承上: 写在前面

伟大的诗人是一个民族，珍贵的宝石。
不要只练习你的艺术，还要强行进入它的秘密；
艺术值得这样，因为它和知识可以将人提升到神性。
—————贝多芬

看到诱惑时，魔鬼把自己的爪子藏了起来。

5.2 CR 的概念

R为行矩阵最简阶梯型
C为列矩阵特征向量
列向量空间的独立向量 乘 行最简形

	A = CR = (？  * (？ ？)   
		     ？)

其他经典内容,比如 QR 正交矩阵，和行矩阵 用于解决方程，也就是方程求根。

三角矩阵 L 与 U 用于计算矩阵特征值等信息

	A = LU   

矩阵Q正交列，如上小节所示 正交列矩阵

	A = QR =(q1  ( 0 )
		 qn) 

标准正交特征向量 S_q = λq

	S = Q ^ Q^t   Q^t = Q^-1  
	U^tU = V^tV = I

λ特征值 Eigenvalue values in P(λ)

	λI_n - A = 0

A矩阵的 x的特征向量 性质

	Ax = λx  

对角 Σ = 单值

	A = uΣV^t 

5.2.1 CR生成子矩阵

几何零空间中，行向量正交于x向量，矩阵转置后得到一个不同矩阵。 经典的两个矩阵相乘：行乘列 元素位替换。

也可使用 列 乘 行 的方式，因子分解

	A = UW = rank(A) - 1 矩阵
	UW = (u1  u2 ... un)    *  (w1 
                                ...
		                    wn)
                                
       = u1w1^ + u2w2^ + ... + unwn^

所以 行 x 列 为基本方式。
还有 其他的进阶方式, 列 x 行 :

	A = LU,  A=PLU, A = QR, S = Q ^ Q^t 
	A = U*ΣV^t  A = CR   A=LDU

• 分解阵: 二 生成矩阵CR

  A = CR  (列向量空间的独立向量 乘 行最简形)
  

  有矩阵A如下:

         c1  c2  c3
    A  = (1  (4   (5
          3   2    5
          2)  1)   3) 
  

  通过行变换消元得到 最简形为 R(A) 也就是行基:

   R(A) = (1 (0 (1
          0) 1) 1)
  

  通过一个矢量可以和矩阵的线性组合，可以生成其他等效矩阵。比如

    Ax = (1   (4   (5    *(x1      =  x1*(1   + x2*(4  + x3*(5
          3    2    5      x2             3         2        5
          2)   1)   3)     x3)            2)        1)       3)
  

  这里没有平方，立方或其他东西，因此线性。 因为将它们放置一起相数乘，所以为组合。上例是一个局部组合。

  该3x3矩阵A，其列向量空间可以有3个场景: R3 三维， plane 二维， line 线条，一个向量。

  可以容易知道，A 矩阵的列1 加 列2 等于列3，因此 矩阵A的列向量空间为2，并且行秩 r(A) = c(A) = 2

  因此A矩阵的 列基C(A)为

    C(A)  = (1  (4    
    	3   2     
    	2)  1)    
  

• 性质:

   1, 列向量空间的 两个分量 是相互独立的
   2,  A的列是 列空间分量的线性组合
   3, r行，即最简阶梯形是相互独立的向量
   4, 每一行都可以用 A矩阵的最简形的 线性组合
  

比如 行1 [1 4 5] = [1 0 1] + [ 0 1 1]
以此类推。

最后，我们获得了生成矩阵： A = CR

	A = CR = (1  (4  *  [1  0   1
		  3   2      0  1   1]
		  2)  1)

可以验证它。 CR = A    

5.2.2 CR生成矩阵的关键特征

(1) 矩阵A的 列向量空间秩为 2
(2) 矩阵A的 行向量秩为 2

正交基向量空间有两个向量 r(A) = 2
因此假设特征向量 ->v 使得 A*->v =0 的解 包含 n - r = 3 - 2 = 1

	v = (1, -1)

矩阵A的秩为1的性质：
如果矩阵A的全部行都是 行1的倍数，那么全部行都是行1的倍数。

比如CR证明如下：

列空间C的列1 假设代号为 ->v， 与行空间 R的行1，假设代号为 ->w

		A = (->v  * [->w]
			 )

全部行都是 w的倍数，矩阵A的秩为 1

5.2.3 优点和缺点

大型矩阵可能有几百个块，blocks，线性代数可以把巨型矩阵分裂为 小型矩阵 如 A = CR。
这也是矩阵计算的其中一个目的。

A = CR 方式它有如下优点：

	（1） C 有列直接从A中继承， 是有意义的。
	（2） R 有突出矩阵A的最简形，行秩 等于 列空间秩 是清晰可见的。 
		  在几百行矩阵的数据中，想要知道行秩和列秩，以及是否相等 并不容易。

缺点：

	（1）C 与 R需要非常严格的匹配。
	（2）若A是可逆的，列向量空间将等于 原矩阵 A 
    （可逆矩阵A经初等行变换，
    可以化为单位矩阵(或者经过初等列变换化为单位矩阵)）
    
		如果A的全部列都相互独立，C(A) = A, 这将没有特别的子矩阵，最简形R = I，
		但是无法推论得出 A = CR = A*I

	（3） A = CR 还不能适用于大型计算和循环计算。
		但是分解矩阵为不同子矩阵仍有意义。

小结

下一节我们继续旅程，举例说明实际用途，了解其强大功能。
比如在多维空间确定近似解，以及在不充分条件得出有限结论。