1 认知和信念

认识逻辑是哲学逻辑的一个子领域，涉及 知识、信仰和相关概念的逻辑方法。

虽然 任何具有认识论解释的逻辑都可以称为认识论逻辑，这是最广泛的认识论逻辑类型， 目前使用的是模态逻辑。

知识和信念是 通过模态运算符 K 和 B 表示。引起认知逻辑学家关注的核心问题包括： 例如，确定哪些认知原则最 适合描述知识和信仰，逻辑在不同知识和信仰概念之间的关系，以及 代理组的认识特征。

这超越哲学本身， 认知逻辑在理论计算机科学、人工智能、 经济学相关领域有广泛应用。

2 模态逻辑的 KD45 模型

这里接受 KD45 模态逻辑系统，它是信念逻辑（Doxastic Logic）中最常用的系统之一，用来描述智能体的信念（belief）而非知识。

• 目标

这里构建一个完整的 KD45 推理模型，并逐步解释其运作逻辑，包括每个步骤如何根据 KD45 公理进行推理。

KD45 是用来形式化 “信念” (Belief) 的模态逻辑系统。它是描述非完美理性智能体的一个经典模型。

KD45 公理系统如下：

  公理/规则							名称			含义说明
  K: B(φ → ψ) → (Bφ → Bψ)	分配律			信念对蕴含封闭
  D: Bφ → ◇φ				一致性			如果智能体相信 φ，则 φ 是可能的（不相信矛盾）
  4: Bφ → BBφ				正直性				如果 agent 相信 φ，就相信自己相信 φ
  5: ¬Bφ → B¬Bφ				反省性				如果 agent 不相信 φ，就相信自己不相信 φ

其中：

    Bφ 表示智能体相信 φ

    ◇φ ≡ ¬B¬φ 表示 φ 是可能的

• 示例推理场景（信念）

场景：

智能体 Alex 正在使用一个故障检测系统。传感器可能有误，但 Alex 对系统有“信念”而非“知识”。

我们设置以下命题：

  p：系统状态正常

  B(p)：Alex 相信系统状态正常

给定前提：

  B(p → q)：Alex 相信“如果系统正常，则不会报警”

  B(p)：Alex 相信系统正常

我们想问：Alex 是否相信“不会报警” (q)？

3 推理过程（基于 KD45）

我们将使用 KD45 的公理系统进行形式推导：

• Step 1: 应用公理 K（信念的分配律）

我们知道：

  (1) B(p → q)

  (2) B(p)

由公理 K：

	B(p → q) ∧ B(p) → B(q)

所以推出：

B(q)

• Step 2: 是否意味着 q 为真？不是

因为在 KD45 中，信念不一定为真。

这是与知识逻辑（S5）的关键区别：

  对比项目			知识逻辑 (S5)			信念逻辑 (KD45)
  K(φ) → 		φ	✅ 成立				❌ 不成立
  B(φ) → 		φ	❌ 不成立				❌ 不成立
  B(φ) → 		◇φ	✅ 成立（D 公理）		✅ 成立（D 公理）

所以虽然我们推导出 B(q)，但 q 可能是假的。Alex 可能在误判。

• Step 3: 引入公理 4（正直性）

从上面我们知道：

	B(q) ⇒ B(B(q))

即：

✅ B(B(q))：Alex 相信他相信 q

• Step 4: 引入公理 5（反省性）

如果我们没有 B(q)，也可以推导出：

	¬B(q) → B(¬B(q))

即，如果他不相信 q，他会知道他不相信 q。

这意味着智能体在 KD45 中有完全的自省能力，能意识到自己的不确定性。

✅ 推理结论：

我们从：

    B(p → q)

    B(p)

推出：

  B(q)

  B(B(q))

但是：

		q 本身未必为真（因为 KD45 没有 B(φ) → φ）

• 模型图示（知识 vs 信念）

信念状态（KD45）:

       状态1：p ∧ q         ← 真实世界可能是这样
       状态2：p ∧ ¬q        ← Alex 认为是 p ⇒ q，但错了
               ↑
          Alex believes in this path

他相信：

    - p → q
    - p

推导出：

    - B(q)
    - B(B(q))

但事实上：

		- q 未必为真（报警可能是错误触发）

4 Kripke 语义模型（简要）

KD45 中的 Kripke 框架如下：

世界集合 W

可达关系 R 是：

序列性（serial）：每个世界有至少一个可能世界（公理 D）

传递性：公理 4

欧拉性（Euclidean）：公理 5

KD45 所描述的是智能体的信念空间，不是现实中的绝对真理空间。

此推理展示了 KD45 系统如何模拟不完全信息下的智能体推理行为，它不仅表达信念本身，还能表达信念的信念、信念的不确定性等二阶心态结构。

5 对比知识逻辑 S5 与信念逻辑 KD45

项目			S5（知识）					KD45（信念）
适用概念		K(φ): Agent 知道 φ		B(φ): Agent 相信 φ
真理保证		K(φ) → φ ✅				B(φ) → φ ❌
自我认知		K(φ) → K(K(φ)) ✅		B(φ) → B(B(φ)) ✅
不信任推理	  ¬K(φ) → K(¬K(φ)) ✅		¬B(φ) → B(¬B(φ)) ✅
应用场景		AI 知识共享、分布式共识		信念建模、误信修正、博弈论

6 小结

我们专注于 know-that，即标准概念 在认识逻辑中分析。
然而，如前所述，在自然 语言中，我们也用 know-wh 来表达知识，即 动词 “know” 后跟嵌入的问题，例如：

Alice 知道这个说法是否属实。

Bob 知道密码是什么。

Charlie 知道如何证明这个定理。

Dave 知道为什么 Charlie 知道如何证明 定理。

给定：

  B(p → q)

  B(p)

我们推导出：

  B(q)（由公理 K）

  B(B(q))（由公理 4）

注意：q 可能为假（KD45 不保证信念的真实性）

对 know-wh 的处理也得到了大量 语言学中（嵌入式）问题的语义研究 （例如，Groenendijk & Stokhof 1982;Harrah 2002） 和认识论 知识-wh（例如，Stanley & Williamson 2001）。语言学家已经 讨论了带有嵌入式的认识表达的各种解读 问题。

    “know-whether”（以及 无知）已在van der Hoek和Lomuscio 2003中进行了探索;扇 Wang， & Ditmarsch 2015;和 Fine 2018。
    “know-what” 的逻辑 是另一个受到广泛关注的领域（Y. Wang & Fan） 2013;Baltag 2016），扩展了 Plaza （1989） 的“know-value”。
    “know-how” 已被研究 基于规划的方法，例如 Y. Wang 2018a;Fervari， Herzig 等 al. 2017;Li & Wang 2021b），以及基于联盟的方法，例如 Naumov & Tao 2017， 2018.这些作品与认识论有关 策略逻辑，例如 Alternating Epistemic Temporal Logic。 
    “know-why” 的逻辑由 Xu， Wang， & Studer （2021） 作为合理逻辑的量化版本的片段。
    “know-who” 已在 Wang 中被调查， Wei & Seligman 2022;以及 Epstein & Naumov 2021），并且已经 与 term-modal logic的连接。

know-wh 的逻辑是一个活跃的研究领域，有许多开放领域 问题。除了许多具体的技术问题外 现有的 know-WH 认识逻辑在各种方法中，有 还有许多关于 Know-WH 性质的概念性问题，即 鼓励系统的研究。

参考：

    https://rmi.tsu.ge/tolo4/abs/Ozgun.pdf