三、对引理 24.10 的证明进行改善，使其可以处理最短路径权重为 $∞$ 和 $-∞$ 的情况。引理 24.10(三角不等式)的内容是：设 $G=(V,E)$ 为一个带权重的有向图，其权重函数由 $w:E→R$ 给出，其源结点为 $s$ 。那么对于所有的边 $(u,v)∈E$ ，我们有$δ(s,u)⩽δ(s,u)+ w(u,v)$ 。如果要写代码，请用go语言。

文心一言：

为了处理最短路径权重为 $∞$ 和 $-∞$ 的情况，我们需要对三角不等式引理 24.10 的证明进行一定的调整。在这种情况下，我们需要特别注意权重的边界情况，即当路径不存在时，其权重应视为 $∞$，而当路径权重为 $-∞$ 时，也需要进行适当的处理。

下面是改进后的引理 24.10 的证明，以及使用 Go 语言实现的代码示例。

改进后的引理 24.10 证明

设 $G=(V,E)$ 为一个带权重的有向图，其权重函数由 $w:E→R$ 给出，其源结点为 $s$。我们需要证明对于所有的边 $(u,v)∈E$，有：

$$δ(s,v) \leqslant δ(s,u) + w(u,v)$$

其中 $δ(s,u)$ 表示从源结点 $s$ 到结点 $u$ 的最短路径权重。如果路径不存在，则 $δ(s,u) = ∞$。

证明：

1. 基础情况：如果 $δ(s,u) = ∞$，则 $δ(s,u) + w(u,v) = ∞$，因为 $w(u,v)$ 是有限的（可以是任意实数，包括 $∞$ 和 $-∞$，但在此上下文中，边的权重通常是有限的）。由于 $δ(s,v)$ 最多为 $∞$（如果路径不存在），因此不等式 $δ(s,v) \leqslant δ(s,u) + w(u,v)$ 成立。

2. 一般情况：假设 $δ(s,u)$ 是有限的，即存在从 $s$ 到 $u$ 的路径。那么 $δ(s,v)$ 要么是从 $s$ 到 $v$ 的直接路径（通过边 $(u,v)$），要么是通过其他路径到达 $v$。

   • 如果 $δ(s,v)$ 是通过边 $(u,v)$ 到达的，则 $δ(s,v) = δ(s,u) + w(u,v)$，不等式显然成立。
   • 如果 $δ(s,v)$ 不是通过边 $(u,v)$ 到达的，则 $δ(s,v)$ 必然小于或等于任何从 $s$ 到 $v$ 的其他路径的权重，包括通过 $u$ 再到 $v$ 的路径（即 $δ(s,u) + w(u,v)$）。因此，$δ(s,v) \leqslant δ(s,u) + w(u,v)$。

3. 特殊情况：如果 $w(u,v) = -∞$，则 $δ(s,u) + w(u,v)$ 可能为 $-∞$。在这种情况下，如果 $δ(s,v)$ 不是 $-∞$，则必然存在一条从 $s$ 到 $v$ 的路径，其权重是有限的（不是 $-∞$）。然而，由于我们可以总是选择通过 $u$ 和 $(u,v)$ 到达 $v$ 来获得权重 $-∞$（如果 $δ(s,u)$ 不是 $∞$），因此 $δ(s,v)$ 实际上应该是 $-∞$，使得不等式仍然成立。

Go 语言实现

以下是使用 Go 语言实现上述逻辑的示例代码：

package main

import (
	"fmt"
	"math"
)

// 定义图的边
type Edge struct {
	From, To int
	Weight   float64
}

// 计算最短路径权重的函数（使用 Floyd-Warshall 算法作为示例）
func shortestPaths(graph [][]Edge, numVertices int) [][]float64 {
	// 初始化距离矩阵
	dist := make([][]float64, numVertices)
	for i := range dist {
		dist[i] = make([]float64, numVertices)
		for j := range dist[i] {
			if i == j {
				dist[i][j] = 0
			} else {
				dist[i][j] = math.Inf(1) // 初始化为正无穷大
			}
		}
	}

	// 设置边的权重
	for _, vertex := range graph {
		for _, edge := range vertex {
			dist[edge.From][edge.To] = edge.Weight
		}
	}

	// Floyd-Warshall 算法
	for k := 0; k < numVertices; k++ {
		for i := 0; i < numVertices; i++ {
			for j := 0; j < numVertices; j++ {
				if dist[i][k] != math.Inf(1) && dist[k][j] != math.Inf(1) && dist[i][k]+dist[k][j] < dist[i][j] {
					dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j]
				}
			}
		}
	}

	return dist
}

// 检查三角不等式
func checkTriangleInequality(graph [][]Edge, source int, numVertices int) {
	dist := shortestPaths(graph, numVertices)

	for _, vertex := range graph {
		for _, edge := range vertex {
			u, v := edge.From, edge.To
			w := edge.Weight
			deltaSU := dist[source][u]
			deltaSV := dist[source][v]

			fmt.Printf("Checking (%d, %d) with weight %f: δ(s,u) = %f, δ(s,v) = %f\n", u, v, w, deltaSU, deltaSV)
			if !(deltaSV <= deltaSU+w) {
				fmt.Printf("Triangle inequality violated for (%d, %d)!\n", u, v)
			} else {
				fmt.Println("Triangle inequality holds.")
			}
		}
	}
}

func main() {
	// 示例图（邻接表表示）
	graph := [][]Edge{
		{{0, 1, 1.0}, {0, 2, 4.0}},
		{{1, 2, 2.0}, {1, 3, -math.Inf(1)}}, // 包含 -∞ 的边
		{{2, 3, 5.0}},
		{},
	}

	source := 0
	numVertices := len(graph)

	checkTriangleInequality(graph, source, numVertices)
}

在这个示例中，我们使用了 Floyd-Warshall 算法来计算最短路径权重，并检查三角不等式是否成立。注意，这个实现假设了边的权重可以是任意实数，包括 $∞$ 和 $-∞$。在实际应用中，你可能需要根据具体情况对算法进行调整，以处理特定的图结构和权重约束。

讯飞星火：

为了处理最短路径权重为 $∞$ 和 $-∞$ 的情况，我们需要对引理 24.10 进行一些修改。在带权重的有向图中，如果存在一条边的权重为 $∞$ 或 $-∞$，那么这条边的存在可能会影响最短路径的计算。

以下是改进后的引理 24.10 以及相应的 Go 语言代码实现：

改进后的引理 24.10

设 $G=(V,E)$ 为一个带权重的有向图，其权重函数由 $w:E→R$ 给出，其源结点为 $s$。对于所有的边 $(u,v)∈E$，我们有：

$$δ(s,u) + w(u,v) \leq δ(s,v)$$

其中，$δ(s,u)$ 表示从源结点 $s$ 到结点 $u$ 的最短路径权重。

Go 语言代码实现

package main

import (
	"fmt"
	"math"
)

// Edge represents a directed edge with a weight
type Edge struct {
	from   int
	to     int
	weight float64
}

// Graph represents a directed graph with weights
type Graph struct {
	vertices int
	edges    []Edge
}

// BellmanFord implements the Bellman-Ford algorithm to find shortest paths from source vertex
func BellmanFord(graph *Graph, source int) ([]float64, error) {
	distance := make([]float64, graph.vertices)
	for i := range distance {
		distance[i] = math.Inf(1) // Initialize distances to infinity
	}
	distance[source] = 0 // Distance to the source is zero

	// Relax edges repeatedly
	for i := 0; i < graph.vertices-1; i++ {
		for _, edge := range graph.edges {
			if distance[edge.from] != math.Inf(1) && distance[edge.from]+edge.weight < distance[edge.to] {
				distance[edge.to] = distance[edge.from] + edge.weight
			}
		}
	}

	// Check for negative-weight cycles
	for _, edge := range graph.edges {
		if distance[edge.from] != math.Inf(1) && distance[edge.from]+edge.weight < distance[edge.to] {
			return nil, fmt.Errorf("graph contains a negative-weight cycle")
		}
	}

	return distance, nil
}

func main() {
	// Example usage of Bellman-Ford algorithm
	graph := &Graph{
		vertices: 5,
		edges: []Edge{
			{from: 0, to: 1, weight: 6},
			{from: 0, to: 2, weight: 7},
			{from: 1, to: 2, weight: 8},
			{from: 1, to: 3, weight: 5},
			{from: 1, to: 4, weight: -4},
			{from: 2, to: 3, weight: -3},
			{from: 2, to: 4, weight: 9},
			{from: 3, to: 1, weight: -2},
			{from: 4, to: 0, weight: 2},
			{from: 4, to: 3, weight: 7},
		},
	}

	source := 0
	distances, err := BellmanFord(graph, source)
	if err != nil {
		fmt.Println("Error:", err)
	} else {
		fmt.Println("Shortest path distances from source:", distances)
	}
}

解释

1. Graph Representation: 我们使用 Edge 结构体来表示有向边及其权重，并使用 Graph 结构体来表示整个图。
2. Bellman-Ford Algorithm: 我们实现了 Bellman-Ford 算法来计算从源节点到所有其他节点的最短路径。该算法可以处理负权重边，并且能够检测负权重循环。
3. Initialization: 初始化所有距离为无穷大（math.Inf(1)），并将源节点的距离设置为0。
4. Relaxation: 重复松弛所有边，更新最短路径估计值。
5. Negative-Weight Cycle Check: 最后一步检查是否存在负权重循环。如果存在，则返回错误。

通过这种方式，我们可以处理最短路径权重为 $∞$ 和 $-∞$ 的情况，并确保算法的正确性和鲁棒性。

360智脑：

为了改进引理 24.10 的证明，使其能够处理最短路径权重为 ( \infty ) 和 ( -\infty ) 的情况，我们需要仔细考虑这些特殊情况下的行为。具体来说，我们需要确保在这些情况下，三角不等式仍然成立。

改进后的引理 24.10

引理 24.10 (改进的三角不等式):
设 ( G = (V, E) ) 为一个带权重的有向图，其权重函数由 ( w: E \to \mathbb{R} \cup {\infty, -\infty} ) 给出，其源结点为 ( s )。那么对于所有的边 ( (u, v) \in E )，我们有：
[ \delta(s, u) \leq \delta(s, v) + w(u, v) ]

其中，( \delta(s, u) ) 表示从源结点 ( s ) 到结点 ( u ) 的最短路径权重。

证明

1. 基本情况:

   • 如果 ( \delta(s, u) = \infty )，则不等式 ( \delta(s, u) \leq \delta(s, v) + w(u, v) ) 自然成立，因为任何数加上有限值或无穷大都不会小于无穷大。
   • 如果 ( \delta(s, u) = -\infty )，则不等式 ( \delta(s, u) \leq \delta(s, v) + w(u, v) ) 也自然成立，因为负无穷大加上任何数仍然是负无穷大。

2. 一般情况:

   • 假设 ( \delta(s, u) ) 是有限值。
   • 根据最短路径的定义，从 ( s ) 到 ( u ) 的最短路径权重 ( \delta(s, u) ) 不会大于从 ( s ) 到 ( v ) 的最短路径权重加上从 ( u ) 到 ( v ) 的边权重 ( w(u, v) )。
   • 因此，我们有：
     [ \delta(s, u) \leq \delta(s, v) + w(u, v) ]

Go 语言实现

以下是用 Go 语言实现的代码，用于验证改进后的三角不等式：

package main

import (
	"fmt"
	"math"
)

// Weight represents the weight of an edge, which can be finite or infinite.
type Weight float64

const (
	Infinity  Weight = math.Inf(1)
	NegativeInfinity Weight = math.Inf(-1)
)

// ShortestPathWeight represents the shortest path weight from source to a vertex.
type ShortestPathWeight map[string]Weight

// Graph represents a weighted directed graph.
type Graph struct {
	Vertices    []string
	Edges       map[string]map[string]Weight
	Source      string
	ShortestPaths ShortestPathWeight
}

// NewGraph creates a new graph with given vertices and edges.
func NewGraph(vertices []string, edges map[string]map[string]Weight, source string) *Graph {
	return &Graph{
		Vertices:    vertices,
		Edges:       edges,
		Source:      source,
		ShortestPaths: make(ShortestPathWeight),
	}
}

// InitializeShortestPaths initializes the shortest path weights from the source.
func (g *Graph) InitializeShortestPaths() {
	for _, v := range g.Vertices {
		if v == g.Source {
			g.ShortestPaths[v] = 0
		} else {
			g.ShortestPaths[v] = Infinity
		}
	}
}

// Relax relaxes the edge (u, v) if a shorter path is found.
func (g *Graph) Relax(u, v string, weight Weight) {
	if g.ShortestPaths[u] + weight < g.ShortestPaths[v] {
		g.ShortestPaths[v] = g.ShortestPaths[u] + weight
	}
}

// VerifyTriangleInequality verifies the triangle inequality for all edges.
func (g *Graph) VerifyTriangleInequality() bool {
	for u, neighbors := range g.Edges {
		for v, weight := range neighbors {
			if g.ShortestPaths[u] != NegativeInfinity && g.ShortestPaths[v] != Infinity {
				if g.ShortestPaths[u] > g.ShortestPaths[v]+weight {
					return false
				}
			}
		}
	}
	return true
}

func main() {
	vertices := []string{"s", "u", "v"}
	edges := map[string]map[string]Weight{
		"s": {"u": 10},
		"u": {"v": 5},
		"v": {},
	}
	source := "s"

	graph := NewGraph(vertices, edges, source)
	graph.InitializeShortestPaths()

	// Relax edges to find shortest paths
	graph.Relax("s", "u", 10)
	graph.Relax("u", "v", 5)

	fmt.Println("Shortest Paths:", graph.ShortestPaths)
	fmt.Println("Triangle Inequality Verified:", graph.VerifyTriangleInequality())
}

解释

1. Weight 类型: 定义了一个 Weight 类型，它可以表示有限值、正无穷大和负无穷大。
2. Graph 结构体: 表示一个带权重的有向图，包含顶点、边、源结点和最短路径权重。
3. InitializeShortestPaths 方法: 初始化从源结点到所有顶点的最短路径权重。
4. Relax 方法: 松弛边，更新最短路径权重。
5. VerifyTriangleInequality 方法: 验证所有边是否满足改进后的三角不等式。
6. main 函数: 创建图并初始化最短路径权重，松弛边，验证三角不等式。

通过这种方式，我们可以确保在处理最短路径权重为 ( \infty ) 和 ( -\infty ) 的情况下，三角不等式仍然成立。

智谱清言：

在处理最短路径权重为 $∞$ 和 $-∞$ 的情况时，我们需要首先明确几个前提：
如果源结点 $s$ 到任何结点 $u$ 的最短路径权重 $δ(s,u)$ 为 $∞$，那么这意味着在图中不存在从 $s$ 到 $u$ 的路径。
在大多数图算法中，权重 $-∞$ 不是一个有效的权重，因为它会导致算法的不确定性。通常，我们假设权重函数 $w$ 的值域是实数集中的有限值。
然而，如果我们必须处理 $∞$ 和 $-∞$ 的情况，我们可以对引理 24.10 的证明进行以下修改：
当 $δ(s,u) = ∞$ 时，不等式 $δ(s,u)⩽δ(s,u)+ w(u,v)$ 自然成立，因为 $∞$ 加上任何数仍然是 $∞$。
当 $δ(s,u) = -∞$ 时，不等式可能不成立，因为 $-∞$ 加上一个正数会变成一个小于 $-∞$ 的数。然而，通常我们不会在图中使用 $-∞$ 作为权重，因此这种情况在现实中不太可能出现。
以下是使用 Go 语言编写的代码示例，它考虑了 $∞$ 的情况：

package main
import (
	"fmt"
	"math"
)
// Edge represents a directed edge with a weight.
type Edge struct {
	from   string
	to     string
	weight float64
}
// Graph represents a weighted directed graph.
type Graph struct {
	edges map[string][]Edge
}
// NewGraph creates a new Graph.
func NewGraph() *Graph {
	return &Graph{
		edges: make(map[string][]Edge),
	}
}
// AddEdge adds a new edge to the graph.
func (g *Graph) AddEdge(from, to string, weight float64) {
	g.edges[from] = append(g.edges[from], Edge{from: from, to: to, weight: weight})
}
// ShortestPath calculates the shortest path from source to target.
func (g *Graph) ShortestPath(source, target string) float64 {
	dist := make(map[string]float64)
	for node := range g.edges {
		dist[node] = math.Inf(1) // Initialize distances with infinity
	}
	dist[source] = 0 // Distance to the source is 0
	// Relax edges repeatedly
	for {
		updated := false
		for _, edges := range g.edges {
			for _, edge := range edges {
				if dist[edge.from] != math.Inf(1) && dist[edge.from]+edge.weight < dist[edge.to] {
					dist[edge.to] = dist[edge.from] + edge.weight
					updated = true
				}
			}
		}
		if !updated {
			break
		}
	}
	return dist[target]
}
func main() {
	g := NewGraph()
	g.AddEdge("s", "u", 1)
	g.AddEdge("u", "v", 2)
	g.AddEdge("s", "v", 4) // This edge should not be used in the shortest path from s to v
	// Check the triangle inequality
	distSU := g.ShortestPath("s", "u")
	distUV := g.ShortestPath("u", "v")
	distSV := g.ShortestPath("s", "v")
	// Check if the triangle inequality holds, considering infinity
	if distSV <= distSU+distUV || math.IsInf(distSU, 1) || math.IsInf(distUV, 1) {
		fmt.Println("Triangle inequality holds.")
	} else {
		fmt.Println("Triangle inequality does not hold.")
	}
}

在上述代码中，我们首先初始化所有结点的最短路径为 $∞$，然后通过重复放松边来计算最短路径。在检查三角不等式时，我们考虑了 $∞$ 的情况。如果 $δ(s,u)$ 或 $δ(u,v)$ 为 $∞$，则不等式自然成立。如果都不是 $∞$，我们再比较它们的大小。

天工：

1. 分析问题
   • 首先，原引理中的三角不等式在常规情况下成立。当要处理最短路径权重为(∞)和(-∞)的情况时，需要重新审视不等式中的各项含义。
   • 对于(∞)的情况，如果(\delta(s, u)=\infty)，那么(\delta(s, u)+w(u, v)=\infty)（当(w(u, v))为有限值时），不等式依然成立。如果(w(u, v)=\infty)，也需要相应处理。
   • 对于(-∞)的情况，当(\delta(s, u)=-\infty)或者(w(u, v)=-\infty)时，不等式的形式需要特殊处理，因为涉及到负无穷的加法运算。
2. 改善证明思路（不涉及代码）
   • 当(\delta(s, u)=\infty)时：
     • 如果(w(u, v))是有限值，那么(\delta(s, u)+w(u, v)=\infty)，显然(\delta(s, u)\leqslant\delta(s, u)+w(u, v))成立。
     • 如果(w(u, v)=\infty)，同样(\delta(s, u)\leqslant\delta(s, u)+w(u, v))成立。
   • 当(\delta(s, u)=-\infty)时：
     • 如果(w(u, v))是有限值，(\delta(s, u)+w(u, v)=-\infty)，不等式(\delta(s, u)\leqslant\delta(s, u)+w(u, v))成立（两边都是(-\infty)）。
     • 如果(w(u, v)=-\infty)，根据最短路径的定义和三角不等式的含义，在有向图的路径权重定义下，需要重新定义这种情况下不等式的意义，可能需要从图的结构和路径可达性角度去解释不等式依然成立（例如，从源点(s)到(u)的最短路径权重已经是负无穷，再加上到(v)的边权重，整体路径权重仍然是负无穷或者更负，不等式在这种广义的路径权重概念下成立）。
   • 当(\delta(s, u))为有限值时：
     • 如果(w(u, v))是有限值，原证明方法基本适用，只是需要明确在处理(∞)和(-∞)情况的框架下，这种常规情况的位置。
     • 如果(w(u, v)=\infty)，则(\delta(s, u)+w(u, v)=\infty)，(\delta(s, u)\leqslant\delta(s, u)+w(u, v))成立。
     • 如果(w(u, v)=-\infty)，类似前面(\delta(s, u)=-\infty)的情况去处理，从路径权重的广义概念和图结构角度确保不等式成立。
3. Go语言代码示例（假设图的结构已经定义，并且有计算(\delta)函数等相关函数）

package main

// 假设这里有图的结构体定义以及相关的函数来获取边的权重和计算delta等

// 这里只是一个伪代码框架，实际需要根据完整的图结构定义来完善
func checkTriangleInequality(s int, u int, v int, graph Graph) bool {
    delta_su := calculateDelta(s, u, graph)
    weight_uv := getWeight(u, v, graph)
    if delta_su == float64(+1<<63 - 1) {
       // 处理delta(s,u)为正无穷的情况
       if weight_uv == float64(+1<<63 - 1) {
          return true
       }
       return true
    } else if delta_su == float64(-1<<63) {
       // 处理delta(s,u)为负无穷的情况
       if weight_uv == float64(-1<<63) {
          // 根据前面的分析处理这种情况
          return true
       }
       return true
    } else {
       // 常规情况
       delta_sv := calculateDelta(s, v, graph)
       if delta_su <= delta_su+weight_uv {
          return true
       }
       return false
    }
}

请注意，上述代码中的Graph类型、calculateDelta函数和getWeight函数需要根据实际的图结构定义来实现。这个代码只是为了展示在处理(∞)和(-∞)情况时的大致框架。

chatgpt：

引理 24.10 的三角不等式可以表述为：在一个带权重的有向图中，源节点 ( s ) 到节点 ( u ) 的最短路径权重应当小于或等于从 ( s ) 到 ( u )、再加上从 ( u ) 到 ( v ) 的边的权重。这一定理本质上依赖于路径的加法性质，并且对于所有的节点及其之间的边有效。

要考虑最短路径权重为 ( \infty ) 和 ( -\infty ) 的情况，我们需要首先确定这些权重的意义：

1. 最短路径权重为 ( \infty )：表示从源节点 ( s ) 到节点 ( u ) 不可达，因此 ( \delta(s, u) = \infty )。在这种情况下，任何加法 ( \delta(s, u) + w(u, v) ) 的结果也会是 ( \infty )，因此不等式仍然成立，因为
   [
   \infty \leq \infty
   ]
   并且如果 ( \delta(s, u) = \infty ) 且 ( w(u, v) ) 是有限值，那么结果为 ( \infty ) 不等于真实路径的情况是讨论的一种边界情况。

2. 最短路径权重为 ( -\infty )：表示存在路径可达性问题，通常会出现在有负权重环的情况下。这种情况下，我们常常会令最短路径标志为 ( -\infty ) 意味着在某个点之后开始无限缩小路径的权重，因此，对于所有延展的路径，构造出不等式的方式需要小心。

因此，在处理这些情况时，对引理 24.10 的表达和证明可以考虑如下逻辑：

改进的引理证明

对于每一条边 ( (u, v) \in E )，我们考虑以下几种情况：

1. 假设 ( \delta(s, u) = \infty )：

   • 由于 ( \delta(s, u) ) 是不可达的，那么对于任何值 ( w(u, v) ),
     [
     \delta(s, u) + w(u, v) = \infty + w(u, v) = \infty
     ]
     不等式自然成立。

2. 假设 ( \delta(s, u) = -\infty )：

   • 由于这里实际上意味着到达的路径存在负环，可形成无穷下降，因此所有后续添加 ( w(u, v) ) 的边也将导致总体路径权重趋近于负无穷，保持不等式成立。

3. 假设 ( \delta(s, u) ) 和 ( w(u, v) ) 是有限值：

   • 传统的三角不等式依旧成立：
     [
     \delta(s, u) + w(u, v) \text{ 结果也将是凡是 } \delta(s, v) \text{ 的可达性无影响}
     ]

这种讨论确保了不等式在所有情况下均成立。

Go 语言实现

以下是简单的 Go 实现，可以帮助判断并在图中采用三角不等式进行更新：

package main

import (
    "fmt"
    "math"
)

const inf = math.Inf(1)  // 定义正无穷
const negInf = math.Inf(-1) // 定义负无穷

// Graph 存储图的结构
type Graph struct {
    vertices int
    edges    [][]float64
}

// NewGraph 创建一个新图
func NewGraph(v int) *Graph {
    g := &Graph{vertices: v}
    g.edges = make([][]float64, v)
    for i := range g.edges {
        g.edges[i] = make([]float64, v)
        for j := range g.edges[i] {
            g.edges[i][j] = inf // 初始化为无穷大
        }
    }
    return g
}

// AddEdge 添加边到图
func (g *Graph) AddEdge(u, v int, weight float64) {
    g.edges[u][v] = weight
}

// FloydWarshall 实现 Floyd-Warshall 算法
func (g *Graph) FloydWarshall() [][]float64 {
    dist := make([][]float64, g.vertices)
    for i := range dist {
        dist[i] = make([]float64, g.vertices)
        copy(dist[i], g.edges[i])
    }

    for k := 0; k < g.vertices; k++ {
        for i := 0; i < g.vertices; i++ {
            for j := 0; j < g.vertices; j++ {
                if dist[i][k] != inf && dist[k][j] != inf {
                    dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k]+dist[k][j])
                }
            }
        }
    }

    return dist
}

// min 辅助函数，返回最小值
func min(a, b float64) float64 {
    if a < b {
        return a
    }
    return b
}

func main() {
    g := NewGraph(4)
    g.AddEdge(0, 1, 3)
    g.AddEdge(1, 2, 4)
    g.AddEdge(2, 3, 2)
    g.AddEdge(0, 3, 10)
    g.AddEdge(3, 1, -6) // 负环边

    distances := g.FloydWarshall()

    for i := range distances {
        for j := range distances[i] {
            if distances[i][j] == inf {
                fmt.Print("∞ ")
            } else {
                fmt.Printf("%v ", distances[i][j])
            }
        }
        fmt.Println()
    }
}

说明

• 图的创建与边的添加部分如上实现，通过 FloydWarshall 方法计算所有节点之间的最短路径，请注意可以增强打印自动识别达到 ∞ 的情况。该方法可以进一步调整，以融入更复杂的边权处理逻辑。

kimi：

要证明引理 24.10（三角不等式）可以处理最短路径权重为 ( \infty ) 和 ( -\infty ) 的情况，我们需要考虑这些特殊情况对不等式的影响。

引理 24.10（三角不等式）的一般形式

设 ( G = (V, E) ) 为一个带权重的有向图，其权重函数由 ( w: E \to \mathbb{R} ) 给出，其源结点为 ( s )。那么对于所有的边 ( (u, v) \in E )，我们有：
[ \delta(s, u) \leq \delta(s, u) + w(u, v) ]

特殊情况下的考虑

1. 最短路径权重为 ( \infty )：

   • 如果 ( \delta(s, u) = \infty )，那么不等式 ( \delta(s, u) \leq \delta(s, u) + w(u, v) ) 总是成立，因为 ( \infty + w(u, v) = \infty ) 对于任何实数 ( w(u, v) ) 都成立。

2. 最短路径权重为 ( -\infty )：

   • 如果 ( \delta(s, u) = -\infty )，那么不等式 ( \delta(s, u) \leq \delta(s, u) + w(u, v) ) 总是成立，因为 ( -\infty \leq -\infty + w(u, v) ) 对于任何实数 ( w(u, v) ) 都成立。

证明的改善

为了处理这些特殊情况，我们可以将引理 24.10 重新表述为：
[ \delta(s, u) \leq \delta(s, u) + w(u, v) ]
其中 ( \delta(s, u) ) 可以是任何实数，包括 ( \infty ) 和 ( -\infty )。

Go 语言实现

在 Go 语言中，我们可以使用 math.Inf 来表示 ( \infty ) 和 ( -\infty )。以下是如何在 Go 中实现这个不等式的示例：

package main

import (
	"fmt"
	"math"
)

// 定义最短路径权重类型
type PathWeight float64

// 检查三角不等式是否成立
func checkTriangleInequality(deltaSU, wUV PathWeight) bool {
	return deltaSU <= deltaSU + wUV
}

func main() {
	// 示例权重
	deltaSU := PathWeight(math.Inf(1)) // 表示无穷大
	wUV := PathWeight(5)

	// 检查不等式
	if checkTriangleInequality(deltaSU, wUV) {
		fmt.Println("三角不等式成立:", deltaSU, "<=", deltaSU+wUV)
	} else {
		fmt.Println("三角不等式不成立")
	}

	// 示例权重
	deltaSU = PathWeight(math.Inf(-1)) // 表示负无穷大
	wUV = PathWeight(5)

	// 检查不等式
	if checkTriangleInequality(deltaSU, wUV) {
		fmt.Println("三角不等式成立:", deltaSU, "<=", deltaSU+wUV)
	} else {
		fmt.Println("三角不等式不成立")
	}
}

这段代码展示了如何在 Go 语言中处理最短路径权重为 ( \infty ) 和 ( -\infty ) 的情况，并验证三角不等式是否成立。

混元：

为了处理最短路径权重为 $∞$ 和 $-∞$ 的情况，我们需要对引理 24.10 的证明进行一些调整。具体来说，我们需要确保在计算最短路径时正确处理这些特殊情况。

以下是改进后的引理 24.10 的证明，并附带 Go 语言代码实现：

改进后的引理 24.10 证明

1. 初始化：

   • 设 $δ(s,s) = 0$。
   • 对于所有 $v ∈ V$ 且 $v ≠ s$，设 $δ(s,v) = ∞$。
   • 对于所有 $v ∈ V$，设 $δ(s,v) = -∞$ 如果存在一条从 $s$ 到 $v$ 的路径，其权重为负无穷。

2. 三角不等式：

   • 对于所有的边 $(u,v) ∈ E$，我们需要证明 $δ(s,u) ≤ δ(s,u) + w(u,v)$。

3. 处理特殊情况：

   • 如果 $δ(s,u) = ∞$ 或 $w(u,v) = ∞$，则 $δ(s,u) + w(u,v) = ∞$，显然 $δ(s,u) ≤ ∞$。
   • 如果 $δ(s,u) = -∞$ 或 $w(u,v) = -∞$，则 $δ(s,u) + w(u,v) = -∞$，显然 $δ(s,u) ≤ -∞$。
   • 如果 $δ(s,u)$ 和 $w(u,v)$ 都是有限值，则直接应用三角不等式 $δ(s,u) ≤ δ(s,u) + w(u,v)$。

Go 语言代码实现

package main

import (
	"fmt"
	"math"
)

const (
	inf  = math.Inf(1)
	negInf = math.Inf(-1)
)

type Edge struct {
	to     int
	weight float64
}

func shortestPath(graph [][]Edge, source int) []float64 {
	n := len(graph)
	dist := make([]float64, n)
	for i := range dist {
		if i == source {
			dist[i] = 0
		} else {
			dist[i] = inf
		}
	}

	for i := range graph {
		for _, edge := range graph[i] {
			if dist[i]+edge.weight < dist[edge.to] {
				dist[edge.to] = dist[i] + edge.weight
			}
		}
	}

	return dist
}

func main() {
	graph := [][]Edge{
		{{to: 1, weight: 1}, {to: 2, weight: 4}},
		{{to: 2, weight: 2}, {to: 3, weight: 5}},
		{{to: 3, weight: 1}},
		{},
	}

	source := 0
	dist := shortestPath(graph, source)

	for i, d := range dist {
		if d == inf {
			fmt.Printf("Distance from %d to %d is ∞\n", source, i)
		} else if d == negInf {
			fmt.Printf("Distance from %d to %d is -∞\n", source, i)
		} else {
			fmt.Printf("Distance from %d to %d is %.2f\n", source, i, d)
		}
	}
}

解释

1. 初始化：

   • dist 数组初始化为 $∞$，源节点的距离为 $0$。

2. 更新距离：

   • 使用 Bellman-Ford 算法更新每个节点的最短路径距离。
   • 如果发现更短的路径，则更新距离。

3. 处理特殊情况：

   • 在输出结果时，检查距离是否为 $∞$ 或 $-∞$，并相应地输出。

通过这种方式，我们可以确保引理 24.10 的证明能够处理最短路径权重为 $∞$ 和 $-∞$ 的情况。