基于卡尔曼滤波的系统参数辨识matlab仿真

1.程序功能描述

       通过kalman滤波的方法，对系统的参数进行辨识，整个程序仿真输出参数辨识的收敛过程，参数辨识误差，参数辨识之后系统的输出和真实的系统输出误差，最后设置不同的信噪比，对比不同干扰下的系统参数辨识误差。

2.测试软件版本以及运行结果展示

MATLAB2022a版本运行

3.核心程序

for i=1:Mc
    for i=3:n-2
Xkp=F*X0;         % 计算状态的一步预测值 
          P=F*P0*F'+G*Q*G'; % 计算一步预测误差协方差 
          h=[-z(i-1) -z(i-2) M(i-1) M(i-2)]';% 计算观测矩阵h  
          K=P*h/(h'*P*h+1); % 计算Kalman增益K  
Xk(:,i)=Xkp+K*(z(i)-h'*Xkp);% 更新状态估计值Xk
          Pk=(eye(4)-K*h')*P;          % 更新估计误差协方差Pk  
          P0=Pk;% 更新估计误差协方差的初值P0为Pk
          X0=Xk(:,i);% 更新状态估计的初值X0为Xk(:,i)
          D(:,i)=(X-Xk(:,i)).^2;% 计算估计误差并保存到D中 
    end
end
figure
plot(Xk(1,:))
hold on
plot(Xk(2,:))
hold on
plot(Xk(3,:))
hold on
plot(Xk(4,:))
title('参数的辨识过程')
grid on
legend('a1','a2','b1','b2');




figure
subplot(221);
plot(Xk(1,:),'r','linewidth',2)
hold on
plot(Ra1*ones(size(Xk(1,:))),'b')
title('a1参数的变化过程')
grid on
subplot(222);
plot(Xk(2,:),'r','linewidth',2)
hold on
plot(Ra2*ones(size(Xk(1,:))),'b')
title('a2参数的变化过程')
grid on
subplot(223);
plot(Xk(3,:),'r','linewidth',2)
hold on
plot(Ra3*ones(size(Xk(1,:))),'b')
title('b1参数的变化过程')
grid on
subplot(224);
plot(Xk(4,:),'r','linewidth',2)
hold on
plot(Ra4*ones(size(Xk(1,:))),'b')
title('b2参数的变化过程')
grid on



figure
plot(D(1,50:end))
hold on
plot(D(2,50:end))
hold on
plot(D(3,50:end))
hold on
plot(D(4,50:end))
hold on
title('估计误差的变化过程')

a1=Xk(1,end);
a2=Xk(2,end);
a3=Xk(3,end);
a4=Xk(4,end);
% 初始值设定  
z2(1)=-1;
z2(2)=0;
%根据系统传递函数表达式 
for i=3:n-1
    z2(i)=-a1*z2(i-1)-a2*z2(i-2)+a3*M(i-1)+a4*M(i-2)+v(i-2);
end

figure;
subplot(211);
plot(z)
hold on
plot(z2)
legend('系统输出','参数辨识系统输出');

subplot(212);
plot(z-z2')
legend('参数辨识系统误差');
0008

4.本算法原理

      卡尔曼滤波是一种广泛应用于信号处理、控制系统和数据融合等领域的高效递归滤波算法。它的主要优点是只需要利用前一时刻的估计值和当前时刻的观测值，就可以递推地计算出当前时刻的状态估计值。这使得卡尔曼滤波非常适合于实时系统和在线应用。

4.1、卡尔曼滤波的基本原理

      卡尔曼滤波是一种线性、递归和最小均方误差的估计算法，它适用于线性动态系统和加性白噪声环境。卡尔曼滤波的基本方程包括状态预测方程和状态更新方程：

状态预测方程：

X(k|k-1) = A X(k-1|k-1) + B U(k) （1）

状态更新方程：

X(k|k) = X(k|k-1) + K(k) [Z(k) - H X(k|k-1)] （2）

       其中，X(k|k-1) 是根据上一时刻状态预测的本时刻状态，X(k|k) 是根据本时刻观测值更新后的状态估计，A 是状态转移矩阵，B 是控制输入矩阵，U(k) 是控制输入，Z(k) 是本时刻的观测值，H 是观测矩阵，K(k) 是卡尔曼增益。

4.2、基于卡尔曼滤波的系统参数辨识

       系统参数辨识是确定系统模型参数的过程，这些参数可以描述系统的动态行为。卡尔曼滤波可以用于在线辨识系统的参数，其基本思想是将系统的参数作为状态变量，然后利用卡尔曼滤波算法进行估计。

假设我们有一个线性系统，其状态方程和观测方程可以表示为：

状态方程：

x(k+1) = Ax(k) + Bu(k) + w(k) （3）

观测方程：

y(k) = Cx(k) + Du(k) + v(k) （4）

        其中，x(k) 是状态向量，u(k) 是输入向量，y(k) 是输出向量，w(k) 和 v(k) 分别是过程噪声和观测噪声，它们被假设为零均值的高斯白噪声。A、B、C 和 D 是系统的参数矩阵。

       我们可以将系统的参数矩阵作为状态变量，然后应用卡尔曼滤波算法进行估计。令系统的参数向量为 θ，则状态方程和观测方程可以改写为：

状态方程：

θ(k+1) = θ(k) + w(k) （5）

观测方程：

y(k) = X(k)θ(k) + v(k) （6）

       其中，X(k) 是由输入向量 u(k) 和状态向量 x(k) 构成的回归矩阵。这样，我们就可以利用卡尔曼滤波算法对参数向量 θ 进行在线估计。具体步骤如下：

初始化：给定初始状态估计值 θ(0|0) 和初始估计误差协方差 P(0|0)。

预测：利用状态预测方程（5）预测下一时刻的状态 θ(k+1|k)。同时，利用预测误差协方差方程预测下一时刻的估计误差协方差 P(k+1|k)。

更新：当新的观测值 y(k+1) 到达时，利用状态更新方程（2）更新状态估计值 θ(k+1|k+1)。同时，利用更新误差协方差方程更新估计误差协方差 P(k+1|k+1)。

迭代：返回步骤2，进行下一时刻的预测和更新。