概率图模型：贝叶斯网络与马尔可夫模型的统一框架

概率图模型（Probabilistic Graphical Models, PGMs）作为概率论与图论的交叉学科，为复杂系统中的不确定性建模提供了强大工具。其中，贝叶斯网络（Bayesian Networks）和马尔可夫模型（Markov Models）是两类最核心的概率图模型，广泛应用于机器学习、计算机视觉、自然语言处理和生物信息学等领域。

概率图模型基础

概率图模型使用图结构来表示随机变量之间的概率依赖关系，其中：

• 节点（Vertices）：表示随机变量
• 边（Edges）：表示变量间的依赖关系

主要概率图模型分类

图1：概率图模型主要类型及其关系

有向与无向模型对比

贝叶斯网络：因果关系的图形化表示

贝叶斯网络是一种有向无环图（DAG），其节点代表随机变量，边表示变量间的直接因果关系。

贝叶斯网络三要素

1. 图结构：变量间的依赖关系
2. 条件概率表（CPT）：每个节点的局部概率分布
3. 联合概率分解：

   $$P(X_1,...,X_n) = \prod_{i=1}^n P(X_i|Pa(X_i))$$

   其中$Pa(X_i)$表示$X_i$的父节点

典型贝叶斯网络示例

考虑一个医疗诊断网络：

图2：简单医疗诊断贝叶斯网络

对应CPT示例：

贝叶斯网络推理算法比较

马尔可夫模型：序列依赖建模

马尔可夫模型基于马尔可夫性质——未来状态只依赖于当前状态，与过去状态无关。

马尔可夫模型家族

隐马尔可夫模型（HMM）详解

HMM由以下要素组成：

• 隐藏状态序列 $Q = q_1,...,q_T$
• 观测序列 $O = o_1,...,o_T$
• 状态转移矩阵 $A$
• 观测概率矩阵 $B$
• 初始状态分布 $\pi$

HMM三大问题及解法

其中N为隐藏状态数，T为序列长度

HMM与线性链CRF对比

应用案例与性能分析

实际应用对比

不同模型在文本分类中的表现

图3：不同概率图模型在文本分类任务中的性能比较

前沿发展与挑战

概率图模型的新进展

1. 深度概率图模型：

   • 变分自编码器（VAE）与图模型的结合
   • 图神经网络（GNN）增强的推理算法

2. 非参数化方法：

   • 高斯过程图模型
   • 狄利克雷过程混合模型

3. 可解释性增强：

   • 因果发现算法
   • 可解释的结构学习

主要挑战与解决方案

结论

概率图模型为处理不确定性提供了系统的数学框架，其中贝叶斯网络擅长建模因果关系，而马尔可夫模型则精于序列依赖分析。随着深度学习的发展，概率图模型正在与神经网络技术深度融合，形成更具表达力的混合模型。

未来趋势包括：

1. 概率编程语言的普及（如Pyro、Stan）
2. 自动结构学习算法的改进
3. 大规模分布式推理引擎的开发
4. 因果推理与强化学习的结合

掌握这些核心概率图模型不仅对理论研究至关重要，也是解决实际机器学习问题的利器。随着可解释AI需求的增长，概率图模型的价值将进一步凸显。