2025-04-13：范围内整数的最大得分。用go语言，给定一个整数数组 start 和一个整数 d，这代表了 n 个区间 [start[i], start[i] + d]。你的任务是从每个区间中选择一个整数，使得所选整数之间的最小绝对差值尽可能大。返回所选整数能够得到的最大最小绝对差值。

2 <= start.length <= 100000。

0 <= start[i] <= 1000000000。

0 <= d <= 1000000000。

输入： start = [6,0,3], d = 2。

输出： 4。

解释：

可以选择整数 8, 0 和 4 获得最大可能得分，得分为 min(|8 - 0|, |8 - 4|, |0 - 4|)，等于 4。

题目来自leetcode3280。

根据题目描述和提供的代码，解决该问题的步骤如下：

步骤解析

1. 排序预处理
   首先对输入的start数组进行排序。排序后区间顺序被调整为升序排列，便于后续的贪心策略按顺序处理每个区间。例如，输入[6,0,3]排序后变为[0,3,6]，对应的区间是[0,2]、[3,5]、[6,8]。

2. 二分搜索框架
   目标是找到最大的最小绝对差值（记为score）。采用二分法确定该值：
   • 初始范围：二分的上限设为(start[n-1] + d - start[0]) / (n-1)。这假设所有区间均匀分布时的最大可能差值。例如，当区间总长度为(8-0)=8且n=3时，初始上限为8/2=4，与样例输出一致。
   • 验证函数：对每个候选的score，判断是否能在所有区间中选出满足条件的数。若存在，尝试更大的score；否则减小。

3. 贪心验证策略
   在每次二分验证时，从第一个区间开始，依次为每个区间选择尽可能小的数，同时满足以下条件：
   • 当前数必须大于等于区间左端点（即≥start[i]）。
   • 当前数与前一个数的差值至少为score。
   具体实现中，变量x记录前一个区间的选择，每次更新为max(x+score, start[i])。若此值超过区间右端点（start[i]+d），则说明当前score过大，验证失败。

4. 边界处理
   当所有区间均满足条件时，返回true，表示可以尝试更大的score；否则返回false。最终通过二分逼近最大的可行score。

复杂度分析

• 时间复杂度：
• 排序：时间复杂度为O(n log n)，其中n为start数组长度。
• 二分验证：每次验证需要遍历n个区间，时间复杂度O(n)。二分次数为O(log C)（C为可能的score最大值，如1e9）。
总时间复杂度：O(n log n + n log C)，适用于n ≤ 1e5的规模。

• 空间复杂度：
仅需常数空间存储变量和排序（原地排序），因此总空间复杂度为O(1)。

关键点

• 贪心策略的有效性：通过按序处理区间并尽量选择最小的数，确保后续区间有更大的选择空间，从而最大化最小差值。
• 二分法的应用：将最优化问题转化为判定问题，通过高效验证函数快速收敛到最优解。
• 初始范围的合理性：通过均匀分布假设设定二分上限，避免无效搜索。

Go完整代码如下：

package main

import (
	"fmt"
	"slices"
	"sort"
	"math"
)

func maxPossibleScore(start []int, d int) int {
	slices.Sort(start)
	n := len(start)
	// 二分最小的不满足要求的 score+1，最终得到的答案就是最大的满足要求的 score
	return sort.Search((start[n-1]+d-start[0])/(n-1), func(score int) bool {
		score++
		x := math.MinInt
		for _, s := range start {
			x = max(x+score, s) // x 必须 >= 区间左端点 s
			if x > s+d {
				return true
			}
		}
		return false
	})
}

func main() {
	start := []int{6,0,3}
	d := 2
	results := maxPossibleScore(start,d)
	fmt.Println(results)
}

Python完整代码如下：

# -*-coding:utf-8-*-

import math

def maxPossibleScore(start, d):
    start.sort()
    n = len(start)
    if n == 1:
        return 0
    end = (start[-1] + d - start[0]) // (n - 1)
    left, right = 0, end
    ans = 0
    while left <= right:
        mid = (left + right) // 2
        score_plus_1 = mid + 1
        x = -math.inf
        possible = True
        for s in start:
            x = max(x + score_plus_1, s)
            if x > s + d:
                possible = False
                break
        if not possible:
            right = mid - 1
            ans = mid
        else:
            left = mid + 1
    return ans

# 测试示例
start = [6, 0, 3]
d = 2
print(maxPossibleScore(start, d))  # 输出结果为3