正交啁啾分复用雷达技术（OCDM雷达）：下一代传感系统技术

OCDM雷达是一种基于Fresnel变换的新兴多载波调制技术，通过复用正交啁啾波形，在保持优异雷达性能的同时实现高速通信。相比传统FMCW雷达，OCDM在高速移动场景下表现出卓越的多普勒容限，抗干扰能力提升3-5 dB，且天然支持雷达通信一体化，使其成为自动驾驶和6G网络的理想候选技术。该技术于2016年由Ouyang和Zhao首次系统阐述，近年来在毫米波汽车雷达和太赫兹成像领域取得突破性进展，实现了亚毫米级距离分辨率。尽管FMCW仍主导当前市场，但OCDM凭借其在复杂信道条件下的技术优势和与现有OFDM基础设施的兼容性，正在为2025年后的先进传感系统铺平道路。

OCDM的核心原理源于Fresnel变换而非传统Fourier变换

OCDM雷达的基本工作原理建立在一个简单的数学基础之上：就像OFDM利用Fourier变换实现正交频分复用一样，OCDM利用Fresnel变换实现正交啁啾复用，从而达到啁啾扩频系统的最大频谱效率。这一创新性概念由Ouyang和Zhao在2016年的IEEE Transactions on Communications论文中首次系统提出，为雷达和通信领域开辟了新方向。

传统雷达系统发射单个啁啾信号或一系列啁啾脉冲，每次只利用有限的时频资源。OCDM的革命性之处在于能够在相同的时间和带宽内同时发射N个相互正交的啁啾信号，每个啁啾都可以独立调制信息，使频谱效率相比传统啁啾扩频系统提升N倍。这种正交性通过精心设计的啁啾参数实现，确保不同啁啾信号之间不会产生相互干扰。

OCDM系统在"啁啾域"或"Fresnel域"中操作，这是一个介于时域和频域之间的独特信号处理空间。在这个域中，信号的时延和多普勒频移表现为啁啾子载波的移位和相位旋转，而不会像OFDM那样导致严重的载波间干扰。这一特性使OCDM天然具备对抗多普勒效应和多径衰落的能力，特别适合高速移动和复杂传播环境。

与传统雷达相比，OCDM系统有三大根本性差异。第一，波形结构上，OCDM将多个正交啁啾信号叠加在同一时频空间中，而不是顺序发射单个啁啾。第二，信号处理上，OCDM在Fresnel域而非时频域进行解调和均衡，利用离散Fresnel变换（DFnT）代替传统的FFT。第三，功能定位上，OCDM系统天然支持雷达感知和数据通信的同时进行，无需额外的频谱资源或时间复用。

数学模型揭示了正交啁啾波形的精妙设计

OCDM的数学基础始于啁啾信号的定义。一个基本的线性调频（chirp）信号可以表示为：

$$\psi(t) = \exp(j\pi\alpha t^2) \cdot \text{rect}(t/T)$$

其中$\alpha = N/T^2$是啁啾率（单位：rad/s²），$T$是脉冲持续时间，$\text{rect}(t/T)$是矩形窗函数，$j = \sqrt{-1}$。这个信号的瞬时频率随时间线性变化：$f(t) = \alpha t/(2\pi)$，正是这种频率调制特性赋予了啁啾信号优异的脉冲压缩能力和多普勒容限。

为了生成$N$个相互正交的啁啾波形，OCDM引入了"根啁啾"（root chirp）的概念。基于光学中的Talbot效应在时域的应用，定义时间Talbot距离为$Z_T = T^2$。对于$N$个正交啁啾，根啁啾波形为：

$$\psi_0(t) = \exp\left(j\pi\frac{N}{T^2}t^2\right) \cdot \exp\left(-j\frac{\pi N}{4}\right) \cdot \text{rect}(t/T), \quad 0 \leq t \leq T$$

第$k$个正交啁啾波形则通过在根啁啾基础上添加线性相位项获得：

$$\psi_k(t) = \exp\left(j\pi\frac{N}{T^2}t^2\right) \cdot \exp\left(j\frac{2\pi kt}{T}\right) \cdot \exp\left(-j\frac{\pi N}{4}\right), \quad k = 0,1,...,N-1$$

这些波形的正交性可以通过积分严格证明：

$$\int_0^T \psi_m^*(t) \cdot \psi_n(t) dt = \delta_{mn}$$

其中$\delta_{mn}$是Kronecker delta函数。这一正交条件的关键在于：尽管所有啁啾信号具有相同的啁啾率$\alpha = N/T^2$，但它们通过不同的频率偏移$\beta_k = 2k/T$实现正交分离。

离散Fresnel变换（DFnT）是OCDM数字实现的核心。对于偶数$N$，DFnT矩阵的$(m,n)$元素定义为：

$$\Phi(m,n) = \frac{1}{\sqrt{N}} \cdot \exp\left(j\frac{\pi}{4}\right) \cdot \exp\left(j\pi\frac{m^2+n^2-2mn}{N}\right)$$

这个矩阵具有酉性（$\Phi^H \cdot \Phi = I$）和循环结构，使得它可以通过FFT高效计算。事实上，DFnT矩阵可以分解为：

$$\Phi = \exp\left(j\frac{\pi}{4}\right) \cdot \Theta_1 \cdot F \cdot \Theta_2$$

其中$F$是标准的DFT矩阵，$\Theta_1$和$\Theta_2$是对角相位矩阵：

• $\Theta_1 = \text{diag}\{\exp(j\pi m^2/N)\}$, $m = 0...N-1$
• $\Theta_2 = \text{diag}\{\exp(j\pi n^2/N)\}$, $n = 0...N-1$

这种分解揭示了Fresnel变换与Fourier变换的深层联系：Fresnel变换本质上是在Fourier变换前后添加了二次相位项。这使得OCDM可以借助现有的FFT硬件和算法，仅需增加$2N$次复数乘法即可实现。

OCDM信号的生成过程可用矩阵形式简洁表达：

$$\mathbf{s} = \Phi^H \cdot \mathbf{x}$$

其中$\mathbf{s}$是时域OCDM信号向量，$\mathbf{x} = [x(0), x(1), ..., x(N-1)]^T$是调制符号向量。在接收端，解调过程通过正向DFnT完成：

$$\hat{\mathbf{x}} = \Phi \cdot \mathbf{r}$$

其中$\mathbf{r}$是接收信号向量。这种发射-接收的对称性是所有正交调制系统的标志，确保了信号可以无失真地恢复（在无噪声情况下）。

对于雷达应用，模糊函数（ambiguity function）是描述系统性能的关键工具。OCDM信号的模糊函数定义为：

$$\chi(\tau, f_d) = \left|\int_{-\infty}^{\infty} s(t) \cdot s^*(t-\tau) \cdot \exp(j2\pi f_d t) dt\right|$$

其中$\tau$是时延（对应目标距离），$f_d$是多普勒频移（对应目标速度）。线性调频啁啾信号的模糊函数呈现对角线脊状结构，在时延-多普勒平面上具有良好的聚焦特性，但存在距离-多普勒耦合效应。OCDM通过多啁啾复用，可以设计出更灵活的模糊函数形状，在保持良好距离和速度分辨率的同时，降低了耦合效应。

系统架构采用发射接收一体化设计与高效数字信号处理

OCDM雷达系统的整体架构与传统雷达类似，但在信号生成和处理环节有显著差异。发射链路包括：波形生成器 → IDFnT调制器（逆离散Fresnel变换）→ 数模转换器（DAC）→ 射频上变频器 → 功率放大器 → 天线。接收链路包括：天线 → 低噪声放大器（LNA）→ 下变频器 → 模数转换器（ADC）→ DFnT解调器 → 信号处理器 → 检测/估计模块。对于单基地配置，收发双工器在发射和接收模式之间切换天线。

波形生成器是系统的核心，负责实现IDFnT运算。这个过程分三步完成：首先将数据符号$\mathbf{x}$乘以相位矩阵$\Theta_2$，然后应用IFFT变换，最后乘以相位矩阵$\Theta_1$输出时域信号$\mathbf{s}$。这种三步法的计算复杂度仅为$O(N \log N) + 2N$ ，与OFDM的$O(N \log N)$相比只增加了$2N$次复数乘法的开销。在实际硬件中，这些相位矩阵可以预先计算并存储，实时处理时只需查表和乘法操作。

射频前端的关键组件包括高速DAC和ADC，典型参数为10-14位分辨率，采样率满足$f_s \geq 2B$（$B$为总带宽）。对于77 GHz汽车雷达，4 GHz带宽要求至少8 GS/s的采样率。功率放大器需要具备较高的线性度，因为OCDM信号类似OFDM具有较高的峰均功率比（PAPR），典型值为8-12 dB。这是OCDM面临的主要挑战之一，后续研究提出了啁啾选择、削波驱动选择等PAPR降低技术，可实现2-4 dB的改善。

接收端的信号处理流程体现了OCDM的独特优势。接收到的信号首先经过下变频和ADC采样，然后移除循环前缀（CP）。循环前缀的作用是将线性卷积转化为循环卷积，防止符号间干扰（ISI），其长度需要大于等于信道的最大时延扩展。接下来进行DFnT解调，将时域信号转换到Fresnel域。在Fresnel域中，多径信道仍然表现为循环卷积形式，这是OCDM的关键特性：信道对啁啾信号是"透明"的，可以在变换域进行高效均衡。

信道均衡是接收处理的核心环节。对于频率选择性衰落信道，OCDM支持多种均衡策略。最简单的是单抽头Fresnel域均衡，基于DFnT矩阵的特征分解：$\Phi = F^H \Gamma F$，其中$\Gamma$是对角矩阵，包含特征值$\gamma(k) = \exp(j\pi k^2/N)$。迫零（ZF）均衡器为：

$$G(k) = \Lambda^{-1}(k) \cdot \Gamma^{-1}(k)$$

最小均方误差（MMSE）均衡器为：

$$G(k) = \frac{\Lambda^*(k)}{|\Lambda(k)|^2 + 1/\rho} \cdot \Gamma^{-1}(k)$$

其中$\Lambda(k)$是信道脉冲响应的DFT，$\rho$是信噪比。这种单抽头均衡的复杂度仅为$O(N \log N)$，比时域多抽头均衡效率高得多。

对于双选择性信道（时变且频率选择性），需要更高级的均衡技术。带状MMSE均衡器将信道矩阵近似为带宽为$Q$的带状矩阵，复杂度从$O(N^3)$降至$O(Q^2N)$。迭代LSQR均衡器采用基扩展模型（BEM）描述时变信道，通过Krylov子空间方法求解，复杂度为$O(iMN \log N)$，其中$i$是迭代次数（通常4-8次），$M$是BEM阶数。研究表明，在高多普勒环境下（归一化多普勒0.1-0.3），OCDM配合这些先进均衡器的性能优于OFDM达2-3 dB。

雷达目标检测和参数估计利用距离-多普勒处理。在OCDM系统中，经过DFnT解调后的观测矩阵为：

$$Z[m,n] = \sum_p h_p \cdot \exp\left(j2\pi(n\vartheta_p f_c T - m\tau_p\Delta f)\right) + W[m,n]$$

其中$m$是啁啾索引（0到$M-1$），$n$是符号索引（0到$N-1$），$\vartheta_p = v_p/c$是归一化速度，$\tau_p$是时延，$\Delta f = B/M$是子载波间隔。应用二维DFT生成距离-多普勒图：

$$L(m_0,n_0) = \left|\sum_m \sum_n Z[m,n] \cdot \exp\left(-j\frac{2\pi nn_0}{N_{Per}}\right) \cdot \exp\left(j\frac{2\pi mm_0}{M_{Per}}\right)\right|^2$$

峰值位置对应目标参数，距离估计为$\hat{r} = c\hat{m}_0/(2\Delta f M_{Per})$，速度估计为$\hat{v} = c\hat{n}_0/(f_c T N_{Per})$ 。与FMCW不同，OCDM实现了距离和多普勒的解耦估计，不存在距离-多普勒耦合问题。

FMCW与OCDM技术对比揭示了各自的适用场景

FMCW（调频连续波）雷达代表了当前成熟的主流技术，而OCDM则是面向未来的新兴方案。理解两者的差异对于选择合适的技术至关重要。

FMCW雷达的工作原理基于频率调制和拍频检测。发射信号的频率在时间上线性变化，从$f_1$扫频到$f_2$，数学表达为：

$$x(t) = A \cdot \exp\left(j(\pi\mu t^2 + 2\pi ft + \theta)\right)$$

其中$\mu = B/T_C$是啁啾率，$B$是扫频带宽，$T_C$是啁啾持续时间。当回波信号返回时，由于传播时延$\Delta t$，其频率与当前发射频率存在差异，这个拍频$f_b$与目标距离成正比：

$$d_0 = \frac{c \cdot T_C \cdot f_b}{2B}$$

通过混频、低通滤波和FFT处理拍频信号，可以同时获得多个目标的距离信息。进一步对多个啁啾进行二维FFT，可以提取速度信息。这种处理方式简单直接，是FMCW的主要优势。

波形结构上的差异是两种技术的根本区别。FMCW发射单个啁啾或啁啾序列，每次只占用一个时频区间。OCDM则在同一时间和带宽内并行发射$N$个正交啁啾，每个啁啾可以独立调制信息。这使得OCDM的频谱效率理论上是FMCW的$N$倍，更重要的是，这$N$个啁啾之间的正交性通过Fresnel变换的数学性质严格保证，而不需要复杂的码分或频分隔离。

处理算法复杂度方面，FMCW采用标准的2D FFT处理，复杂度为$O(MN \log(MN))$，其中$M$是啁啾数量，$N$是每个啁啾的采样点数。OCDM的接收端需要DFnT变换加均衡，复杂度为$O(N \log N) + O(2N) + O(\text{均衡})$。虽然OCDM略微复杂，但差异不大，且可以利用现有OFDM硬件实现，增加的计算开销仅为$2N$次复数乘法。

距离分辨率对两种技术都由总带宽决定：$\Delta r = c/(2B)$。对于1 GHz带宽，距离分辨率为15 cm。在这方面FMCW和OCDM性能相当。但在速度分辨率和模糊速度上差异明显。FMCW的速度分辨率$\Delta v = \lambda/(2NT_C)$，最大不模糊速度受限于啁啾重复频率，单啁啾系统存在速度模糊问题。OCDM由于啁啾信号本身对多普勒不敏感，加上多啁啾并行处理，可以实现更大的不模糊速度范围和更好的速度估计精度。

信噪比性能取决于处理增益。FMCW的处理增益为$B \cdot T$（时间-带宽积），典型值可达50-60 dB。OCDM的处理增益来自$M \cdot N$（啁啾数×符号数），同样可达50-60 dB。但OCDM额外受益于多径分集增益，研究表明在多径瑞利衰落信道下，OCDM配合MMSE均衡器相比OFDM有3-5 dB的性能提升，特别是在高信噪比区域优势更明显。

抗干扰能力是OCDM的突出优势。随着车载雷达密度增加，FMCW系统面临严重的相互干扰问题，干扰信号表现为类似啁啾的波形，容易产生虚假目标。OCDM通过正交啁啾复用和扩频特性，对干扰的抵抗能力显著增强。不同用户可以通过选择不同的正交啁啾集合实现码分复用，降低相互干扰。此外，OCDM在频率选择性和多径环境中的鲁棒性优于FMCW。

多目标处理能力方面，FMCW通过FFT自然分离不同距离和速度的目标，但在目标重叠或使用三角调制时会出现虚假目标问题。OCDM在Fresnel域的目标分离能力更强，特别是利用MIMO配置时，可以通过码分或频分复用实现更好的多目标分辨和多用户操作。

硬件复杂度和成本是FMCW的主要优势。FMCW技术经过数十年发展，产业链成熟，芯片成本低，设计方法完善。OCDM作为新兴技术，虽然可以利用现有OFDM基础设施，但专用硬件开发仍在进行中，需要更高规格的线性功放（因PAPR较高），以及实现DFnT的数字处理能力。当前OCDM的成本高于FMCW，但随着技术成熟和规模化生产，这一差距有望缩小。

应用场景选择有清晰的指导原则。FMCW适用于成本敏感、技术成熟度要求高的场景，如当前的主流汽车雷达（ACC、AEB）、工业测距、航空高度表等。这些应用对可靠性和成本有严格要求，FMCW的proven track record是关键优势。OCDM则更适合高端应用和未来系统，包括高速移动场景（高铁监控、高速公路）、雷达通信一体化（V2X、6G）、密集部署环境（城市峡谷）、毫米波/太赫兹高分辨率成像、MIMO雷达网络等。

综合对比矩阵：

指标	FMCW	OCDM	优胜者
成本效益	★★★	★★	FMCW
距离精度	★★★	★★★	平手
速度处理	★★	★★★	OCDM
多普勒容限	★★	★★★	OCDM
抗干扰性	★★	★★★	OCDM
技术成熟度	★★★	★	FMCW
通信能力	★	★★★	OCDM
硬件简易度	★★★	★★	FMCW
频谱效率	★★	★★★	OCDM

实际性能指标展现了OCDM在特定场景的卓越表现

量化性能指标直接反映技术的实用价值。在距离分辨率上，两种技术都遵循$\Delta r = c/(2B)$的物理限制。77 GHz汽车雷达使用4 GHz带宽时，距离分辨率为3.75 cm。OCDM在太赫兹频段的突破性应用展示了更大潜力：2023年的研究使用1.4 THz总带宽的多载波OCDM系统，实现了0.107 mm的亚毫米级距离分辨率，距离估计的均方根误差达到$10^{-3}$米量级，比单频段系统改善了三个数量级。

速度分辨率体现了OCDM的独特优势。对于77 GHz、256个啁啾、每个啁啾0.25 μs的配置，FMCW的速度分辨率约为0.94 m/s，最大不模糊速度约240 m/s。OCDM在相同配置下速度分辨率相当，但由于啁啾信号固有的多普勒不敏感性，在高速场景下的性能退化远小于FMCW。实验表明，在归一化多普勒频移为0.1-0.3（对应5 GHz载频下300-900 km/h的相对速度）时，OCDM仍能保持稳定的误码率性能，而OFDM在此条件下性能显著恶化。

检测概率和虚警率通过ROC曲线描述。在SNR = 10 dB、$256\times256$处理增益的典型配置下，OCDM雷达可实现0.5 cm的距离估计标准差和0.1 m/s的速度估计标准差。检测概率的CRLB（克拉美罗下界）分析表明，OCDM的理论最优性能与FMCW相当，但在实际双选择性信道中，OCDM通过多径分集获得额外的2-5 dB增益，使得在相同检测概率下所需的信噪比更低。

误码率性能在雷达通信一体化场景中至关重要。针对OCDM和OFDM的对比实验显示，在高多普勒环境（归一化多普勒0.1）下，OCDM采用4-QAM调制达到$10^{-3}$误码率所需的$E_b/N_0$约为12 dB，而OFDM需要14 dB，OCDM优势约2 dB。对于16-QAM调制，这一优势扩大到2-3 dB。研究还表明，OCDM在水下声学通信等严苛环境中的表现优于OFDM，特别是在高多普勒扩展条件下。

**峰均功率比（PAPR）**是多载波系统的共同挑战。OCDM的原始PAPR与OFDM类似，约为10-12 dB，这要求功率放大器具备较高线性度，降低了效率。近年来的研究提出了多种PAPR降低技术：啁啾选择方法可降低2-4 dB，削波驱动啁啾选择（OCDM-CDCS）在保持频谱效率的同时改善PAPR，音调预留（tone reservation）技术通过保留部分啁啾用于峰值抵消。2024年的研究表明，结合索引调制的OCDM（OCDM-CIM）相比OFDM-SIM可降低2.5 dB的PAPR，同时能效提升25%。

处理延迟对实时应用至关重要。汽车雷达通常要求50 ms以内的更新周期。对于$256\times256$的OCDM配置，单帧时间约16.4 ms，加上处理时间（DFnT、均衡、检测），总延迟可控制在20-30 ms，满足ADAS要求。更高性能的L4/L5自动驾驶可能需要更快的更新率（100 Hz或10 ms周期），这要求减少啁啾和符号数量，或采用并行处理架构。

多目标分离能力通过最小可分辨间隔衡量。FMCW系统的距离和速度分离能力分别由距离分辨率和速度分辨率决定。OCDM除了具备相同的基本分辨率外，还受益于Fresnel域的目标分离特性。在MIMO配置下，OCDM可以通过码分复用（CDM）或频分复用（FDM）区分不同发射天线的信号，CDM方案在雷达和通信性能上均优于FDM，但代价是稍高的距离旁瓣。

核心公式总结：从Fresnel变换到雷达处理的数学体系

为便于技术人员参考，以下汇总OCDM技术的关键数学公式：

1. 正交啁啾波形：

根啁啾：$$\psi_0(t) = \exp\left(j\pi\frac{N}{T^2}t^2\right) \cdot \exp\left(-j\frac{\pi N}{4}\right) \cdot \text{rect}(t/T)$$

第k个啁啾：$$\psi_k(t) = \exp\left(j\pi\frac{N}{T^2}t^2\right) \cdot \exp\left(j\frac{2\pi kt}{T}\right) \cdot \exp\left(-j\frac{\pi N}{4}\right), \quad k=0,1,…,N-1$$

正交条件：$$\int_0^T \psi_m^*(t) \cdot \psi_n(t) dt = \delta_{mn}$$

2. 离散Fresnel变换：

DFnT矩阵（偶数N）：$$\Phi(m,n) = \frac{1}{\sqrt{N}} \cdot \exp\left(j\frac{\pi}{4}\right) \cdot \exp\left(j\pi\frac{m^2+n^2-2mn}{N}\right)$$

分解形式：$$\Phi = \exp\left(j\frac{\pi}{4}\right) \cdot \Theta_1 \cdot F \cdot \Theta_2$$

其中$$\Theta_1 = \text{diag}{\exp(j\pi m^2/N)}, \quad \Theta_2 = \text{diag}{\exp(j\pi n^2/N)}$$

3. 信号调制与解调：

发射：$$\mathbf{s} = \Phi^H \cdot \mathbf{x}$$

接收：$$\hat{\mathbf{x}} = \Phi \cdot \mathbf{r}$$

信道模型：$$\mathbf{r} = H \cdot \Phi^H \cdot \mathbf{x} + \mathbf{n}$$

4. 连续Fresnel变换：

$$\hat{s}(t) = \frac{e^{j\pi/4}}{\sqrt{a}} \cdot \int_{-\infty}^{\infty} s(\tau) \cdot \exp\left(j\pi\frac{(t-\tau)^2}{a}\right) d\tau$$

其中$a = T^2/N$为归一化Talbot距离

5. 均衡器：

迫零（ZF）：$$G(k) = \Lambda^{-1}(k) \cdot \Gamma^{-1}(k)$$

MMSE：$$G(k) = \frac{\Lambda^*(k)}{|\Lambda(k)|^2+1/\rho} \cdot \Gamma^{-1}(k)$$

其中$\Lambda(k)$为信道频率响应，$\Gamma(k)=\exp(j\pi k^2/N)$为DFnT特征值

6. 雷达处理：

观测矩阵：$$Z[m,n] = \sum_p h_p \cdot \exp(j2\pi(n \cdot \vartheta_p \cdot f_c \cdot T - m \cdot \tau_p \cdot \Delta f)) + W[m,n]$$

距离-多普勒图：$$L(m_0,n_0) = \left|\sum_m \sum_n Z[m,n] \cdot \exp\left(-j\frac{2\pi nn_0}{N}\right) \cdot \exp\left(j\frac{2\pi mm_0}{M}\right)\right|^2$$

距离估计：$$\hat{r} = \frac{c \cdot \hat{m}_0}{2\Delta f \cdot M}$$

速度估计：$$\hat{v} = \frac{c \cdot \hat{n}_0}{f_c \cdot T \cdot N}$$

7. 分辨率：

距离分辨率：$$\Delta r = \frac{c}{2B}$$

速度分辨率：$$\Delta v = \frac{c}{2f_c \cdot N \cdot T} = \frac{\lambda}{2T_{obs}}$$

8. 模糊函数：

$$\chi(\tau, f_d) = \left|\int_{-\infty}^{\infty} s(t) \cdot s^*(t-\tau) \cdot \exp(j2\pi f_d t) dt\right|$$

9. CRLB（克拉美罗下界）：

距离精度：$$\sigma_r^2 \geq \frac{6c^2\sigma^2}{8\pi^2B^2MN(M^2-1) \cdot \text{SNR}}$$

速度精度：$$\sigma_v^2 \geq \frac{6c^2\sigma^2}{8\pi^2f_c^2T^2MN(N^2-1) \cdot \text{SNR}}$$

附录：OCDM系统的数学推导

A.1 Fresnel变换与啁啾正交性的证明

OCDM的理论基础建立在Fresnel变换的数学性质之上。我们从连续Fresnel变换的定义开始，逐步推导到离散情况下的正交啁啾集合。

连续Fresnel变换的核函数定义为：

$$K_a(t,\tau) = \frac{1}{\sqrt{ja}} \exp\left(\frac{j\pi(t-\tau)^2}{a}\right)$$

其中$a$是Fresnel参数，与菲涅尔衍射中的传播距离类似。当$a \to 0$时，Fresnel变换退化为恒等变换；当$a \to \infty$时，退化为Fourier变换。这体现了Fresnel变换作为时频域之间"桥梁"的本质。

对于有限持续时间$T$的信号，引入分数Talbot效应。在光学中，Talbot效应描述周期性光栅的自成像现象。在时域中，类似的效应发生在啁啾信号集合上。定义Talbot距离：

$$Z_T = \frac{T^2}{\lambda} = \frac{T^2}{2\pi/k} = \frac{kT^2}{2\pi}$$

在通信系统中，我们取归一化形式$a = T^2/N$，其中$N$是啁啾数量。这个选择确保了$N$个啁啾在时间窗口$[0,T]$内正交。

正交性的严格证明需要考虑两个啁啾信号的内积：

$$I_{mn} = \int_0^T \psi_m^*(t) \psi_n(t) dt$$

代入啁啾表达式：

$$I_{mn} = \int_0^T \exp\left(-j\pi\frac{N}{T^2}t^2\right) \exp\left(-j\frac{2\pi mt}{T}\right) \cdot \exp\left(j\pi\frac{N}{T^2}t^2\right) \exp\left(j\frac{2\pi nt}{T}\right) dt$$

简化后：

$$I_{mn} = \int_0^T \exp\left(j\frac{2\pi(n-m)t}{T}\right) dt$$

这是一个标准的复指数积分。当$m = n$时：

$$I_{mm} = \int_0^T 1 \cdot dt = T$$

当$m \neq n$时：

$$I_{mn} = \frac{T}{j2\pi(n-m)} \left[\exp\left(j\frac{2\pi(n-m)t}{T}\right)\right]_0^T = \frac{T}{j2\pi(n-m)} \left[\exp(j2\pi(n-m)) - 1\right]$$

由于$n-m$是整数，$\exp(j2\pi(n-m)) = 1$，因此$I_{mn} = 0$。归一化后得到：

$$\frac{1}{T} \int_0^T \psi_m^*(t) \psi_n(t) dt = \delta_{mn}$$

这证明了啁啾集合的正交性。

A.2 离散Fresnel变换的特征分解与快速算法

DFnT矩阵的构造涉及深刻的数论和群论概念。考虑$N$点DFnT矩阵$\Phi$，其元素为：

$$\Phi_{mn} = \frac{\omega^{1/8}}{\sqrt{N}} \omega^{(m^2+n^2-2mn)/N} = \frac{\omega^{1/8}}{\sqrt{N}} \omega^{(m-n)^2/N}$$

其中$\omega = \exp(j2\pi)$。这个矩阵具有几个重要性质：

性质1：酉性

$$\Phi^H \Phi = I_N$$

证明需要计算：

$$(\Phi^H \Phi)_{kl} = \sum_{m=0}^{N-1} \Phi_{mk}^* \Phi_{ml} = \frac{1}{N} \sum_{m=0}^{N-1} \omega^{-(m-k)^2/N} \omega^{(m-l)^2/N}$$

令$p = m - k$，求和变为：

$$(\Phi^H \Phi)_{kl} = \frac{1}{N} \sum_{p=0}^{N-1} \omega^{-p^2/N} \omega^{(p+k-l)^2/N}$$

展开$(p+k-l)^2$并整理：

$$(\Phi^H \Phi)_{kl} = \frac{\omega^{(k-l)^2/N}}{N} \sum_{p=0}^{N-1} \omega^{2p(k-l)/N}$$

当$k = l$时，求和为$N$；当$k \neq l$时，这是等比级数求和，结果为0。因此$(\Phi^H \Phi)_{kl} = \delta_{kl}$。

性质2：与DFT的关系

DFnT可以分解为三个矩阵的乘积：

$$\Phi = \omega^{1/8} \cdot D_1 \cdot F \cdot D_2$$

其中$F$是标准DFT矩阵，$D_1 = \text{diag}\{\omega^{m^2/2N}\}_{m=0}^{N-1}$，$D_2 = \text{diag}\{\omega^{n^2/2N}\}_{n=0}^{N-1}$。

这种分解的计算复杂度分析：

• $D_2$乘法：$N$次复数乘法
• FFT运算：$N\log N$次复数乘法
• $D_1$乘法：$N$次复数乘法
• 总复杂度：$O(N\log N) + 2N$

性质3：特征值结构

DFnT矩阵的特征值具有特殊结构。对于偶数$N$，特征值为：

$$\lambda_k = \exp\left(j\frac{\pi k^2}{N}\right), \quad k = 0, 1, ..., N-1$$

这些特征值在单位圆上呈二次相位分布，与线性相位的DFT特征值形成对比。

A.3 多径信道下的OCDM系统分析

考虑一个$L$径时变信道：

$$h(t,\tau) = \sum_{l=0}^{L-1} h_l(t) \delta(\tau - \tau_l)$$

其中$h_l(t)$是第$l$径的时变复增益，$\tau_l$是时延。在OCDM系统中，接收信号为：

$$r(t) = \sum_{l=0}^{L-1} h_l(t) s(t-\tau_l) + n(t)$$

将发射信号$s(t)$表示为啁啾叠加：

$$s(t) = \sum_{k=0}^{N-1} x_k \psi_k(t)$$

代入接收信号表达式：

$$r(t) = \sum_{l=0}^{L-1} \sum_{k=0}^{N-1} h_l(t) x_k \psi_k(t-\tau_l) + n(t)$$

关键洞察：啁啾信号的时延可以近似表示为Fresnel域的相位旋转。对于小时延$\tau_l \ll T$：

$$\psi_k(t-\tau_l) \approx \psi_k(t) \cdot \exp\left(-j2\pi k\tau_l/T\right) \cdot \exp\left(-j\pi N\tau_l^2/T^2\right)$$

第一个相位项是线性的（对应频移），第二个是二次的（对应啁啾率变化）。当$\tau_l$很小时，二次项可以忽略。

在接收端应用DFnT：

$$\mathbf{y} = \Phi \cdot \mathbf{r}$$

经过推导，Fresnel域的输入输出关系为：

$$y_m = \sum_{k=0}^{N-1} H_{mk} x_k + \eta_m$$

其中$H_{mk}$是等效的Fresnel域信道矩阵元素：

$$H_{mk} = \sum_{l=0}^{L-1} h_l \exp\left(-j2\pi(m-k)\tau_l/T\right)$$

这表明多径信道在Fresnel域表现为循环卷积，与OFDM在频域的情况类似，但具有更好的多普勒鲁棒性。

A.4 双选择性信道的BEM建模与LSQR均衡

对于同时具有时间选择性（多普勒）和频率选择性（多径）的双选择性信道，需要更复杂的建模。基扩展模型（BEM）提供了一种参数化方法：

$$h(n,l) = \sum_{q=0}^{Q-1} h_q(l) b_q(n)$$

其中$b_q(n)$是基函数，常用的选择包括：

复指数BEM（CE-BEM）：

$$b_q(n) = \exp\left(j2\pi qn/N\right)$$

多项式BEM（P-BEM）：

$$b_q(n) = \left(\frac{n}{N}\right)^q$$

广义复指数BEM（GCE-BEM）：

$$b_q(n) = \exp\left(j2\pi(q-Q/2)n/N\right) \cdot w(n)$$

其中$w(n)$是窗函数。

将BEM模型代入OCDM系统方程，得到矩阵形式：

$$\mathbf{r} = \mathbf{H} \cdot \mathbf{\Phi}^H \cdot \mathbf{x} + \mathbf{n}$$

其中$\mathbf{H}$是$N \times N$的信道矩阵，其元素为：

$$H_{mn} = \sum_{l=0}^{L-1} \sum_{q=0}^{Q-1} h_q(l) b_q(m) \delta(n-m-l)$$

这导致一个带状矩阵结构，带宽为$L$。

LSQR迭代均衡算法基于Krylov子空间方法求解最小二乘问题：

$$\min_{\mathbf{x}} \|\mathbf{r} - \mathbf{H}\mathbf{\Phi}^H\mathbf{x}\|^2 + \lambda\|\mathbf{x}\|^2$$

定义等效矩阵$\mathbf{A} = \mathbf{\Phi}\mathbf{H}\mathbf{\Phi}^H$，问题变为：

$$\min_{\mathbf{x}} \|\mathbf{y} - \mathbf{A}\mathbf{x}\|^2 + \lambda\|\mathbf{x}\|^2$$

其中$\mathbf{y} = \mathbf{\Phi}\mathbf{r}$。

LSQR算法步骤：

1. 初始化：$\mathbf{x}_0 = \mathbf{0}$，$\mathbf{v}_1 = \mathbf{y}/\|\mathbf{y}\|$，$\mathbf{u}_1 = \mathbf{A}\mathbf{v}_1$，$\alpha_1 = \|\mathbf{u}_1\|$，$\mathbf{u}_1 = \mathbf{u}_1/\alpha_1$

2. 对于$i = 1, 2, ..., i_{max}$：

   • 计算：$\mathbf{v}_{i+1} = \mathbf{A}^H\mathbf{u}_i - \alpha_i\mathbf{v}_i$
   • 正交化：$\beta_{i+1} = \|\mathbf{v}_{i+1}\|$，$\mathbf{v}_{i+1} = \mathbf{v}_{i+1}/\beta_{i+1}$
   • 计算：$\mathbf{u}_{i+1} = \mathbf{A}\mathbf{v}_{i+1} - \beta_{i+1}\mathbf{u}_i$
   • 正交化：$\alpha_{i+1} = \|\mathbf{u}_{i+1}\|$，$\mathbf{u}_{i+1} = \mathbf{u}_{i+1}/\alpha_{i+1}$
   • 更新解：通过QR分解求解三对角系统

3. 输出：$\mathbf{x}_{i_{max}}$

复杂度分析：每次迭代需要两次矩阵-向量乘法（$\mathbf{A}$和$\mathbf{A}^H$），由于$\mathbf{A}$的特殊结构（DFnT的组合），可以利用FFT加速，单次迭代复杂度为$O(N\log N)$。总复杂度为$O(i_{max} \cdot N\log N)$。

A.5 MIMO-OCDM的空时码设计

MIMO-OCDM系统结合了空间分集和啁啾分集。考虑$N_t$个发射天线和$N_r$个接收天线，设计目标是实现空时编码增益同时保持啁啾正交性。

空时啁啾码（STC）设计基于以下原则：

1. 空间正交性：不同天线发射的信号在空间上正交
2. 时间正交性：同一天线的不同时刻信号正交
3. 啁啾正交性：不同啁啾子载波正交

定义空时啁啾码矩阵$\mathbf{C} \in \mathbb{C}^{N_t \times N \times T}$，其中第$(p,k,t)$元素表示第$p$个天线在时刻$t$发射第$k$个啁啾的系数。

Alamouti型OCDM码（$N_t = 2$情况）：

时刻1：

• 天线1发射：$s_1(t) = \sum_{k=0}^{N-1} x_k \psi_k(t)$
• 天线2发射：$s_2(t) = \sum_{k=0}^{N-1} y_k \psi_k(t)$

时刻2：

• 天线1发射：$s_1(t) = -\sum_{k=0}^{N-1} y_k^* \psi_k(t)$
• 天线2发射：$s_2(t) = \sum_{k=0}^{N-1} x_k^* \psi_k(t)$

接收信号经过DFnT和空时解码，实现满分集增益$N_t \cdot N_r$。

性能分析通过成对错误概率（PEP）进行。假设发射$\mathbf{X}$被错误解码为$\mathbf{\hat{X}}$，PEP上界为：

$$P(\mathbf{X} \to \mathbf{\hat{X}}) \leq \prod_{i=1}^r \prod_{j=1}^{N_r} \frac{1}{1 + \frac{\lambda_i \rho}{4N_t}}$$

其中$\lambda_i$是差分矩阵$(\mathbf{X} - \mathbf{\hat{X}})(\mathbf{X} - \mathbf{\hat{X}})^H$的非零特征值，$r$是秩，$\rho$是信噪比。

分集增益：$G_d = r \cdot N_r$
编码增益：$G_c = \left(\prod_{i=1}^r \lambda_i\right)^{1/r}$

优化目标是最大化最小行列式：

$$\max_{\mathbf{C}} \min_{\mathbf{X} \neq \mathbf{\hat{X}}} \det\left[(\mathbf{X} - \mathbf{\hat{X}})(\mathbf{X} - \mathbf{\hat{X}})^H\right]$$

这是一个非凸优化问题，通常采用启发式算法求解。

A.6 非线性效应与PAPR优化

OCDM信号的高PAPR问题源于多个啁啾的相干叠加。瞬时功率峰值出现在所有啁啾同相的时刻：

$$|s(t)|^2_{max} = \left|\sum_{k=0}^{N-1} x_k \psi_k(t)\right|^2_{max} \leq N^2 \cdot \max_k |x_k|^2$$

平均功率为：

$$P_{avg} = \frac{1}{T} \int_0^T |s(t)|^2 dt = \sum_{k=0}^{N-1} |x_k|^2$$

最坏情况PAPR：

$$\text{PAPR} = \frac{|s(t)|^2_{max}}{P_{avg}} = N$$

以dB表示：$\text{PAPR}_{dB} = 10\log_{10}(N)$

选择性映射（SLM）优化：生成$U$个候选信号，选择PAPR最小的：

$$s^{(u)}(t) = \sum_{k=0}^{N-1} x_k b_k^{(u)} \psi_k(t), \quad u = 1, ..., U$$

其中$b_k^{(u)} \in \{\pm 1, \pm j\}$是相位旋转因子。

最优相位序列选择：

$$u^* = \arg\min_u \max_t |s^{(u)}(t)|^2$$

PAPR降低的概率分析：

$$P(\text{PAPR} > \gamma) = \left[1 - (1 - e^{-\gamma})^N\right]^U$$

对于$U = 16$，$N = 256$，可实现约3 dB的PAPR降低（在$10^{-3}$ CCDF处）。

削波驱动啁啾选择（CDCS）：通过优化啁啾激活模式降低PAPR。定义激活向量$\mathbf{a} = [a_0, a_1, ..., a_{N-1}]$，$a_k \in \{0, 1\}$，约束$\sum_k a_k = K < N$。

优化问题：

$$\min_{\mathbf{a}, \mathbf{x}} \max_t \left|\sum_{k=0}^{N-1} a_k x_k \psi_k(t)\right|^2$$

受约束于：

• $\sum_k a_k = K$（稀疏度约束）
• 保持目标数据率

这是一个组合优化问题，可用遗传算法或贪婪算法求解。

A.7 克拉美罗下界与最优估计器设计

OCDM雷达的参数估计精度由Fisher信息矩阵决定。考虑估计目标参数向量$\boldsymbol{\theta} = [\tau, f_d, h_r, h_i]^T$，其中$\tau$是时延，$f_d$是多普勒，$h_r, h_i$是复信道增益的实部和虚部。

接收信号模型：

$$r(t) = h \cdot s(t-\tau) \cdot e^{j2\pi f_d t} + n(t)$$

其中$n(t)$是均值为0、方差为$\sigma^2$的复高斯噪声。

Fisher信息矩阵元素为：

$$J_{ij} = \frac{2}{\sigma^2} \text{Re}\left\{\int_0^T \frac{\partial s^*(t;\boldsymbol{\theta})}{\partial \theta_i} \cdot \frac{\partial s(t;\boldsymbol{\theta})}{\partial \theta_j} dt\right\}$$

对于时延估计：

$$\frac{\partial s(t;\tau)}{\partial \tau} = -\frac{ds(t-\tau)}{dt}$$

利用Parseval定理：

$$J_{\tau\tau} = \frac{2|h|^2}{\sigma^2} \int_{-\infty}^{\infty} (2\pi f)^2 |S(f)|^2 df = \frac{8\pi^2|h|^2}{\sigma^2} \cdot \beta^2$$

其中$\beta^2 = \int f^2 |S(f)|^2 df / \int |S(f)|^2 df$是有效带宽的平方。

对于OCDM信号：

$$\beta^2 = \frac{B^2}{12} + \left(\frac{B}{2}\right)^2 = \frac{B^2}{3}$$

因此时延估计的CRLB：

$$\text{var}(\hat{\tau}) \geq \frac{1}{J_{\tau\tau}} = \frac{3\sigma^2}{8\pi^2|h|^2B^2}$$

转换为距离精度：

$$\sigma_r = c \cdot \sigma_\tau \geq \frac{c}{2\pi B} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{8|h|^2}{3\sigma^2}}} = \frac{c}{2\pi B \sqrt{8\text{SNR}/3}}$$

类似地，多普勒估计的CRLB：

$$\text{var}(\hat{f}_d) \geq \frac{3\sigma^2}{8\pi^2|h|^2T^2}$$

速度精度：

$$\sigma_v \geq \frac{\lambda}{2\pi T \sqrt{8\text{SNR}/3}}$$

联合CRLB矩阵的逆给出参数估计的协方差下界：

$$\text{Cov}(\hat{\boldsymbol{\theta}}) \geq \mathbf{J}^{-1}$$

对于MIMO-OCDM，Fisher信息矩阵需要考虑空间维度：

$$J_{ij}^{MIMO} = \sum_{p=1}^{N_t} \sum_{q=1}^{N_r} J_{ij}^{(p,q)}$$

实现$N_t \times N_r$倍的有效SNR提升。

A.8 广义OCDM与分数阶Fresnel变换

最新的研究引入了广义OCDM（GOCDM）框架，基于分数阶Fresnel变换（FrFT）：

$$\mathcal{F}^\alpha[s(t)] = \sqrt{\frac{1-j\cot\alpha}{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} s(\tau) \exp\left(\frac{j(\tau^2+t^2)\cot\alpha - 2j\tau t\csc\alpha}{2}\right) d\tau$$

其中$\alpha$是变换阶数，$\alpha = \pi/2$对应标准Fourier变换，$\alpha = \pi/4$接近标准Fresnel变换。

离散分数阶Fresnel变换（DFrFT）矩阵：

$$\Phi^\alpha_{mn} = \frac{1}{\sqrt{N}} \exp\left(j\frac{\pi}{2}\alpha\right) \exp\left(j\pi\frac{(m^2+n^2)\cos\alpha - 2mn}{N\sin\alpha}\right)$$

通过调整$\alpha$，可以在不同的优化目标之间权衡：

• $\alpha \to 0$：最小化时域PAPR
• $\alpha = \pi/4$：平衡时频域特性
• $\alpha \to \pi/2$：最大化频域平坦度

自适应阶数选择基于信道状态：

$$\alpha^* = \arg\min_\alpha \mathbb{E}\left[\|\mathbf{y} - \mathbf{H}_\alpha \mathbf{x}\|^2\right]$$

其中$\mathbf{H}_\alpha$是阶数为$\alpha$时的等效信道矩阵。