整体或局部:手撕矩阵,CR生成空间

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码乐 发表于 2023/11/15 10:39:02 2023/11/15
【摘要】 承上: 写在前面伟大的诗人是一个民族,珍贵的宝石。不要只练习你的艺术,还要强行进入它的秘密;艺术值得这样,因为它和知识可以将人提升到神性。—————贝多芬看到诱惑时,魔鬼把自己的爪子藏了起来。 5.2 CR 的概念R为行矩阵最简阶梯型C为列矩阵特征向量列向量空间的独立向量 乘 行最简形 A = CR = (? * (? ?) ?)其他经典内容,比如 QR 正交矩阵,和行...

承上: 写在前面

伟大的诗人是一个民族,珍贵的宝石。
不要只练习你的艺术,还要强行进入它的秘密;
艺术值得这样,因为它和知识可以将人提升到神性。
—————贝多芬

看到诱惑时,魔鬼把自己的爪子藏了起来。

5.2 CR 的概念

R为行矩阵最简阶梯型
C为列矩阵特征向量
列向量空间的独立向量 乘 行最简形

	A = CR = (?  * (? ?)   
		     ?)

其他经典内容,比如 QR 正交矩阵,和行矩阵 用于解决方程,也就是方程求根。

三角矩阵 L 与 U 用于计算矩阵特征值等信息

	A = LU   

矩阵Q正交列,如上小节所示 正交列矩阵

	A = QR =(q1  ( 0 )
		 qn) 

标准正交特征向量 S_q = λq

	S = Q ^ Q^t   Q^t = Q^-1  
	U^tU = V^tV = I

λ特征值 Eigenvalue values in P(λ)

	λI_n - A = 0

A矩阵的 x的特征向量 性质

	Ax = λx  

对角 Σ = 单值

	A = uΣV^t 

5.2.1 CR生成子矩阵

几何零空间中,行向量正交于x向量,矩阵转置后得到一个不同矩阵。 经典的两个矩阵相乘:行乘列 元素位替换。

也可使用 列 乘 行 的方式,因子分解

	A = UW = rank(A) - 1 矩阵
	UW = (u1  u2 ... un)    *  (w1 
                                ...
		                    wn)
                                
       = u1w1^ + u2w2^ + ... + unwn^

所以 行 x 列 为基本方式。
还有 其他的进阶方式, 列 x 行 :

	A = LU,  A=PLU, A = QR, S = Q ^ Q^t 
	A = U*ΣV^t  A = CR   A=LDU
  • 分解阵: 二 生成矩阵CR

    A = CR  (列向量空间的独立向量 乘 行最简形)
    

    有矩阵A如下:

           c1  c2  c3
      A  = (1  (4   (5
            3   2    5
            2)  1)   3) 
    

    通过行变换消元得到 最简形为 R(A) 也就是行基:

     R(A) = (1 (0 (1
            0) 1) 1)
    

    通过一个矢量可以和矩阵的线性组合,可以生成其他等效矩阵。比如

      Ax = (1   (4   (5    *(x1      =  x1*(1   + x2*(4  + x3*(5
            3    2    5      x2             3         2        5
            2)   1)   3)     x3)            2)        1)       3)
    

    这里没有平方,立方或其他东西,因此线性。 因为将它们放置一起相数乘,所以为组合。上例是一个局部组合。

    该3x3矩阵A,其列向量空间可以有3个场景: R3 三维, plane 二维, line 线条,一个向量。

    可以容易知道,A 矩阵的列1 加 列2 等于列3,因此 矩阵A的列向量空间为2,并且行秩 r(A) = c(A) = 2

    因此A矩阵的 列基C(A)为

      C(A)  = (1  (4    
      	3   2     
      	2)  1)    
    
  • 性质:

     1, 列向量空间的 两个分量 是相互独立的
     2,  A的列是 列空间分量的线性组合
     3, r行,即最简阶梯形是相互独立的向量
     4, 每一行都可以用 A矩阵的最简形的 线性组合
    

比如 行1 [1 4 5] = [1 0 1] + [ 0 1 1]
以此类推。

最后,我们获得了生成矩阵: A = CR

	A = CR = (1  (4  *  [1  0   1
		  3   2      0  1   1]
		  2)  1)

可以验证它。 CR = A    

5.2.2 CR生成矩阵的关键特征

(1) 矩阵A的 列向量空间秩为 2
(2) 矩阵A的 行向量秩为 2

正交基向量空间有两个向量 r(A) = 2
因此假设特征向量 ->v 使得 A*->v =0 的解 包含 n - r = 3 - 2 = 1

	v = (1, -1)

矩阵A的秩为1的性质:
如果矩阵A的全部行都是 行1的倍数,那么全部行都是行1的倍数。

比如CR证明如下:

列空间C的列1 假设代号为 ->v, 与行空间 R的行1,假设代号为 ->w

		A = (->v  * [->w]
			 )

全部行都是 w的倍数,矩阵A的秩为 1

5.2.3 优点和缺点

大型矩阵可能有几百个块,blocks,线性代数可以把巨型矩阵分裂为 小型矩阵 如 A = CR。
这也是矩阵计算的其中一个目的。

A = CR 方式它有如下优点:

	(1) C 有列直接从A中继承, 是有意义的。
	(2) R 有突出矩阵A的最简形,行秩 等于 列空间秩 是清晰可见的。 
		  在几百行矩阵的数据中,想要知道行秩和列秩,以及是否相等 并不容易。

缺点:

	(1)C 与 R需要非常严格的匹配。
	(2)若A是可逆的,列向量空间将等于 原矩阵 A 
    (可逆矩阵A经初等行变换,
    可以化为单位矩阵(或者经过初等列变换化为单位矩阵))
    
		如果A的全部列都相互独立,C(A) = A, 这将没有特别的子矩阵,最简形R = I,
		但是无法推论得出 A = CR = A*I

	(3) A = CR 还不能适用于大型计算和循环计算。
		但是分解矩阵为不同子矩阵仍有意义。

小结

下一节我们继续旅程,举例说明实际用途,了解其强大功能。
比如在多维空间确定近似解,以及在不充分条件得出有限结论。

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