【数组篇】396. 旋转函数

396. 旋转函数。

给定一个长度为 n 的整数数组 nums 。

假设 arrk 是数组 nums 顺时针旋转 k 个位置后的数组，我们定义 nums 的 旋转函数 F 为：

F(k) = 0 * arrk[0] + 1 * arrk[1] + … + (n - 1) * arrk[n - 1]
返回 F(0), F(1), …, F(n-1)中的最大值 。

生成的测试用例让答案符合 32 位 整数。

示例 1：

输入: nums = [4,3,2,6]
输出: 26
解释:
F(0) = (0 * 4) + (1 * 3) + (2 * 2) + (3 * 6) = 0 + 3 + 4 + 18 = 25
F(1) = (0 * 6) + (1 * 4) + (2 * 3) + (3 * 2) = 0 + 4 + 6 + 6 = 16
F(2) = (0 * 2) + (1 * 6) + (2 * 4) + (3 * 3) = 0 + 6 + 8 + 9 = 23
F(3) = (0 * 3) + (1 * 2) + (2 * 6) + (3 * 4) = 0 + 2 + 12 + 12 = 26
所以 F(0), F(1), F(2), F(3) 中的最大值是 F(3) = 26 。

示例 2：

输入: nums = [100]
输出: 0

提示：

n == nums.length
1 <= n <= 10^5
-100 <= nums[i] <= 100

算法分析

算法1
解题思路
暴力破解

class Solution {
    public int maxRotateFunction(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int max = Integer.MIN_VALUE;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int sum = 0;
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                sum += j * nums[(j - i + n) % n]; 
            }
            max = Math.max(max, sum);
        }
        return max;
    }
}

复杂性分析

时间复杂度：O(n2)
空间复杂度：O(1)

算法2
解题思路
观察F(0), …, F(k)的规律可得
自上到下, 每次数组除了最后一个值的系数变为0了, 其他的系数都增加1
所以定义sum存数组和, +sum等于所有系数都+1, 再减去最后一个变化后的值去掉就ok
最后一个值是从数组尾部到数组头逐渐遍历的, 系数也是恒久不变的。

注意值的范围, 最长10^5, 每个值[-100, 100]
所以每次求和的值为 10^5 * arr[n - 1] + (10^5 - 1) * arr[n - 2] + … + 0 * arr[0] <= 0.5 * 10^5 * 10^5 * 100 = 5 * 10^11
所以理论上还是需要用long存储的, 但是题目说答案是在32位之内的, 所以用int就ok

class Solution {
    public int maxRotateFunction(int[] nums) {
        int sum = 0, curSum = 0, ans = 0;
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            sum += nums[i];
            curSum += i * nums[i];
        }
        ans = curSum;

        for (int i = nums.length -  1; i > 0; i--) {
            curSum += sum - nums.length * nums[i]; 
            ans = Math.max(ans, curSum);
        }
        return ans;
    }
}

复杂性分析

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)