangle_M = 0$：

$$[\boldsymbol{\Pi}\boldsymbol{\Theta}_{M,N}^H - \boldsymbol{\Theta}_{M,N}^H\boldsymbol{\Pi}]_{p,q} = ([\boldsymbol{\Phi}_N]_{\lfloor\frac{q}{M}\rfloor,N-1} - [\boldsymbol{\Phi}_N]_{\lfloor\frac{q}{M}\rfloor+1,0})^* = 0$$

(2.3) $p \neq 0, q = MN-1$且$\langle q-p+1\rangle_M = 0$：

$$[\boldsymbol{\Pi}\boldsymbol{\Theta}_{M,N}^H - \boldsymbol{\Theta}_{M,N}^H\boldsymbol{\Pi}]_{p,q} = ([\boldsymbol{\Phi}_N]_{N-1,\lfloor\frac{p}{M}\rfloor-1} - [\boldsymbol{\Phi}_N]_{0,\lfloor\frac{p}{M}\rfloor})^* = 0$$

(2.4) $p \neq 0, q \neq MN-1$且$\langle q-p+1\rangle_M = 0$：

根据$\langle p\rangle_M$是否为0，分两种情况，但最终都得到0。

从以上分析可知，对于任意$p$和$q$，等式$[\boldsymbol{\Pi}\boldsymbol{\Theta}_{M,N}^H - \boldsymbol{\Theta}_{M,N}^H\boldsymbol{\Pi}]_{p,q} = 0$总是成立。因此，$\boldsymbol{\Pi}\boldsymbol{\Theta}_{M,N}^H = \boldsymbol{\Theta}_{M,N}^H\boldsymbol{\Pi}$，证明完毕。