PMCW雷达技术的理解与FMCW对比

雷达测距的基本原理

想象在山谷中大喊一声，声音碰到对面山壁反弹回来，通过计算回声返回的时间就能知道山壁的距离。雷达的工作原理与此类似，只不过它发射的是电磁波而非声波。传统脉冲雷达就是这样工作的：发射一个短脉冲，然后等待回波，通过飞行时间计算距离：

$$R = \frac{c \cdot \tau}{2}$$

其中 $R$ 是目标距离，$c$ 是光速（约 $3 \times 10^8$ m/s），$\tau$ 是往返时间，除以2是因为电磁波需要往返一次。

但这种方法在汽车雷达或激光雷达中遇到了困难。问题在于近距离探测时，发射和接收几乎同时发生，系统很难区分"正在发射的信号"和"刚刚返回的微弱回波"。就像你不可能在自己大喊的同时听清远处传来的轻微回声一样。

FMCW：用频率变化来编码时间

FMCW（Frequency Modulated Continuous Wave，调频连续波）雷达提供了一个巧妙的解决方案。它不发射短脉冲，而是持续发射信号，但这个信号的频率在不断变化，通常是线性增加的，我们称之为"chirp"（啁啾信号）。

发射频率随时间的变化可以表示为：

$$f_{TX}(t) = f_0 + \alpha t$$

其中 $f_0$ 是起始频率，$\alpha = \frac{B}{T_{chirp}}$ 是调频斜率，$B$ 是带宽，$T_{chirp}$ 是一个chirp的持续时间。

当这个信号碰到目标返回时，由于存在往返延迟 $\tau$，接收到的信号频率是：

$$f_{RX}(t) = f_0 + \alpha(t - \tau)$$

雷达接收机会将发射信号和接收信号混频，产生一个差频信号（拍频）：

$$f_{beat} = f_{TX}(t) - f_{RX}(t) = \alpha \tau = \frac{B}{T_{chirp}} \cdot \frac{2R}{c}$$

这个差频是恒定的！通过测量这个拍频，我们就能反推出距离：

$$R = \frac{c \cdot f_{beat} \cdot T_{chirp}}{2B}$$

这就是FMCW的核心思想：用频率的差异来编码时间的延迟。这种方法的优势在于发射和接收可以同时进行，不需要高速开关，硬件实现相对简单。对于测速，FMCW使用多普勒效应，运动目标会在拍频上叠加一个多普勒频移 $f_d = \frac{2v}{\lambda}$，其中 $v$ 是径向速度，$\lambda$ 是波长。

PMCW：用相位变化来编码信息

现在让我们转向PMCW（Phase Modulated Continuous Wave，相位调制连续波）。如果说FMCW是通过改变频率来编码信息，那么PMCW则是通过改变相位来实现同样的目标。

在PMCW系统中，发射的是恒定频率的载波，但这个载波的相位会按照特定的编码序列快速变化。最常用的是二进制相位调制，即相位在0和 $\pi$ 之间跳变。我们可以用一个伪随机码序列 $c(t)$ 来表示这种相位调制：

$$s_{TX}(t) = A \cos(2\pi f_0 t + \phi(t))$$

其中相位 $\phi(t) = \pi \cdot c(t)$，而 $c(t) \in \{0, 1\}$ 是编码序列。

这个编码序列就像是一个独特的"指纹"。当信号从目标反射回来时，接收到的是延迟了 $\tau$ 的同样编码：

$$s_{RX}(t) = A' \cos(2\pi f_0 (t-\tau) + \phi(t-\tau))$$

接收机通过相关运算将接收信号与本地参考信号进行比对。这个相关运算的数学表达式是：

$$R(\tau) = \int_0^T s_{TX}(t) \cdot s_{RX}(t+\tau) \, dt$$

当 $\tau$ 恰好等于信号往返延迟时，两个编码序列完美对齐，相关函数出现峰值。通过寻找相关峰的位置，我们就能精确测量出延迟时间，进而计算距离：

$$R = \frac{c \cdot \tau_{peak}}{2}$$

PMCW的关键优势在于编码序列的选择。优秀的伪随机码（如Gold码或Kasami码）具有非常尖锐的自相关峰和极低的旁瓣，这意味着：

自相关函数可以近似为：

$$R(\tau) \approx \begin{cases} N & \tau = 0 \\ \approx 0 & \tau \neq 0 \end{cases}$$

其中 $N$ 是码序列长度。这种尖锐的相关峰提供了极高的距离分辨率。

距离分辨率的数学比较

让我们比较两种技术的距离分辨率。这是雷达性能的关键指标之一。

对于FMCW，距离分辨率主要由带宽 $B$ 决定：

$$\Delta R_{FMCW} = \frac{c}{2B}$$

这是因为傅里叶变换的频率分辨率 $\Delta f = \frac{1}{T_{chirp}}$ 会转换为距离分辨率。如果使用4 GHz的带宽，理论分辨率约为3.75厘米。

对于PMCW，距离分辨率由码片时长 $T_{chip}$（单个相位跳变的持续时间）决定：

$$\Delta R_{PMCW} = \frac{c \cdot T_{chip}}{2}$$

如果码片速率是1 Gcps（每秒10亿个码片），那么 $T_{chip} = 1$ 纳秒，理论分辨率约为15厘米。但这里有个微妙之处：PMCW可以通过相位内插技术将分辨率进一步提升。由于相关峰的形状是可预测的，我们可以用多个采样点拟合峰值位置，实现亚码片级的分辨率：

$$\Delta R_{effective} = \frac{c \cdot T_{chip}}{2 \cdot \sqrt{SNR}}$$

其中 $SNR$ 是信噪比。在高信噪比条件下，PMCW的有效分辨率可以远超码片限制。

多普勒测速与距离-速度耦合

速度测量是另一个关键维度。FMCW在这方面面临一个根本性挑战，称为距离-速度耦合问题。

当目标运动时，除了距离导致的时延 $\tau$，还有多普勒频移 $f_d = \frac{2v f_0}{c}$。此时拍频变为：

$$f_{beat} = \alpha \tau + f_d = \frac{2B R}{c \cdot T_{chirp}} + \frac{2v f_0}{c}$$

问题来了：从单个chirp的拍频中，我们无法分离出距离项和速度项。这就像一个方程有两个未知数，无法唯一求解。解决方法是使用多个不同斜率的chirp（上扫频和下扫频），通过求解方程组来分离距离和速度：

$$\begin{cases} f_{up} = \frac{2B R}{c \cdot T_{chirp}} + f_d \\ f_{down} = -\frac{2B R}{c \cdot T_{chirp}} + f_d \end{cases}$$

解得：

$$R = \frac{c \cdot T_{chirp}(f_{up} + f_{down})}{4B}$$

$$v = \frac{c(f_{up} - f_{down})}{4f_0}$$

PMCW则采用完全不同的策略。由于它发射的是恒定频率的载波，多普勒效应会在接收信号中引入相位旋转。如果我们连续发射多个相同的编码序列，每个序列返回时的相位会因多普勒效应而递增：

$$\Delta \phi = 2\pi f_d T_{code}$$

其中 $T_{code}$ 是一个完整编码序列的持续时间。通过测量连续相关峰之间的相位变化，可以直接提取多普勒频移：

$$f_d = \frac{\Delta \phi}{2\pi T_{code}}$$

进而计算速度：

$$v = \frac{c \cdot f_d}{2f_0} = \frac{c \cdot \Delta \phi}{4\pi f_0 T_{code}}$$

关键的是，这个速度测量与距离测量是完全独立的。距离信息来自相关峰的时间位置，速度信息来自相关峰的相位变化，两者互不干扰。这就是PMCW的"距离-速度解耦"特性。

抗干扰能力与多用户场景

想象一下未来的道路场景：成千上万辆自动驾驶汽车，每辆车上都装着雷达或激光雷达。这些传感器会互相干扰吗？这个问题在FMCW和PMCW中有着截然不同的答案。

FMCW雷达的抗干扰能力相对较弱。假设两辆车都使用FMCW雷达，工作在相同的频段。当车A的雷达接收机收到车B的雷达发射信号时，会产生虚假的拍频信号。由于FMCW的chirp参数相对固定（带宽、扫频时间都是有限的选择），不同雷达之间的干扰概率很高。即使使用随机化技术（如TDM时分复用或随机chirp起始时间），在高密度场景下仍然会出现冲突。

数学上，两个FMCW信号的干扰可以建模为：

$$s_{interference}(t) = A_1 \cos(2\pi f_1(t)) + A_2 \cos(2\pi f_2(t))$$

当两个信号的瞬时频率接近时，混频后会产生低频拍频，恰好落在目标回波的频率范围内，造成虚假目标。

PMCW在这方面具有天然优势。不同的PMCW系统可以使用不同的编码序列。优秀的码序列设计保证了互相关性极低：

$$R_{cross}(\tau) = \int_0^T c_1(t) \cdot c_2(t+\tau) \, dt \approx 0$$

这意味着接收机在做相关运算时，会自动抑制使用其他编码的干扰信号。即使两个PMCW雷达在完全相同的频率上工作，只要编码不同，它们就能互不干扰。理论上，可用的正交码序列数量随码长指数增长。对于长度为 $N$ 的伪随机码，可以生成约 $\frac{2^N}{N}$ 个低互相关码序列。在 $N=127$ 的情况下，可用码序列超过 $10^{36}$ 个，远远超过任何实际应用需求。

硬件实现的复杂度权衡

从工程实现角度看，FMCW和PMCW各有优劣。

FMCW的硬件架构相对成熟。它需要一个压控振荡器（VCO）来产生线性调频信号，一个混频器来产生拍频，以及模数转换器（ADC）和FFT处理器来分析频谱。这套架构已经在毫米波雷达中广泛应用。主要挑战在于VCO的线性度：任何非线性都会导致拍频的不准确，从而影响距离测量精度。用数学语言描述，理想的调频应该是 $f(t) = f_0 + \alpha t$，但实际VCO产生的可能是 $f(t) = f_0 + \alpha t + \epsilon(t)$，其中 $\epsilon(t)$ 是非线性误差。这个误差需要通过校准来补偿。

PMCW的硬件实现则更接近数字通信系统。它需要高速相位调制器、高速采样ADC和实时相关器。相位调制器需要在纳秒级时间内完成0和 $\pi$ 的相位跳变，这对器件的响应速度和带宽提出了很高要求。相关运算 $R(\tau) = \sum_{i=0}^{N-1} c_i \cdot r_{i+\tau}$ 需要大量的乘加运算，通常通过专用FPGA或ASIC来实现。

功耗方面，FMCW的连续发射模式意味着功放一直工作在较高功率，而PMCW由于采用编码调制，可以更灵活地控制平均功率和峰值功率的比例。这在激光雷达应用中尤为重要，因为人眼安全限制了激光的平均功率，而PMCW可以用高峰值功率、低占空比的脉冲来提高探测距离，同时保持平均功率在安全范围内。

测量精度与噪声性能

让我们深入探讨测量精度。在理想条件下，两种技术的理论精度都可以非常高，但噪声和干扰的影响方式不同。

FMCW的距离测量精度受到拍频测量精度的限制。通过FFT分析拍频时，频率分辨率为 $\Delta f = \frac{1}{T_{chirp}}$，但实际精度可以通过零填充FFT、相位差分等技术提升。在信噪比 $SNR$ 条件下，距离测量的均方根误差（RMSE）可以用克拉美罗界（Cramér-Rao Lower Bound）来估计：

$$\sigma_R = \frac{c}{2B \sqrt{2 \cdot SNR}}$$

这个公式告诉我们，增加带宽 $B$ 或提高信噪比都能改善精度。

PMCW的距离精度同样受到信噪比的限制，但表现形式不同。相关峰的位置估计误差可以表示为：

$$\sigma_\tau = \frac{T_{chip}}{\sqrt{12 \cdot SNR}}$$

转换为距离误差：

$$\sigma_R = \frac{c \cdot T_{chip}}{2\sqrt{12 \cdot SNR}}$$

有趣的是，两种技术的精度都与 $\frac{1}{\sqrt{SNR}}$ 成正比，这是统计测量的基本规律。

在多径环境中，两种技术的表现差异更加明显。FMCW在存在多个反射路径时，会在频谱中产生多个峰值，每个峰值对应一个路径。如果两个路径的距离差小于距离分辨率 $\frac{c}{2B}$，它们会混叠在一起，难以分离。

PMCW的相关函数具有更好的旁瓣抑制特性。对于精心设计的伪随机码，主瓣与旁瓣的比值可以达到：

$$SLR = 10 \log_{10}(N) \text{ dB}$$

其中 $N$ 是码长。对于 $N=1023$ 的码序列，旁瓣抑制比约为30 dB。这意味着即使存在强烈的多径反射，只要路径延迟超过一个码片，PMCW就能有效分离它们。

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附录：核心数学推导

A1. FMCW信号的完整数学模型

A1.1 复数表示与解析信号

我们首先建立FMCW信号的严格数学表达。使用复数形式可以大大简化推导。发射信号的解析表示为：

$$s_{TX}(t) = A_0 e^{j\phi_{TX}(t)}$$

其中瞬时相位为：

$$\phi_{TX}(t) = 2\pi \int_0^t f_{TX}(\tau) \, d\tau = 2\pi \int_0^t (f_0 + \alpha \tau) \, d\tau$$

计算这个积分：

$$\phi_{TX}(t) = 2\pi \left( f_0 t + \alpha \frac{t^2}{2} \right) = 2\pi f_0 t + \pi \alpha t^2$$

因此完整的发射信号为：

$$s_{TX}(t) = A_0 e^{j(2\pi f_0 t + \pi \alpha t^2)}$$

A1.2 目标回波与时延效应

假设目标位于距离 $R(t)$ 处，由于信号需要往返，时延为 $\tau(t) = \frac{2R(t)}{c}$。接收信号是发射信号的延迟和衰减版本：

$$s_{RX}(t) = A_r e^{j\phi_{TX}(t-\tau)} = A_r e^{j[2\pi f_0(t-\tau) + \pi \alpha (t-\tau)^2]}$$

展开平方项：

$$(t-\tau)^2 = t^2 - 2t\tau + \tau^2$$

因此接收信号的相位为：

$$\phi_{RX}(t) = 2\pi f_0(t-\tau) + \pi \alpha(t^2 - 2t\tau + \tau^2)$$

$$= 2\pi f_0 t + \pi \alpha t^2 - 2\pi f_0 \tau - 2\pi \alpha t\tau + \pi \alpha \tau^2$$

A1.3 混频与拍频信号推导

接收机将接收信号与发射信号的共轭相乘（这就是混频的数学本质）：

$$s_{IF}(t) = s_{RX}(t) \cdot s_{TX}^*(t) = A_r A_0 e^{j[\phi_{RX}(t) - \phi_{TX}(t)]}$$

相位差为：

$$\Delta \phi(t) = \phi_{RX}(t) - \phi_{TX}(t) = -2\pi f_0 \tau - 2\pi \alpha t\tau + \pi \alpha \tau^2$$

通常情况下，$\tau$ 非常小（微秒量级），因此 $\tau^2$ 项可以忽略：

$$\Delta \phi(t) \approx -2\pi f_0 \tau - 2\pi \alpha t\tau = -2\pi \tau(f_0 + \alpha t)$$

中频信号的瞬时频率定义为相位对时间的导数：

$$f_{IF}(t) = \frac{1}{2\pi} \frac{d(\Delta \phi)}{dt} = -\frac{\tau}{2\pi} \frac{d}{dt}[2\pi(f_0 + \alpha t)] = -\alpha \tau$$

取绝对值，拍频为：

$$f_{beat} = \alpha \tau = \frac{B}{T_{chirp}} \cdot \frac{2R}{c} = \frac{2BR}{c T_{chirp}}$$

这就严格推导出了FMCW的基本测距公式。

A1.4 多普勒效应的完整分析

当目标以径向速度 $v$ 运动时，瞬时距离为 $R(t) = R_0 + vt$，时延变为时间的函数：

$$\tau(t) = \frac{2R(t)}{c} = \frac{2(R_0 + vt)}{c} = \tau_0 + \frac{2v}{c}t$$

其中 $\tau_0 = \frac{2R_0}{c}$ 是初始时延。将这个时变时延代入接收信号的相位：

$$\phi_{RX}(t) = 2\pi f_0[t - \tau(t)] + \pi \alpha[t - \tau(t)]^2$$

$$= 2\pi f_0\left[t - \tau_0 - \frac{2v}{c}t\right] + \pi \alpha\left[t - \tau_0 - \frac{2v}{c}t\right]^2$$

$$= 2\pi f_0 t\left(1 - \frac{2v}{c}\right) - 2\pi f_0 \tau_0 + \pi \alpha\left[t\left(1 - \frac{2v}{c}\right) - \tau_0\right]^2$$

在低速近似下（$v \ll c$），使用一阶近似 $1 - \frac{2v}{c} \approx 1$ 处理平方项，但保留线性项的完整形式。经过繁琐但直接的代数运算，中频信号的瞬时频率为：

$$f_{IF}(t) = \alpha \tau_0 + f_0 \frac{2v}{c} = \frac{2BR_0}{cT_{chirp}} + \frac{2vf_0}{c}$$

定义多普勒频移 $f_d = \frac{2vf_0}{c}$，最终得到：

$$f_{beat} = \frac{2BR_0}{cT_{chirp}} + f_d$$

这清晰地展示了距离项和速度项的耦合关系。

A1.5 三角波调制的距离-速度解耦

为了分离距离和速度，使用上扫频（up-chirp）和下扫频（down-chirp）。上扫频时 $\alpha > 0$：

$$f_{up} = \alpha \tau + f_d = \frac{2BR}{cT_{chirp}} + \frac{2vf_0}{c}$$

下扫频时 $\alpha < 0$，注意拍频总是取绝对值：

$$f_{down} = |\alpha| \tau - f_d = \frac{2BR}{cT_{chirp}} - \frac{2vf_0}{c}$$

这是一个二元一次方程组。求和消去多普勒项：

$$f_{up} + f_{down} = 2 \cdot \frac{2BR}{cT_{chirp}}$$

$$\Rightarrow R = \frac{c T_{chirp}(f_{up} + f_{down})}{4B}$$

求差消去距离项：

$$f_{up} - f_{down} = 2f_d = \frac{4vf_0}{c}$$

$$\Rightarrow v = \frac{c(f_{up} - f_{down})}{4f_0}$$

这个解耦方案是FMCW雷达的核心技术之一。

A2. PMCW信号的相关理论

A2.1 相位调制信号的数学描述

PMCW发射信号可以写成：

$$s_{TX}(t) = A_0 \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n p(t - nT_{chip}) e^{j2\pi f_0 t}$$

其中 $c_n \in \{-1, +1\}$ 是双极性编码序列（对应相位0和 $\pi$），$p(t)$ 是码片脉冲成形函数，通常为矩形脉冲：

$$p(t) = \begin{cases} 1 & 0 \leq t < T_{chip} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

为了简化分析，我们使用基带等效表示。定义复包络为：

$$\tilde{s}_{TX}(t) = A_0 \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n p(t - nT_{chip})$$

则实际信号为：

$$s_{TX}(t) = \text{Re}\{\tilde{s}_{TX}(t) e^{j2\pi f_0 t}\}$$

A2.2 相关接收的物理意义

接收信号经过混频下变频到基带后，其复包络为：

$$\tilde{s}_{RX}(t) = A_r \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n p(t - nT_{chip} - \tau) e^{j2\pi f_d t}$$

其中我们已经包含了多普勒相移 $e^{j2\pi f_d t}$。相关接收器计算：

$$R(\tau') = \int_{-\infty}^{\infty} \tilde{s}_{RX}(t) \tilde{s}_{TX}^*(t - \tau') \, dt$$

代入表达式：

$$R(\tau') = A_0 A_r \int_{-\infty}^{\infty} \left[\sum_{n} c_n p(t - nT_{chip} - \tau) e^{j2\pi f_d t}\right] \left[\sum_{m} c_m p(t - mT_{chip} - \tau')\right]^* dt$$

$$= A_0 A_r \sum_{n,m} c_n c_m^* \int_{-\infty}^{\infty} p(t - nT_{chip} - \tau) p(t - mT_{chip} - \tau') e^{j2\pi f_d t} \, dt$$

A2.3 离散时间相关函数

在实际数字系统中，信号被采样为离散序列。假设采样率足够高，每个码片包含 $N_s$ 个采样点。定义离散编码序列 $\{c_n\}$，长度为 $N$。离散自相关函数定义为：

$$R[k] = \sum_{n=0}^{N-1} c_n c_{n+k}$$

其中 $k$ 是时延（以码片为单位），下标采用模 $N$ 运算。

对于理想的伪随机序列（如m序列），自相关函数具有理想的"图钉"形状：

$$R[k] = \begin{cases} N & k = 0 \\ -1 & k \neq 0 \end{cases}$$

这里 $R[0] = N$ 是完全匹配时的相关值，而 $R[k \neq 0] = -1$ 对应不匹配时的值。归一化后，自相关系数为：

$$\rho[k] = \frac{R[k]}{N} = \begin{cases} 1 & k = 0 \\ -\frac{1}{N} & k \neq 0 \end{cases}$$

旁瓣水平为 $-\frac{1}{N}$，当 $N$ 很大时可以忽略不计。

A2.4 功率谱密度与带宽

PMCW信号的功率谱密度（PSD）对理解其频谱特性至关重要。对于随机编码序列，基带复包络的自相关函数为：

$$R_{\tilde{s}}(\tau) = E[\tilde{s}(t) \tilde{s}^*(t-\tau)] = A_0^2 E[c_n c_{n-k}] R_p(\tau - kT_{chip})$$

其中 $R_p(\tau)$ 是码片脉冲的自相关。对于均匀分布的随机码：

$$E[c_n c_{n-k}] = \begin{cases} 1 & k = 0 \\ 0 & k \neq 0 \end{cases}$$

因此：

$$R_{\tilde{s}}(\tau) = A_0^2 R_p(\tau)$$

通过维纳-辛钦定理，功率谱密度是自相关函数的傅里叶变换：

$$S_{\tilde{s}}(f) = \mathcal{F}\{R_{\tilde{s}}(\tau)\} = A_0^2 |P(f)|^2$$

其中 $P(f) = \mathcal{F}\{p(t)\}$ 是码片脉冲的傅里叶变换。对于矩形脉冲：

$$P(f) = T_{chip} \cdot \text{sinc}(\pi f T_{chip})$$

因此功率谱为：

$$S_{\tilde{s}}(f) = A_0^2 T_{chip}^2 \cdot \text{sinc}^2(\pi f T_{chip})$$

带宽通常定义为第一零点，即 $B = \frac{1}{T_{chip}}$。这与距离分辨率的关系为：

$$\Delta R = \frac{c \cdot T_{chip}}{2} = \frac{c}{2B}$$

与FMCW的分辨率公式形式相同！

A3. 多普勒效应在PMCW中的精确处理

A3.1 相位演化的数学模型

当目标以速度 $v$ 运动时，每个返回的码序列都会携带累积的多普勒相移。假设发射 $M$ 个重复的编码序列，第 $m$ 个序列的中心时刻为 $t_m = mT_{code}$，其中 $T_{code} = NT_{chip}$ 是一个完整序列的持续时间。

第 $m$ 个接收序列的复包络可以写成：

$$\tilde{s}_{RX}^{(m)}(t) = A_r e^{j\phi_m} \sum_{n=0}^{N-1} c_n p(t - nT_{chip} - \tau)$$

其中相位 $\phi_m$ 是由多普勒效应引起的累积相位：

$$\phi_m = 2\pi f_d \cdot (mT_{code} + \tau) = 2\pi f_d \cdot mT_{code} + \phi_0$$

这里 $\phi_0 = 2\pi f_d \tau$ 是初始相位偏移。

A3.2 慢时间维度的离散傅里叶变换

将每个序列的相关峰的复数值排列成向量：

$$\mathbf{y} = [y_0, y_1, \ldots, y_{M-1}]^T$$

其中：

$$y_m = A_r A_0 N e^{j\phi_m} = A_r A_0 N e^{j2\pi f_d mT_{code}} e^{j\phi_0}$$

忽略常数幅度和初始相位，这是一个复指数序列。对其进行离散傅里叶变换（DFT）：

$$Y[k] = \sum_{m=0}^{M-1} y_m e^{-j2\pi km/M} = \sum_{m=0}^{M-1} e^{j2\pi(f_d T_{code} - k/M)m}$$

这是一个几何级数，其和为：

$$Y[k] = \frac{1 - e^{j2\pi M(f_d T_{code} - k/M)}}{1 - e^{j2\pi(f_d T_{code} - k/M)}}$$

当 $f_d T_{code} = \frac{k}{M}$ 时，即 $f_d = \frac{k}{MT_{code}}$，分母趋于零，$Y[k]$ 达到峰值 $M$。这就是速度测量的原理：在"慢时间"维度进行FFT，峰值位置对应多普勒频率。

速度分辨率为：

$$\Delta v = \frac{c}{2f_0 MT_{code}} = \frac{c \lambda}{2 \cdot T_{total}}$$

其中 $T_{total} = MT_{code}$ 是总观测时间，$\lambda = \frac{c}{f_0}$ 是波长。

A3.3 二维相关函数：距离-速度谱

完整的PMCW信号处理涉及二维匹配滤波。定义二维模糊函数（ambiguity function）：

$$\chi(\tau, f_d) = \left| \int_{-\infty}^{\infty} s(t) s^*(t - \tau) e^{j2\pi f_d t} \, dt \right|$$

对于PMCW信号，这可以分解为快时间（距离）和慢时间（速度）两个维度的处理。在离散域中，这等价于：

$$\chi[k, l] = \left| \sum_{m=0}^{M-1} \left[\sum_{n=0}^{N-1} r_{m,n} c_{n+k}\right] e^{-j2\pi ml/M} \right|$$

内层求和是对第 $m$ 个序列的距离相关，外层求和是对慢时间的多普勒FFT。最终得到距离-速度二维谱，目标在 $(k_0, l_0)$ 位置出现峰值，对应：

$$\tau = k_0 T_{chip}, \quad f_d = \frac{l_0}{MT_{code}}$$

A4. 噪声性能的统计分析

A4.1 克拉美罗下界（CRLB）的推导

克拉美罗下界给出了参数估计方差的理论下限。对于时延估计，CRLB定义为费舍尔信息矩阵的逆。

假设接收信号为：

$$r(t) = s(t - \tau) + n(t)$$

其中 $n(t)$ 是加性高斯白噪声，功率谱密度为 $N_0/2$。对数似然函数为：

$$\ln L(\tau) = -\frac{1}{N_0} \int_{-\infty}^{\infty} |r(t) - s(t-\tau)|^2 \, dt$$

费舍尔信息为：

$$I(\tau) = E\left[ \left( \frac{\partial \ln L(\tau)}{\partial \tau} \right)^2 \right] = \frac{2E_s}{N_0} \int_{-\infty}^{\infty} \left| \frac{ds(t)}{dt} \right|^2 dt$$

其中 $E_s = \int |s(t)|^2 dt$ 是信号能量。定义有效带宽：

$$B_{eff}^2 = \frac{1}{2\pi^2 E_s} \int_{-\infty}^{\infty} f^2 |S(f)|^2 \, df$$

其中 $S(f)$ 是信号的傅里叶变换。通过帕塞瓦尔定理，可以证明：

$$\int_{-\infty}^{\infty} \left| \frac{ds(t)}{dt} \right|^2 dt = 4\pi^2 \int_{-\infty}^{\infty} f^2 |S(f)|^2 \, df = 8\pi^2 E_s B_{eff}^2$$

因此费舍尔信息为：

$$I(\tau) = \frac{2E_s}{N_0} \cdot 8\pi^2 E_s B_{eff}^2 = \frac{16\pi^2 E_s^2 B_{eff}^2}{N_0}$$

定义信噪比 $SNR = \frac{E_s}{N_0}$，时延估计的CRLB为：

$$\text{Var}(\hat{\tau}) \geq \frac{1}{I(\tau)} = \frac{1}{16\pi^2 B_{eff}^2 \cdot SNR}$$

转换为距离估计：

$$\sigma_R = \frac{c}{2} \sigma_\tau \geq \frac{c}{8\pi B_{eff} \sqrt{SNR}}$$

对于FMCW，有效带宽约为 $B_{eff} \approx \frac{B}{\sqrt{12}}$（矩形谱的均方根带宽），因此：

$$\sigma_R \geq \frac{c\sqrt{12}}{8\pi B \sqrt{SNR}} \approx \frac{c}{2B\sqrt{2\pi^2 SNR}} \approx \frac{c}{2B\sqrt{2 SNR}}$$

这与之前给出的公式一致（相差一个接近1的数值因子）。

A4.2 PMCW相关峰估计的统计特性

对于PMCW，相关函数在存在噪声时为：

$$\hat{R}[k] = \sum_{n=0}^{N-1} (s_n + w_n) c_{n+k}$$

其中 $s_n$ 是信号，$w_n$ 是噪声。展开：

$$\hat{R}[k] = \underbrace{\sum_{n=0}^{N-1} s_n c_{n+k}}_{R_s[k]} + \underbrace{\sum_{n=0}^{N-1} w_n c_{n+k}}_{R_w[k]}$$

信号项 $R_s[k]$ 在 $k=0$ 时达到峰值 $N A_s$（假设信号幅度为 $A_s$）。噪声项 $R_w[k]$ 是零均值随机变量，方差为：

$$\text{Var}(R_w[k]) = E\left[ \left(\sum_n w_n c_{n+k}\right)^2 \right] = \sum_n E[w_n^2] c_{n+k}^2 = N \sigma_w^2$$

其中我们使用了 $c_{n+k}^2 = 1$ 和噪声独立性。信噪比定义为：

$$SNR = \frac{(N A_s)^2}{N \sigma_w^2} = \frac{N A_s^2}{\sigma_w^2}$$

峰值位置的估计通过内插实现。设真实峰值位于 $k_0 + \delta$，其中 $k_0$ 是整数部分，$0 \leq \delta < 1$ 是小数部分。使用抛物线拟合三个相邻点 $\hat{R}[k_0-1], \hat{R}[k_0], \hat{R}[k_0+1]$：

$$\delta = \frac{\hat{R}[k_0+1] - \hat{R}[k_0-1]}{2[\hat{R}[k_0+1] + \hat{R}[k_0-1] - 2\hat{R}[k_0]]}$$

在高信噪比下，可以证明 $\delta$ 的估计方差为：

$$\text{Var}(\hat{\delta}) \approx \frac{1}{8 \cdot SNR}$$

因此时延估计误差为：

$$\sigma_\tau = T_{chip} \sqrt{\text{Var}(\hat{\delta})} = \frac{T_{chip}}{2\sqrt{2 \cdot SNR}}$$

距离误差为：

$$\sigma_R = \frac{c T_{chip}}{4\sqrt{2 \cdot SNR}}$$

这与之前给出的公式形式一致。

A5. 互相关特性与码序列设计

A5.1 伪随机序列的数学性质

优秀的伪随机码序列需要满足三个基本性质：平衡性、游程性和相关性。我们重点分析相关性。

对于两个不同的码序列 $\{c_n^{(1)}\}$ 和 $\{c_n^{(2)}\}$，互相关函数定义为：

$$R_{12}[k] = \sum_{n=0}^{N-1} c_n^{(1)} c_{n+k}^{(2)}$$

理想情况下，我们希望对所有 $k$，$R_{12}[k] \approx 0$。然而，这在数学上是不可能完全实现的。实际追求的是使互相关的最大值尽可能小：

$$R_{max} = \max_{k} |R_{12}[k]|$$

A5.2 Gold码的构造与性质

Gold码是一类优秀的伪随机序列，由两个m序列模2加生成。设 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 是两个周期为 $N = 2^m - 1$ 的优选m序列对，Gold码族定义为：

$$\mathcal{G} = \{a_n \oplus b_{n+\tau} : \tau = 0, 1, \ldots, N-1\} \cup \{a_n\} \cup \{b_n\}$$

共有 $N+2$ 个码序列。Gold码的互相关值只取三个值：

$$R_{12}[k] \in \{-1, -t(m), t(m)-2\}$$

其中：

$$t(m) = \begin{cases} 2^{(m+1)/2} + 1 & m \text{ 为奇数} \\ 2^{(m+2)/2} + 1 & m \text{ 为偶数} \end{cases}$$

对于 $m=10$（$N=1023$），$t(10) = 65$，最大互相关值为65。归一化后：

$$\rho_{max} = \frac{65}{1023} \approx 0.0636$$

这意味着不同Gold码之间的互相关功率只有自相关的约0.4%，提供了极好的码分多址性能。

A5.3 Kasami码及其优越性

Kasami码提供了更低的互相关，但码字数量较少。小Kasami码集的构造基于m序列的抽取。设 $m$ 为偶数，$\{a_n\}$ 是周期 $N = 2^m - 1$ 的m序列。定义抽取序列：

$$b_n = a_{nd}, \quad d = 2^{m/2} + 1$$

小Kasami码集为：

$$\mathcal{K}_s = \{a_n \oplus b_{n+\tau} : \tau = 0, 1, \ldots, 2^{m/2}-1\}$$

共有 $2^{m/2}$ 个码字。其互相关值只取两个值：

$$R_{12}[k] \in \{-1, -1 - 2^{m/2}\}$$

对于 $m=10$，最大互相关值为 $1 + 2^5 = 33$，归一化后约为3.2%，比Gold码更优。

大Kasami码集结合了Gold码和小Kasami码的构造，码字数量为 $2^m(2^{m/2}+1)$，互相关性能与小Kasami码相当。这些理论保证了PMCW系统在密集部署时的优越抗干扰性能。