文心一言 VS 讯飞星火 VS chatgpt （301）-- 算法导论22.1 5题

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福大大架构师每日一题 发表于 2024/07/12 16:42:47 2024/07/12
【摘要】 五、有向图G=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)的平方图是图G2=(V,E2)G^{2}=(V,E^{2})G2=(V,E2)，这里，边(u,v)∈E2(u,v)∈E^{2}(u,v)∈E2当且仅当图GGG包含一条最多由两条边构成的从uuu到vvv的路径。请给出一个有效算法来计算图GGG的平方图G2G^{2}G2。这里图GGG既可以以邻接链表表示，也可以以邻接矩阵表示。请分析算法的运行...

五、有向图G=(V,E)G=(V,E)的平方图是图G2=(V,E2)G^{2}=(V,E^{2})，这里，边(u,v)∈E2(u,v)∈E^{2}当且仅当图GG包含一条最多由两条边构成的从uu到vv的路径。请给出一个有效算法来计算图GG的平方图G2G^{2}。这里图GG既可以以邻接链表表示，也可以以邻接矩阵表示。请分析算法的运行时间。如果要写代码，请用go语言。

文心一言：

为了计算有向图GG的平方图G2G^2，我们可以采用邻接链表或邻接矩阵的方式，但在这里我将给出使用邻接链表表示的算法，因为这种方式在处理稀疏图时通常更高效。

算法步骤

  1. 初始化：为G2G^2创建一个空的邻接链表表示。
  2. 遍历所有顶点：对于图GG中的每个顶点uu，执行以下步骤：
    • 遍历uu的邻接顶点：对于每个邻接顶点vv，如果uu到vv的边存在（即(u,v)∈E(u, v) \in E），则在G2G^2中添加边(u,v)(u, v)（即使它可能已存在）。
    • 遍历uu的邻接顶点的邻接顶点：对于每个邻接顶点vv，再遍历vv的所有邻接顶点ww。如果(v,w)∈E(v, w) \in E，则在G2G^2中添加边(u,w)(u, w)（注意检查边是否已存在以避免重复添加）。
  3. 优化：如果不需要处理重边或自环，可以在添加边到G2G^2之前进行检查。

运行时间分析

假设图GG有nn个顶点和mm条边。

  • 遍历所有顶点：时间复杂度为O(n)O(n)。
  • 对每个顶点，遍历其邻接顶点：对于每个顶点，平均需要O(d)O(d)时间，其中dd是该顶点的度。总时间复杂度为O(∑u∈Vdu)=O(m)O(\sum_{u \in V} d_u) = O(m)。
  • 遍历邻接顶点的邻接顶点：这类似于邻接表的两次遍历，总时间复杂度也是O(m)O(m)，因为每个边(u,v)(u, v)会在uu的遍历中被访问一次，并在vv的遍历中（作为vv的邻接点）被再次访问。

因此，总的时间复杂度是O(n+m2)O(n + m^2)，但在大多数情况下（因为图的平均度数远小于nn），这可以近似为O(m2)O(m^2)，特别是当图比较稠密时。

Go语言实现

下面是一个使用Go语言实现的简单版本：

package main

import "fmt"

type Graph struct {
    vertices int
    edges    map[int][]int
}

func NewGraph(vertices int) *Graph {
    return &Graph{
        vertices: vertices,
        edges:    make(map[int][]int),
    }
}

func (g *Graph) AddEdge(from, to int) {
    g.edges[from] = append(g.edges[from], to)
}

func SquareGraph(g *Graph) *Graph {
    sqG := NewGraph(g.vertices)
    for u := 0; u < g.vertices; u++ {
        for _, v := range g.edges[u] {
            sqG.AddEdge(u, v) // 直接边
            for _, w := range g.edges[v] {
                sqG.AddEdge(u, w) // 通过v的间接边
            }
        }
    }
    return sqG
}

func main() {
    g := NewGraph(4)
    g.AddEdge(0, 1)
    g.AddEdge(1, 2)
    g.AddEdge(2, 3)
    g.AddEdge(3, 0)

    sqG := SquareGraph(g)

    // 打印平方图的邻接表
    for u := 0; u < sqG.vertices; u++ {
        fmt.Printf("Vertex %d: ", u)
        for _, v := range sqG.edges[u] {
            fmt.Printf("%d ", v)
        }
        fmt.Println()
    }
}

请注意，上述代码没有处理重边或自环的情况。在实际应用中，你可能需要添加额外的逻辑来处理这些情况。

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

讯飞星火：

要计算图GG的平方图G2G^{2}，我们可以使用Floyd-Warshall算法。Floyd-Warshall算法是一种动态规划算法，用于计算图中所有顶点对之间的最短路径。在这个问题中，我们需要稍微修改算法，以便它能够处理最多包含两条边的路径。

以下是使用邻接矩阵表示图的Go语言实现：

package main

import (
	"fmt"
)

func squareGraph(graph [][]int) [][]int {
	n := len(graph)
	squared := make([][]int, n)
	for i := 0; i < n; i++ {
		squared[i] = make([]int, n)
		for j := 0; j < n; j++ {
			if graph[i][j] == 1 {
				squared[i][j] = 1
			} else {
				squared[i][j] = 0
			}
		}
	}

	for k := 0; k < n; k++ {
		for i := 0; i < n; i++ {
			for j := 0; j < n; j++ {
				squared[i][j] += squared[i][k] * squared[k][j]
				if squared[i][j] > 2 {
					squared[i][j] = 2
				}
			}
		}
	}

	return squared
}

func main() {
	graph := [][]int{
		{0, 1, 0, 0},
		{0, 0, 1, 0},
		{0, 0, 0, 1},
		{1, 0, 0, 0},
	}

	squared := squareGraph(graph)
	for _, row := range squared {
		fmt.Println(row)
	}
}

算法的时间复杂度为O(n^3)，其中n是顶点的数量。这是因为我们需要遍历所有顶点对的组合，并在每个组合上执行一个常数时间的操作。

360智脑：

为了计算图GG的平方图G2G^{2}，我们可以使用广度优先搜索（BFS）算法。BFS是一种用于图形或树结构的遍历算法，它从一个节点开始，访问所有相邻节点，然后访问这些相邻节点的相邻节点，以此类推。在这个问题中，我们可以对每个节点执行BFS，并在每一步检查是否可以通过最多两条边到达一个新的节点。如果是，我们就将这个新的节点添加到平方图中。

以下是一个使用Go语言实现的算法：

package main

import "fmt"

type Graph struct {
	vertices int
	edges    [][]int
}

func NewGraph(vertices int) *Graph {
	return &Graph{
		vertices: vertices,
		edges:    make([][]int, vertices),
	}
}

func (g *Graph) AddEdge(u, v int) {
	g.edges[u] = append(g.edges[u], v)
}

func (g *Graph) Square() *Graph {
	square := NewGraph(g.vertices)
	for u := 0; u < g.vertices; u++ {
		queue := []int{u}
		visited := make([]bool, g.vertices)
		for len(queue) > 0 {
			current := queue[0]
			queue = queue[1:]
			for _, v := range g.edges[current] {
				if !visited[v] {
					visited[v] = true
					queue = append(queue, v)
					// Check if there is a path of at most two edges from u to v
					if current != u {
						square.AddEdge(u, v)
					}
				}
			}
		}
	}
	return square
}

func (g *Graph) Print() {
	for u, neighbors := range g.edges {
		fmt.Printf("%d -> ", u)
		for _, v := range neighbors {
			fmt.Printf("%d ", v)
		}
		fmt.Println()
	}
}

func main() {
	g := NewGraph(5)
	g.AddEdge(0, 1)
	g.AddEdge(0, 2)
	g.AddEdge(1, 2)
	g.AddEdge(2, 0)
	g.AddEdge(2, 3)
	g.AddEdge(3, 3)

	fmt.Println("Original graph:")
	g.Print()

	square := g.Square()
	fmt.Println("\nSquare graph:")
	square.Print()
}

这个算法的时间复杂度是O(V∗(V+E))O(V*(V+E))，其中VV是顶点数，EE是边数。这是因为我们对每个顶点都执行了一次BFS，而每次BFS的时间复杂度是O(V+E)O(V+E)。在最坏的情况下，每个顶点都会连接到其他所有顶点，所以总的时间复杂度是O(V2)O(V^2)。如果图是以邻接矩阵表示的，那么时间复杂度仍然是O(V2)O(V^2)，因为我们需要检查每个顶点的所有可能的邻居。

天工：

为了计算图GG的平方图G2G^{2}，我们可以采用广度优先搜索（BFS）算法。BFS算法可以从一个起始节点开始，探索其所有可达节点，并在探索过程中记录到达每个节点的最短路径长度。在这个问题中，我们需要探索从每个节点出发最多经过两条边的可达节点，因此我们可以在BFS中设置一个计数器来限制路径长度不超过2。

以下是用Go语言实现的算法：

package main

import "fmt"

type Graph struct {
	vertices int
	adjList  [][]int
}

func NewGraph(vertices int) *Graph {
	return &Graph{
		vertices: vertices,
		adjList:  make([][]int, vertices),
	}
}

func (g *Graph) AddEdge(u, v int) {
	g.adjList[u] = append(g.adjList[u], v)
}

func (g *Graph) SquareGraph() {
	for i := 0; i < g.vertices; i++ {
		queue := []int{i}
		visited := make([]bool, g.vertices)
		pathLength := make([]int, g.vertices)
		for len(queue) > 0 {
			current := queue[0]
			queue = queue[1:]
			if !visited[current] {
				visited[current] = true
				for _, neighbor := range g.adjList[current] {
					if pathLength[neighbor] == 0 || pathLength[current]+1 < pathLength[neighbor] {
						pathLength[neighbor] = pathLength[current] + 1
						if pathLength[neighbor] <= 2 {
							fmt.Printf("(%d, %d)\n", i, neighbor)
						}
					}
					if pathLength[neighbor] == 1 && pathLength[current] < 2 {
						for _, nextNeighbor := range g.adjList[neighbor] {
							if pathLength[nextNeighbor] == 0 || pathLength[current]+1 < pathLength[nextNeighbor] {
								pathLength[nextNeighbor] = pathLength[current] + 1
								if pathLength[nextNeighbor] <= 2 {
									fmt.Printf("(%d, %d)\n", i, nextNeighbor)
								}
							}
						}
					}
				}
				for _, neighbor := range g.adjList[current] {
					if !visited[neighbor] {
						queue = append(queue, neighbor)
					}
				}
			}
		}
	}
}

func main() {
	g := NewGraph(5)
	g.AddEdge(0, 1)
	g.AddEdge(0, 3)
	g.AddEdge(1, 2)
	g.AddEdge(2, 3)
	g.AddEdge(3, 4)
	g.SquareGraph()
}

这个算法的运行时间主要取决于BFS的遍历过程。在最坏的情况下，我们需要遍历图中所有的节点和边。因此，如果图GG有VV个节点和EE条边，那么算法的总时间复杂度将是O(V∗(V+E))O(V*(V+E))，因为对于每个节点，我们可能需要遍历它的所有邻居以及邻居的邻居。

请注意，这个实现假设输入图是无向图，并且没有自环或重复边。如果图是有向的或有自环，算法需要相应地调整。此外，输出的边集E2E^{2}并不是一个图的表示，而是一个边的集合，用于说明哪些节点之间可以通过最多两条边相连。如果需要构建实际的平方图，可以将这些边添加到一个新的图结构中。

chatgpt：

要计算图G的平方图G^2，可以使用以下算法：

  1. 初始化平方图G^2为空图。

  2. 对于图G中的每个顶点v：

    • 对于v的每个邻居u：
      • 对于u的每个邻居w：
        • 如果存在边(u, w)，则将边(v, w)添加到平方图G^2中。

  3. 返回平方图G^2。

该算法的运行时间取决于输入图G的表示形式。如果以邻接链表表示，那么需要遍历所有顶点和它们的邻居，并检查是否存在路径。因此，时间复杂度为O(|V| * |E| * |E|)，其中|V|是顶点数目，|E|是边数目。

如果以邻接矩阵表示，需要遍历所有顶点，并在矩阵中进行相应操作来判断是否存在路径。因此，时间复杂度为O(|V|^3)，其中|V|是顶点数目。

下面是一个用Go语言实现该算法的示例代码：

package main

import (
	"fmt"
)

func squareGraph(G [][]bool) [][]bool {
	V := len(G)
	G2 := make([][]bool, V)
	for i := range G {
		G2[i] = make([]bool, V)
	}

	for v := 0; v < V; v++ {
		for u := 0; u < V; u++ {
			if G[v][u] {
				for w := 0; w < V; w++ {
					if G[u][w] {
						G2[v][w] = true
					}
				}
			}
		}
	}

	return G2
}

func main() {
	G := [][]bool{
		{false, true, false, true},
		{false, false, true, false},
		{true, false, false, true},
		{false, false, false, false},
	}

	G2 := squareGraph(G)

	fmt.Println("Graph G^2:")
	for _, row := range G2 {
		fmt.Println(row)
	}
}

这个代码示例中，我们假设图G用邻接矩阵表示，其中true表示两个顶点之间存在边。函数squareGraph实现了计算平方图G^2的逻辑。

希望对你有所帮助！

kimi：

计算有向图的平方图可以通过以下步骤实现：

  1. 初始化：创建一个新的图G^2，其顶点集与原图G相同，边集为空。
  2. 遍历顶点：对于图G中的每个顶点u，执行以下步骤。
  3. 遍历邻接顶点：对于u的每个邻接顶点v，执行以下步骤。
  4. 遍历v的邻接顶点：对于v的每个邻接顶点w，如果w不是u，则在G^2中添加一条从u到w的边。
  5. 返回结果：完成上述步骤后，G^2即为G的平方图。

算法分析

  • 时间复杂度：如果图G有n个顶点和m条边，那么算法的时间复杂度为O(n * m)。这是因为我们需要对每个顶点的每个邻接顶点进行遍历，并且对于每个邻接顶点，我们还需要遍历其邻接顶点。
  • 空间复杂度：取决于存储边集E^2所需的空间，最坏情况下，如果G是完全图，则空间复杂度为O(n^2)。

Go语言实现

以下是使用Go语言实现的代码示例：

package main

import "fmt"

// 定义图的顶点和边
type Graph struct {
    adjList [][]int // 邻接链表表示
    n       int     // 顶点数量
}

// 创建图
func NewGraph(n int) *Graph {
    return &Graph{
        adjList: make([][]int, n),
        n:       n,
    }
}

// 添加边
func (g *Graph) AddEdge(u, v int) {
    g.adjList[u] = append(g.adjList[u], v)
}

// 计算平方图
func (g *Graph) SquareGraph() *Graph {
    square := NewGraph(g.n)
    for u := 0; u < g.n; u++ {
        for _, v := range g.adjList[u] {
            for _, w := range g.adjList[v] {
                if u != w {
                    square.AddEdge(u, w)
                }
            }
        }
    }
    return square
}

// 打印图
func (g *Graph) Print() {
    for u := 0; u < g.n; u++ {
        fmt.Printf("Vertex %d: ", u)
        for _, v := range g.adjList[u] {
            fmt.Printf("%d ", v)
        }
        fmt.Println()
    }
}

func main() {
    // 示例：创建一个图并计算其平方图
    g := NewGraph(5)
    g.AddEdge(0, 1)
    g.AddEdge(0, 2)
    g.AddEdge(1, 3)
    g.AddEdge(2, 3)
    g.AddEdge(3, 4)

    fmt.Println("Original Graph:")
    g.Print()

    squareGraph := g.SquareGraph()
    fmt.Println("Square Graph:")
    squareGraph.Print()
}

请注意，这个实现假设图是无向的，因为Go语言的切片是可变长的，这使得邻接链表的实现变得简单。如果图是有向的，那么在添加边时需要确保只添加单向的边。此外，上述代码没有进行错误检查，实际使用时可能需要添加相应的逻辑。

混元：

为了计算有向图G=(V,E)G=(V,E)的平方图G2=(V,E2)G^{2}=(V,E^{2})，我们可以使用广度优先搜索（BFS）或深度优先搜索（DFS）的方法来找出所有最多由两条边构成的从uu到vv的路径。在这里，我将提供一个基于邻接表表示的算法，并使用BFS来实现。

算法步骤

  1. 初始化一个空的邻接表E2来存储平方图的边。
  2. 遍历原图GG的每个节点uu。
  3. 对于每个节点uu，使用BFS搜索所有从uu出发到达其他节点的路径，最多只考虑两条边。
  4. 在BFS过程中，记录每个节点的邻居节点，并在找到两条边的路径时更新E2。
  5. 完成BFS后，将所有找到的边添加到E2中。
  6. 返回平方图G2。

时间复杂度分析

  • BFS的时间复杂度通常是O(∣V∣+∣E∣)O(|V|+|E|)，其中∣V∣|V|是顶点数，∣E∣|E|是边数。
  • 但是，由于我们需要检查每条边是否参与形成至多两边的路径，时间复杂度可能会更高。在最坏的情况下，我们可能需要检查每条边两次（一次作为路径的第一条边，一次作为第二条边），这会导致时间复杂度为O(∣V∣∣E∣)O(|V||E|)。

Go语言实现

package main

import (
	"fmt"
)

// AdjacencyList 表示图的邻接表
type AdjacencyList map[int][]int

// squareGraph 计算图的平方图
func squareGraph(graph AdjacencyList) AdjacencyList {
	E2 := make(AdjacencyList) // 初始化平方图的邻接表
	visited := make(map[int]bool) // 用于BFS的访问标记

	var bfs func(u int, depth int)
	bfs = func(u int, depth int) {
		if depth > 1 {
			return
		}
		visited[u] = true
		for _, v := range graph[u] {
			if !visited[v] {
				bfs(v, depth+1)
				if _, exists := E2[u]; !exists {
					E2[u] = []int{}
				}
				E2[u] = append(E2[u], v)
			}
		}
	}

	for u := range graph {
		if !visited[u] {
			bfs(u, 0)
		}
	}

	return E2
}

func main() {
	// 示例图的邻接表
	graph := AdjacencyList{
		0: {1},
		1: {2},
		2: {0, 3},
		3: {3},
	}

	// 计算平方图
	square := squareGraph(graph)

	// 打印平方图的邻接表
	for u, neighbors := range square {
		fmt.Printf("%d -> %v\n", u, neighbors)
	}
}

这段代码定义了一个AdjacencyList类型来表示图的邻接表，并实现了一个squareGraph函数来计算平方图。在main函数中，我们创建了一个示例图的邻接表，并调用squareGraph函数来计算其平方图，然后打印结果。

请注意，这个算法假设图中没有自环和重边。如果图中存在自环或重边，算法需要进行相应的调整来处理这些情况。

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