数学基础从高一开始7、等式性质与不等式性质(重点作差法)

​初中代数中对等式与不等式的说明：

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问题1:

常见的不等关系有哪些?你能用文字语言和符号语言表述吗?

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问题2:

你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗?

1) 某路段限速40 km/h;

解:设在该路段行驶的汽车的速度为v km/h,限速40km/h就是v的大小不能超过40，于是0 <v≤40。

问题3:

你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗?

(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%;

解：由题意，得{f>=2.5%,p>=2.3%}

问题4:

你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗?

(3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边;

解:设△ABC的三条边为a，b, C,则a+b>c,a-b<C。

注: a+c> b，a-c< b等其它合理形式也正确。

问题5：

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短。

解:如图，设C是直线AB外的任意一点，CD⊥AB于点D，E是直线AB上不同于D的任意一点，连接线段CE，则CD<CE。

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小结

用不等式表示实际问题中的不等关系的方法。

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复习：

问题6:

你能用不等式表示并解决下面的问题吗?

某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万?

不等关系:销售总收入不低于20万。

解:设提价后每本杂志的定价为x元.

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追问:解方程是主要依据是什么?类比解方程

你能找到解不等式的主要依据吗?

解方程的主要依据(等式性质)                        类比                        解不等式的主要依据(不等式性质)

从已知的不等式推出未知的不等式。

问题7:

如何比较两个式子的大小关系?

关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实:如果a -b是正数，那么a>b;如果a b等于0，那么a=b;如果a -b是负数，那么a<b.反过来也对。

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作差法:比较两个实数(式子)大小关系的方法。

作差法

例1:比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的 大小关系。

分析:若要比较两者的大小，只需比较它们的差与0的关系。

解:

因为：(x+2)(x+3)- (x+1)(x+4)
=(x²+5x+6)- (x²+5x+4)
=2>0
所以：(x+2)(x+3)> (x+1)(x+4)

例2：你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗?

追问2:如果直角三角形的两条直角边边长相等(a= b)，不等式a²+b²> 2ab还成立吗?

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追问3: Va, b∈R，a²+b²≥2ab。这个猜想成立吗?请证明或证伪。

解:

a²+b²-2ab=(a- b)²≥0,
所以：a²+b²≥2ab。
当且仅当a=b时，等号成立。

总结：

等式性质与不等式性质

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