承上一节

  人是万物的尺度。 

上一节我们计算得来了一个矩阵的特征值，并展示了某些特别的特征向量和空间，这一节将展示几个例子，继续获得一个矩阵的空间和它们的联系。

 --注：小括号 和 中括号 在本文是一样的，只是为了方便格式化显示。

第二部分，3 矩阵向量空间中的联系

关于空间的概念，矩阵四种空间(MIT课程):

  列空间(C(A))，
  零空间(N(A))，
  行空间(C(A^t)列空间的转置)，
  右零空间(N(A^t)零空间的转置)。

这里主要讨论 列空间，零空间，对于它们的理解可帮助我们理解。
   
  
 ## 3.1  列空间,零空间,线性独立
 
 例：有以下矩阵:

A = （1 1 1 1
     2 1 4 3
     3 4 1 2） 

其列空间为矩阵A的各列构成的空间，如下:

  C(A) = span （1    （1    （1    （1
        2      1     4     3
        3）    4）   1）    2）

零空间定义:

  矩阵A的零空间就是 矩阵A 变换为简化阶梯型的 零空间。
  假设有特征向量 ->v 使得 A*->v = 0
  那么最后由 特征向量 -> 得出的通解构成的向量组就是零空间。

求取其零空间, 取得 极简阶梯形如下:

  [1 0  3  2
  0 1 -2 -1
  0 0  0  0]

现在假设特征向量 ->v 然后与以上极简阶梯型 乘 结果应该为0

      [1 0  3  2  * [v1     =   [0
      0 1 -2 -1     v2          0
      0 0  0  0]    v3          0]
                     v4]

定义：极简阶梯型的每一行第一个非零元素为 主元，即非零首元。 没有非零首元的列表示 自由变量。
        得到两个方程如下：

      v1 + 0*v2 + 3v3 + 2v4 = 0
      0*v1 + v2 + 2v3 + v4 = 0

v1，v2 都在非零首元位置，而自由变量为 v3，v4。
v1, v2 为主变量，v3，v4 自由变量，由此得到：

      v1 =  -3v3 -2v4
      v2 =  2v3 + v3 

N(A) = N(rref(A)) 由于有两个自由变量，主变量 v1，v2 由自由变量v3，v4的值决定。 可以得到其通解表示

N(A) = N(rref(A)) = 
   （v1    =  {（-3         （ -2
     v2          2             1
     v3      v3  1       v4    0
     v4）        0）           1）}

其中 v3，v4 ∈ IR 实数集

矩阵A的零空间 N(A) 即是以上通解的 所有线性组合。 也就是 A*->v = 0 的全部合理解。
   全部线性组合： 等于这两个向量的生成空间，即

  分量 -3，2，1，0的向量
  分量 -2，1，0，1的向量

这两个分量的生成空间

     N(A) = Space([-3   [-2   )
            2      1
            1      0
            0]     1]

知道了矩阵A的零空间，现在矩阵A的列向量 是否相互线性独立？：

根据定义：

矩阵A的零空间 只包括 零向量，
那么这个矩阵A的列空间中的 列向量就是 相互线性独立了的。

如果相互线性独立，则通解 意味着唯一解。

  L.T => A->v = 0

它表示矩阵A乘 特征向量 ->v 等于0：

  A->v = 0
  ->v = 0

也就是说，零空间等于零向量 等于0.

  N(A) = {->0}

这就是矩阵A的 列向量 相互独立的 充要条件： 零空间只有零向量。
    如果该零空间包括了其他向量，则这些 列向量 不相互独立。

现在矩阵A 包含了两个分量的线性组合，所以A的列向量 不是 相互线性独立的。

向量空间的基：
由于 矩阵 A 的列空间为

    C(A) = span （1    （1   （1   （1
                  2     1     4     3
                  3）   4）   1）    2）

矩阵 A 的零空间 包含两个分量，不是相互独立的，
    所以C(A)不是 矩阵A 列向量的 基。

3.2 列向量空间

向量空间的基 是一组相互独立的向量，它可以生成一个子空间，

• 获取 矩阵A 的列向量 空间的基，这里有两个原因

1. 去掉 C(A) 的多余向量，
   如果列向量空间中 某些向量可以由其他两个向量线性组合替代
   则为重复可以去掉，因为该向量没有新的信息。

2. 在上一节我们知道矩阵A的零空间通解包含两个分量，不大可能矩阵的列向量空间为零，那么它们是否相互独立，哪些可以被删除呢
       
       目标删除多余列向量，假设在零空间 有一组子向量 ->x  使得列向量与之相乘可以为 0

    ->x = [x1, 
           x2, 
           x3, 
           x4]
   
   
    C(A)*->x = 0
   

那么有以下方程（矩阵的列向量线性组合）:

  x1（ 1   + x2（ 1    +  x3（ 1      +  x4（ 1     =0          (式3.2.1)
      2         1           4             3
      3）        4）         1）            2）

这里将利用自由变量，把一些向量用其他变量表示，因x3, x4为自由变量，我们那它们移动到右侧

  x1（ 1   + x2（ 1    =  x3（ 1      -  x4（ 1              (式3.2.2)
      2         1           4             3
      3）       4）          1）            2）

希望消除x4的列向量，因此假设当 x3 = 0，x4 = -1, 以此来寻找 x1, x2在零空间中的值

  x1（ 1   + x2（ 1    =  0（ 1      -(-1) （ 1              (式3.2.3)
       2          1           4              3
       3）        4）         1）            2）

由上一节知道，零空间中非零首元 和 自由变量有以下关系

  x1 = -3x3 - 2x4
  x2 = 2x3 + x4

为了证明，我们需要一些模型假设，这里就从假设两个自由变量 x3 x4 开始

当假设x3 = 0，x4 = -1, 那么代入其中得到 x1 = 2，x2 = -1
所以 式3.2.3 变成如下:

  2[ 1    -1[ 1     =  [ 2 - 1    = [ 1
     2        1          4 - 1        3
     3]       4]         6 - 4        2]

所以 C(A)列向量空间中 的向量 [1     可以被其他两个x1，x2向量经过线性变换后获得，可以被从 A矩阵的列向量空间中取出。

                              3
                              2]

同理，再次从 (式3.2.1) 开始假设，我们希望取出 x3 列向量，则假设 x3 = -1，x4 = 0, 计算得到

  x1 = -3*-1 - 2*0 = 3
  x2 = 2*-1 + 0 = -2

因此有 列向量中的向量 [ 1  不是必须的，  可以从x1，x2向量经过线性变换后获得，也从 A矩阵的列向量空间中取出。

                        4 
                        1]


  3[ 1    -2[ 1     =  [ 3 - 2    = [ 1
     2        1          6 - 2        4
     3]       4]         9 - 8        1]

最后

  C(A)final = span(（1   （1
                   2    1
                     3）   4）)

最后的向量空间是否可以相互转换？ 根据定义，某个向量的线性组合就是该向量乘以某个标量。
   所以假设有标量，也就是某个不可变常量 d 使得

d（ 1        =  （ 1 
        2              1  
        3）            4）
   
   那么这个标量d 需要同时满足  d =1; d = 1/2; d = 3/4; 这与其定义冲突，所以不可能有 标量d存在，使得 C(A)final 中的两个向量相互转换。
   因此C(A)final 中的两个分量之间相互独立。

矩阵A的列生成空间C(A)的生成空间，就是列向量空间 C(A)final，也称为 a Basis For C(A)。 在R3空间中表示该C(A)final 两个分量，它们是两个向量，可以构成一个平面（两个相互独立列向量） 如下:

            _________________
           /    |           /
          /     | .(x2)    /
         /      |         /
        /(x1) . /------  /
       /       /        /
      /_______/________/ 

小结:

我们大致了解了神奇的“生成空间” 是怎么回事了，在空间中，直线是一个特例，对于空间中直线的理解，可以帮助我们了解空间中的平面性质。
   
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