一个矩阵仅包含0或1，求由1组成的最大矩阵面积

要解决寻找由1组成的最大矩阵面积的问题，可以采用动态规划（Dynamic Programming, DP）的方法。以下是详细的解决方案及其步骤：

问题背景

给定一个二维矩阵 matrix，矩阵中每个元素都是0或1。目标是找到一个由1组成的最大矩形的面积。

解决步骤

1. 理解问题

   • 每个1可以作为矩形的一个边界，需要找到以这些1为边界的最大矩形。

2. 转换问题

   • 将问题转换为计算每个位置作为矩形底部时的最大高度，然后利用这些高度计算最大的矩形面积。

3. 动态规划思路

   • 对于每一行，计算从该行到矩阵顶部（或上一行的底部）连续1的长度。这将给出该行每一个位置作为矩形底部时的高度。
   • 使用这些高度，计算从该行开始向上的最大矩形面积。

4. 实现细节

   • 初始化一个与矩阵同高的 heights 数组，用于记录每个位置的连续1的长度。
   • 遍历矩阵的每一行，更新 heights 数组。
   • 对于每一行，使用一个辅助函数（如 largestRectangleArea）来找到这一行作为底部时最大矩形的面积。
   • 跟踪所有行作为底部时最大面积的最大值。

5. 辅助函数 - 计算最大矩形面积

   • 使用单调栈（Monotonic Stack）来高效计算给定高度数组的最大矩形面积，该方法的时间复杂度为O(n)。

Python 代码实现

def largestRectangleArea(heights):
    stack = [-1]
    max_area = 0
    for i in range(len(heights)):
        while stack[-1] != -1 and heights[stack[-1]] >= heights[i]:
            h = heights[stack.pop()]
            w = i - stack[-1] - 1
            max_area = max(max_area, h * w)
        stack.append(i)
    while stack[-1] != -1:
        h = heights[stack.pop()]
        w = len(heights) - stack[-1] - 1
        max_area = max(max_area, h * w)
    return max_area

def maximalRectangle(matrix):
    if not matrix: return 0
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    heights = [0] * n
    max_area = 0
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            heights[j] = heights[j] + 1 if matrix[i][j] == '1' else 0
        max_area = max(max_area, largestRectangleArea(heights))
    return max_area

# 示例使用
matrix = [
    ["1", "0", "1", "0", "0"],
    ["1", "0", "1", "1", "1"],
    ["1", "1", "1", "1", "1"],
    ["1", "0", "0", "1", "0"]
]
print(maximalRectangle(matrix))  # 输出: 6

代码解释

• largestRectangleArea 函数使用单调栈来计算给定高度数组的最大矩形面积。
• maximalRectangle 函数处理矩阵的输入，并通过更新 heights 数组来计算每一行作为底部时的最大矩形面积。

结论

通过上述方法，我们可以有效地找到由1组成的最大矩形的面积。这种方法的时间复杂度为O(m * n)，其中m是矩阵的行数，n是矩阵的列数。空间复杂度为O(n)，用于存储高度数组。