1 简介

不确定性建模，常借助概率论与期望值来分析和预测事件的平均行为，尤其在面对多个可能结果时，通过期望值可以为决策提供理性依据。

2 什么是期望值

期望值（Expected Value，简称 EV）是一个加权平均数，衡量某个随机事件“长期平均”的结果。

通用公式：

		E(X)= i=1∑n pi⋅xi

其中：𝑥_𝑖：第 𝑖 个可能结果的数值𝑝𝑖：第 i 个结果发生的概率；

所有 𝑝_𝑖 满足：∑_p_i=1。

3 期望值计算

✅ 示例 1：掷骰子的期望值

**问题：**一个标准六面骰子，掷一次的期望值是多少？

所有面：1, 2, 3, 4, 5, 6

每个点数的概率都是

		计算：E= 1/6(1+2+3+4+5+6)= 21/6=3.5

• 意思是：虽然不能掷出“3.5”，但长远来看，每次掷骰子的平均点数就是 3.5。

✅ 示例 2：彩票期望值（简化版）

• 彩票与抽奖

彩票的中奖概率 = 组合或排列数量的倒数。

例如双色球：从 33 个红球中选 6 个，1 个蓝球，总组合数达上千万。

**问题：**你花 10 元买一张彩票，中奖概率 1%，奖金为 1000 元。问：期望收益是多少？

两个可能结果：

中奖（1% 概率）：收益 = 1000 - 10 = 990 元

未中奖（99% 概率）：收益 = -10 元

计算：

		E=(0.01×990)+(0.99×−10)=9.9−9.9=0

• 这个模型中，彩票“数学上是公平的”，期望收益为零。但实际上很多彩票的期望值是负的（因为主办方盈利）。

✅ 示例 3：公司投资决策

• 资源分配与组合投资

投资组合：从不同股票中选几种组合成投资包。

医学试验：组合不同药物、剂量进行对比试验设计。

**问题：**某公司可投资一个项目，有以下三种可能结果：

结果类型 概率 p_i,收益 x_i
​
高收益 0.2 50 万元
一般收益 0.5 20 万元
亏损 0.3 -10 万元

期望收益：

		E=(0.2×50)+(0.5×20)+(0.3×−10)=10+10−3=17万元

✅ 公司在没有其它信息的前提下，可以用期望收益来判断：这个项目“平均能赚 17 万元”，是值得考虑的投资。

4 如何让期望值更符合实际？

尽管数学上的期望值清晰，但它在现实决策中并非总是“最优”依据。要让期望值更贴近实际，应考虑以下几点：

1. 引入风险厌恶因子

人通常不追求期望最大化，而追求“稳妥”。

引入效用函数（Utility Function），非线性映射收益，反映心理价值。

2. 考虑极端值影响

均值易被极大/小值拉动，使用中位数、分位数更稳健。

如彩票期望虽然为负，但巨大奖吸引人，是“高风险高回报”的典型偏离。

3. 加入现实条件限制

时间、预算、资源约束改变了原有概率分布或可选事件空间。

期望值应结合条件概率或**贝叶斯期望（Bayesian Expectation）**更新。

4. 动态期望与经验更新

利用马尔可夫决策过程（MDP）和强化学习，通过实际反馈动态修正期望值。